Алгоритми виконання операцій додавання і віднімання двійкових чисел

Алгоритми виконання операцій додавання і віднімання в позиційній однорідній системі числення з основою k відповідає алгоритмам в звичайній десятковій системі числення.

Результати операцій додавання / віднімання цифр х та у в одному розряді представляються двома цифрами:

ü цифрою q результат операції у даному розряді;

ü цифрою р перенесення в старшому розряді.

Правила формування цифр q та р для будь-якого k можна записати наступним чином.

а) для додавання б) для віднімання

x + y, якщо х + у < k x - y, якщо х ≥ у

q = q =

х + у – k, якщо х + у ≥ k k + х – у, якщо х < у

 

0, якщо х + у < k 0, якщо х ≥ у

р = р =

1, якщо х + у ≥ k - 1, якщо х < у

Функції q (x, y) та р (х, у) для операцій додавання/віднімання для k =2 можна представити таблично, рис. 1.1.

а) додавання б) віднімання

рис.1.1.

Оскільки при виконанні операцій додавання / віднімання може виникнути переповнення розрядної сітки, тобто результат буде сформовано неправильно, тому використовують модифіковані коди. Особливістю цих кодів є наявність двох знакових розрядів, у яких знак відображається двома однаковими цифрами. Ці цифри обробляються при виконанні також як і числові розряди. Поява в знакових розрядах модифікованого коду різних цифр"01" або „10" свідчать про переповнення розрядної сітки.

Приклад 1. х = -9 у = -3

Х_прм = 11,1001; У_прм = 11,0011

Х_об.м = 11,0110; У_об.м = 11,1100

Х_об._м – 11,0110

+ +

У_об._м – 11,1100

11,0010

циклічний перенос + 1

Z_об.м – 11,0011

Запишемо результат Z_об. ^м у прямому коді, використовуючи правила перетворення із оберненого коду в прямий.

Z_прm = 11,1100 це відповідає числу-12.

При виконанні модифікованого додаткового коду може з'явитися така комбінація 11.000...0 - це фіксується як переповнення розрядної сітки, тому що отримане число не вміщається в розрядній сітці.

Приклад 2. х = -7 у = -9 z = -16

Х_прм= 11,0111, У_прм= 11,1001

Х_дк,м – 11,1001

+ +

У_дкм - 11,0111

Z_дкм - 11,0000

Бачимо, що для представлення числа -16 потрібно 5 двійкових розрядів.

Z_дкм - 11,0000

Z_п.к.м - 11,01111

____ + 1

11,10000, що відповідає числу -16.

Слід відмітити, що модифікований код дозволяє формувати вірний знак результату навіть при появі переповнення. Цей знак зберігається у другому (старшому) знаковому розряді.

01 - свідчать про позитивне переповнення розрядної сітки

10 - свідчать про від'ємне переповнення розрядної сітки.

Алгоритм додавання / віднімання чисел з фіксованою комою у прямих та додаткових кодах розглянемо на прикладах.

Приклад 3. х = ±15, у = ±7

а) х + у Х_прм = Х_дкм = 00,01111 У_прм = У_д.к.м = 00,00111

z = 22

00,01111

+

00,00111

00.10110, що відповідає числу 22.

b) х - у; Х_д.к.м = 00,01111; У _д.к.м = 11,11001

z = 8

відкидається 1

00,0111

+

11,11001

Z_п.к.м = 00,01000, що відповідає +8

с) - х + у; Х_д.к.м = 11,10001; У _д.к.м = 00,00111

z = - 8

11,10001

+

00,00111

Z_п.к.м = 11,11000 → Z_np._м = 11,01000, що відповідає -8

d) –x - y; Х_д.к.м = 11,10001; У _д.к.м = 11,11001;

z = -22

відкидається 1

11,10001

+

11,11001

Z_п.к.^м = 11,01010 → Z_np.^м = 11,10110, що відповідає -22

Алгоритм додавання/ віднімання чисел з ,,блукаючою" комою будемо

розглядати для k = 2, тоді операнди X та У можна записати так X = 2^А х, У = 2­^Ву, де А, В порядок операндів; X, У, які представлені „m" розрядами;

Мантиси х та у є n - розрядні правильні нормалізовані дроби, тобто 1/2≤|х|<1, 1/2≤|у|<1.

Операція додавання (віднімання) з „блукаючою комою" здійснюється в декілька етапів:

— вирівнюються порядки доданків; молодший порядок збільшується до більшого, при цьому відбувається корекція мантиси числа, яке перетворюється;

— виконується перетворення мантис в додаткові коди;

— виконується додавання мантис за правилами, які розглядались для чисел з фіксованою комою;

— до отриманої суми дописується порядок доданків і якщо буде потрібно виконується нормалізація результату. Можливі два випадки денормалізації:

а) денормалізація вліво відповідає переповненню розрядної сітки;

б) денормалізація вправо, яка виникає, коли у прямому коді мантиси після
коми є один або декілька нульових розрядів.

Приклад 4. Потрібно додати два числа X = + 0,10101 ∙ 10¹⁰¹; У = - 0,11001 ∙ 10⁰¹¹ - Вирівнюємо порядок числа В до порядку числа А

У = - 0,0011001 ∙ 10⁺¹⁰¹

Оскільки

Р_Хдоп.м = 00,101

+

Р_Удоп.м = 11,101

00, 010

Р_х > Р_у на 2, то виконуємо зсув вправо на 2р. мантиси числа У.

 

— Додаємо мантиси чисел X та У в модифікованому додатковому коді:

Х_дм = 00,1010100

+

У_лм = 11,1100111

00,0111011 це прямий код додатної мантиси.

Результат отримали в ненормалізованій формі, оскільки після коми розряд мантиси має нульове значення. Для нормалізації цього числа необхідно зсунути всі розряди мантиси вліво на один розряд та зменшити на одиницю значення порядку.

Запишемо результат: 00,1110110 • 10¹⁰⁰

Цей результат буде розміщено в розрядній сітці обчислювального пристрою.

 

ДОМАЩНЄ ЗАВДАННЯ.

3.1. Вивчити за конспектом та підручником правила отримання прямих, обернених та додаткових модифікованих кодів як для додатних так і для від’ємних чисел.

3.2. Записати у прямому, оберненому та додатковому кодах числа ± 15 та ±13.

3.3. Записати у прямому, оберненому та додатковому модифікованих кодах числа ±22 та ±27.

ВИКОНАННЯ РОБОТИ.

4.1. Скласти цілі 10-ві числа А, В, С, D за наступним правилом

А = 2⁷ + (# - 1)2⁴ + **;

B= 2⁸- (# - l)2⁴ - **;

С= 2⁷ + (# - 1)2⁴ + @;

D = 2⁸ - (# - l)2⁴- @

# - друга цифра номера групи

** - дві останні цифри студентського квитка

@ - дорівнює сумі цифр у числі # 19**

Наприклад, число # 19** складає 41927, тоді @ = 4+1+9+2+7=23

4.2. Перевести числа, отримані в п.4.1. та 4.2., в двійкову систему числення

4.3. Записати у прямому, оберненому та додатковому модифікованих кодах двійкові числа ±А, ±В, ±С, ±D, які були отримані при виконанні завдання п.4.2. Результат представити у вигляді наступної таблиці:

Число	Прямий модифікований код	Обернений модифікований код	Додатковий модифікований код
-А
+А

4.4. Скласти цифрові діаграми виконання операцій А+В; -В+С; С-D; -С-А, використовуючи модифіковані прямий, обернений та додатковий коди. Відмітити можливі випадки переповнення розрядної сітки. Зробити перевірку отриманих результатів, шляхом їх переведення в десяткову систему. Результати виконання записати у таблицю, наприклад:

А + В	Обернений модифікований код	Додатковий модифікований код
А о6 м	00,10000100	А дк м	00,10000101
В об м	00,11111100	В дк м	00,11111100
Z об м	01,10000000	Z дк м	01,10000001
Переповнення розрядної сітки потрібно збільшити розрядність
Z об м = 00,110000000	Zдк м = 00,110000001

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ.

5.1. Які форми представлення двійкових чисел ви знаєте, наведіть приклади.

5.2. Переваги та недоліки представлення чисел з фіксованою (блукаючою) комою.

5.3. Яке двійкове число називається нормалізованим?

5.5. Запишіть етапи виконання отримання прямого, оберненого та додаткового коду для додатного (від’ємного) числа.

5.7. За допомогою чого в ККС можна від слідкувати переповнення розрядної сітки. Що для цього використовується.

5.8. Запишіть етапи виконання додавання / віднімання двійкових чисел з блукаючою комою.

5.9. Додати в модифікованому додатковому коді двійкові числа з блукаючою комою:

a) A = - 0,110011 ∙ 2¹¹; В = - 0,100001 ∙ 2 ^-10

b) А = 0,101101 ∙ 2¹⁰¹; В = - 0,100101 ∙ 2 ^-10

c) А = - 0,100010 ∙ 2^-11; В = 0,111101 ∙ 2 ^-111

ЗМІСТ ЗВІТУ

6.1. Тема та мета практичної роботи.

6.2. Виконання домашнього завдання.

6.3. Короткий звіт за пунктами виконаної лабораторної роботи.

6.4. Відповіді на контрольні запитання.

 

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2