Віднімання цілих невід'ємних чисел. Зв'язок віднімання з додаванням

Розглянемо дві множини А і В, потужності яких відповідно а і b, причому В Ì А.

Означення 1. Різницею натуральних чисел а і b називається нату­ральне число с, яке характеризує множину С, що є різницею множини А і власної її під множини В.

Знаходження за даними двома числами а і b їх різниці с називаєть­ся відніманням: а—b = с. Число а називається зменшуваним, b — від'ємником.

Із означення випливає, що різниця натуральних чисел а і Ь існує тоді і лише тоді, коли множина В є власною підмножиною множини А, тобто коли а > b.

Означення 2. Множина називається замкненою відносно якоїсь дії, якщо ця дія у даній множині завжди виконується (тобто результат дії належить цій же множині), і незамкненою, якщо ця дія у даній мно­жині виконується не завжди.

Множина натуральних чисел є замкненою відносно дії додавання і незамкненою відносно дії віднімання: сума двох натуральних чисел завжди є натуральне число, а різниця буде натуральним числом лише при умові, коли зменшуване більше від від'ємника. Оскільки А \ А = Æ, то а—а = 0, тобто якщо зменшуване дорівнює від'ємнику, то різниця дорівнює нулю.

Як ми уже ілюстрували за допомогою кругів Ейлера, якщо BÌ A, різниця А \ В = С є доповненням множини В до А: С = В_А, тобто А = В С.

Отже, якщо а — b = с, то а = b + с, тобто віднімання є дія, обер­нена додаванню: дія, яка полягав в знаходженні невідомого доданка за відомою сумою і другим доданком: х + b = а, х = а — b.

Отже, відняти від натурального числа а натуральне число b озна­чає знайти таке натуральне число с, щоб виконувалася умова а = с+ b.

Із сказаного видно, що дія додавання на множині N натуральних чисел є алгебраїчною операцією, а дія віднімання не є алгебраїчною операцією на множині N.

Теорема. Які б не були натуральні числа а і b такі, що b <і а, іс­нує єдине натуральне число с, що е різницею чисел а і. b.

Отже, треба довести, що не може існувати ніякого іншого числа с, яке є різницею а — b.

Доведення. Як було вже з'ясовано, при умові а > b різниця а—b завжди існує. Припустимо, що існують дві різниці: а—b= с і а — b = с'. Нехай, наприклад, для означеності с < с'. Тоді а = с+b і а=с'+b, отже, с + b = с' +b, де с' < с. А це супере­чить властивості монотонності суми. Отже, наше припущення непра­вильне. Тому існує єдине натуральне число с, що є різницею натуральних чисел а і b.

Зв'язок дії віднімання з додаванням уже в підручнику для першого класу використовується в такій формі:

а) (а — b) + b = а. Наприклад, (62 — 48) + 48 = 62 (результат 62 записуємо, не виконуючи обчислень).

б) {а + b ) — b = a Наприклад, (27 + 38) — 38 = 27 (результат записуємо, не виконуючи обчислень).

Ці рівності яскраво ілюструють, що дія віднімання є оберненою до дії додавання. Їх легко довести на основі означення віднімання (або за допомогою кругів Ейлера).

Доведення, а) Якщо від скінченної множини А відняти її власну підмножину — множину В, а потім додати цю ж підмножину В, то дістанемо знову множину А. При.переході до характеристики чи­сельності множин (а —b ) + b = а.

б) Якщо до скінченної множини A додати множину В, а потім від­няти цю саму множину В, то залишиться множина А. При переході до характеристики чисельності множин (а + b ) — b = а.

Аналогічно на основі означення віднімання доводяться і такі пра­вила:

1. Щоб від даного числа відняти суму, досить відняти від нього послідовно кожний доданок:

а — (b + с) = а — b— с, якщо а > b + с.

І навпаки, щоб від даного числа послідовно відняти кілька чисел, досить відняти їх суму (читаємо дану рівність справа наліво):

а — b — с= а — (b + с), якщо а > b + с.

2. Щоб відняти число від суми, досить відняти його від будь-якого одного доданка і додати інші доданки: (а + b ) — с =(а — с) + b = а + (b — с), якщо а ≥ с і b ≥ с.

3. Щоб до даного числа додати різницю, досить додати зменшуване і відняти від'ємник: а + (b — с) = (а + b) — с.

4. Щоб від даного числа відняти різницю, досить відняти зменшува­не і додати від'ємник: а — (b — с) = (а — b) + с, якщо а ≥ b.

Підкреслюємо, що у всіх цих випадках дія віднімання повинна бути можливою, тобто повинна задовольнятися необхідна і достатня умо­ва існування різниці в множині цілих невід'ємних чисел, щоразу змен­шуване має бути не менше від від'ємника. Якщо від'ємник дорівнює нулю, різниця дорівнює зменшуваному: а— 0 = а.

У початкових класах розглянуті правила обґрунтовуються на кон­кретних доцільно підібраних задачах.

Задача 1. В дитячий садок привезли 26 л молока. На сніданок витратили 6 л і на обід 10 л. Скільки літрів молока залишилося на вечерю?

- (26—6)—10= 10;

26—(6+10)= (26—10)—6=10.

(26 — 16) = 10.

З а д а ч а 2. До шкільного буфету привезли молоко в двох бідонах:

в одному 12 л, а в другому 9 л. На першій зміні продали 5 л. Скільки літрів молока залишилося для другої зміни?

Задачу розв'язують трьома способами:

21—5=16;

(12+9)-5= (12—5)+9=7+9=16;

12+(9—5)= 12+4= 16.

Учні міркують так:

1) Спочатку можна дізнатися, скільки літрів молока в обох бідонах (12 + 9), а потім скільки молока залишилося.

2) Якщо продавали спочатку з того бідона, в якому більше молока, то можна дізнатися, скільки в ньому залишилося молока (12 — 5) л, і до цього додати кількість молока в другому бідоні — 9л.

3) Навпаки, нехай продали 5 л з того бідона, в якому менше молока, тоді в ньому залишилося (9 — 5) л та в першому бідоні 12 л.

вправи

1. Не виконуючи обчислень, записати результати дій:

а) (1087—678)+678; б) (3906 + 468) — 468.

2. Обчислити найзручнішим способом і дати його теоретичне обгрунтування:

а) 243 — (43 + 28); б) 243 — (28 + 15);

в) (56 709 + 7845) — (36 709 +845).

3. Розв'язати задачу: «На складі було 185 м³ березових дров І 216 м³ дубових. Скільки дров залишилося на складі після того, як продали 78 м³?»

Обчислення виконати трьома способами, змінюючи відповідно умову задачі. Змінити числові дані так, щоб обчислення можна -було виконати лише одним спосо­бом; двома способами.,

4. На основі відповідних операцій над множинами пояснити основну властивість різниці: (а + К) — (Ь + К) = а — Ь.

Записати цю властивість за допомогою кванторів та сформулювати словами. За допомогою операцій над множинами встановити, як змінюється різниця при зміні тільки зменшуваного; тільки від'ємника.

5. Пояснити на основі залежності між. дією додавання і дією віднімання,якрозв'язуються у початкових класах рівняння:

7+х=12; х—5=7; 12— х =5. в.

6. Записати результат, не виконуючи письмово ніяких обчислень:

499+253; 2499—999.

Скласти самостійно вправи на додавання і віднімання з використанням правил про зміну суми і різниці. ^\7... Інколи учні вважають, що коли в Задачі сказано «на стільки-то більше або довше, дорожче і т. ін., то задача розв'язується дією додавання». Чи істинне це вис­ловлення? Спростувати його, розв'язавши задачу: «Братові а років. Він на А ро­ків старший за сестру. Скільки років сестрі? Записати вираз, що дає відповідь на запитання задачі, і обчислити його значення при а = 12 і 6 == 7.

8. Записати за допомогою кванторів наступні висловлення. Чи істинні ці висловлення?

а) «Для будь-якого цілого невід'ємного числа х знайдеться таке ціле невід'ємне число а, що х - а = х».

б) «Яке б не було ціле невід'ємне число х, знайдеться таке ціле невід'ємне число у, що х — у = О».

9. Розв'язати рівняння на основі залежностіміж компонентами і результатами дій: 280 +.(48— х) =328.

Зіставити наступні рівняння зданим і записати їх розв'язки, знаючи розв'язок даного рівняння:

280+(50—х)=328; 280+(49—х)=328.