Множення цілих невід’ємних чисел. Основні властивості множення

Множення натуральних чисел. Означення множення натуральних чисел можна дати на основі поняття декартового добутку множин. Нагадаємо, що декартовим добутком А X В множини А на В називаєтьея множина всіх впорядкованих пар (a,b) перша компонента яких а наложить множині А: а Î А, а друга b належить множині В: b Î В.

Нехай A містить п елементів: А = {a₁,a₂,…a_n} а В — т елементів: В = {b_1,b₂,…b_n}. Тоді

декартів добуток має элементів m+m+…m=m^.n

п

Означення1. Число елементів декартового добутку п-елементноі яножини А на т-елементну множину В називається добутком нату­рального числа п на натурально число т.

інакше, т • п — це сума п натуральних чисел, кожне із яких є т.

Візьмемо п скінченних еквівалентних між собою множин без спільних елементів, кожна з яких характеризується кількісним натуральним числом т. 06'єднаємо ці множини в одну множину S, що є їх сумою: S =А₁ È А₂È А_3…È А_n

Позначимо кількісне число, що характеризуе множину S, через s;

тоді за означениям суми натуральних чисел матимемо s = m+m+…m або s=m^.n

n доданків

Означення 2. Суму n доданків, кожен із яких є m називають добут­ком натурального числа m на число n.

Поняття добутку вводять у другому класі на конкретних множинах. Перед учнями ставлять, наприклад, задачу: «Зошит коштує 2 к. Скільки коштує 9 таких зошитів?»

Записавши результат за допомогою суми 2+2+2+2+2+2+2+2+2== 18 (к.),

з'ясовують, що такий запис дуже громіздкий і обчислення виконувати довго і незручно навіть при такій, порівняно невеликій, кількості доданків. А що коли б потрібно було визначити вартість 25 зошитів або 75? Тому умовились додавання рівних доданків вважати окремою дією — множенням — і записувати коротше: 2 ^. 9== 18.

Після цього поступово складають таблицю множення (тобто мно­ження одноцифрових чисел), яку діти заучують.

Числа при множенні називаються: множене — т, множник — п і добуток —т • п. Результат множення р == т ^. п також називають добутком. Разом т і п називаються співмножниками, а у початкових класах — просто множниками.

Таке означення множення неважко поширити на випадок трьох, чотирьох і більше співмножників.

Оскільки доданків не може бути менше ніж два, то добутки т • 1 і т • 0 не мають даного смислу. Адже не можна сказати т взяти доданком 1 раз» або «нуль раз». Тому для цих випадків вводять додаткові означення: а ^. 1 = а і а ^. 0 = 0

Дія множення натуральних чисел мае такі властивості:

1. Існування добутку і єдиність добутку. Які б не були натуральш числа а і b, завжди існує єдине натуральне число р, що є їх добутком. ("a, bÎN $!pÎN) ab= p

2. Переставний, або комутативний, закон множення. Добуток двох натуральних чисел не зміниться. якщо переставити співмножники (поміняти їх місцями): ("a, bÎN) (ab= ba)

У школі ця властивість розглядаеться у другому класі. На основі неї складається таблиця множення, що дає змогу вдвоє зменшити кількість добутків однозначних чисел, які треба учням запам'ятати. Так, учні замість двох випадків 4 • 3 == 12 і 3 • 4 == 12 запам'ятовують по суті один 4 • 3 == 12.

Обгрунтовують цей закон учням на конкретних доцільно підібраних задачах та за допомогою наочної ілюстрації.

Задача. Учні посадили біля школи 3 рядки дерев по 4 дерева в кожному. Скільки всього дерев посадили учні?

Зобразивши кожне дерево кружечком, дістають схему розміщення посаджених дерев,

О О О О

О О О О 3

О О О О

4

 

Підраховують двома способами: по рядках 4 • 3 == 12, а потім по стовп­чиках 3 • 4 = 12.

Роблять висновок: 4• 3==3• 4, який після розгляду кількох інших прикладів узагальнюеться.

3 Сполучний, або асоціативний, закон множення. Добуток натуральних чисел не зміниться, якщо будь-які два або кілька співмножників сполучити (об'еднати) і замінити іх добутком. Наприклад, для трьох співмножників ("a, b, сÎN) (abс= (аb)с=а(bс)

У початкових класах ця властивють розглядаеться також на конкретних задачах.

Задача. Щоб виростити саджанці дуба, діти посадили жолуді. Скільки штук жолудів вони витратили на посадку, якщо в кожну ямку клали по 3 жолуді, а ямки розмістили по 4 у 5 рядочках?

Розв'язання задачі виконують двома способами за допомогою наоч­ної ілюстрації.

1. Дізнаються, сюльки жолудів витрачали на один рядок (3 • 4), а потім на 5 рядків: (3•4)•5=60.

2) Дізнаються, сюльки всього ямок (4 • 5), а потім, скільки витрачено жолудів: 3 • (4 • 5) = 60.

Аналогічно підраховують кількість учнів у класі, якщо, наприклад, у класі 3 ряди парт, по 5 парт у кожному ряду і за кожною партою сидить по 2 учні: (2 • 5) • 3 = 2 • (5• 3) =30.

учиів в всього парт

одно­му ряду

Роблять узагальнення. Цей закон разом із комутативним законом множення у початкових класах широко використовують для рацюналізації обчислень. Наприклад:

4. 17 • 25 == (4 • 25) • 17 == 100 • 17 == 1700, 5 • 39 • 2 = 39 • (2 • 5) = 39. 10 = 390.