Цілі невід'ємні числа . Операції над ними.

ЦІЛІ НЕВІД'ЄМНІ ЧИСЛА. ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ.

Походження числа. Аксіома лічби. Історія розвитку натуральних чисел.

 

Для встановлення чисельності скінченної множини на практиці доводиться виконувати лічбу її елементів. Процес лічби полягає у встановлені взаємно однозначної відповідності між всіма елементами множини і елементами деякої стандартної множини. Спочатку за таку стандартну множину брали пальці рук, а потім і ніг1) числами, почали використовувати камінці, робили вузли на вірьовці і зарубки на дереві тощо. Значно пізніше поступово стандартною множиною стала абстрактна множина чисел натурального ряду.

Деякі народи ще до недавнього часу лічили за допомогою пальців. Видатний російський учений і мандрівник Міклухо-Маклай (1846— і888) так описує лічбу папуасів — жителів островів Нової Гвінеї. «Улюблений спосіб лічби полягає в тому, що папуас загинає один за одним пальці руки, примовляючи «бе, бе, бе...». Долічивши до п'яти, говорить «ібон-бе» (рука). Потім він загинає пальці другої руки і знову повторює «бе, бе,...», поки не дійде до «ібон-алі> (дві руки). Потім він іде далі, примовляючи «бе, бе...», поки не дійде до «самба-бе» (одна нога) і «самба-алі» (дві ноги). Якщо треба лічити далі, папуас користується пальцями рук та ніг кого-небудь іншого» [1].

Ще в XIX ст. деякі американські індійці при лічбі замість «один» говорили «палець», замість «два» — «два пальці» і обов'язково показували їх, замість п'ять — «рука», шість — «рука і один палець» і т. д. Ескімоси із Північної Канади замість 20 говорили «людина», замість 100 — «5 чоловік». Деякі індійські племена в Бразилії лічили тільки до п'яти, а все, що більше п'яти, в них означало «багато», причому, показуючи, що число більше п'яти, вони ворушили на голові волосся. В Австралії були племена, у яких для лічби використовувалися лише два числівники — один і два, а число 3 називали як два-один; 4 — два-два; п'ять — два-два-один і т. д.

Аналогічно лічили і наші предки. Ідея нескінченності натурально­го ряду чисел освоювалася дуже повільно: найбільшим числом було спочатку 3, потім 7, далі і.3, пізніше — 40. Звідси різні приказки і числові марновірства: «тричі благословенний», «тричі проклятий», «сім раз відмір, раз відріж», «один з сошкою, семеро з ложкою», «за кусок кишки — сім верст пішки», «13 — чортова дюжина» (багато). Ще і тепер марновірні люди число 13 вважають нещасливим і уникають його. В царській Росії не було тринадцятого номера трамваю, в Лондоні і тепер немає будинків за номером тринадцять, є «клуб боротьби з числом 13». Сороковий медвідь вважався останнім у житті мисливця.

I хоч ще в III ст. до н. е. знаменитий грецький геометр Евклід довів, що навіть множина простих чисел є нескінченною, окремі ма­тематики не хотіли сприймати ідею нескінченності натурального ряду. Так, відомий французький математик XIX ст. Коші твердив, що «один бог нескінченний, крім нього все скінченне. Духовні істоти і істоти тілесні перебувають у скінченному числі, і світ має свої межі у просторі і часі. Нескінченність, вічність є божественні ознаки, притаманні лише творцеві...». А італійський математик Гранді (XVIII ст.) намагався використати ідею нескінченності для «доведення» існування бога і створення богом матеріального світу з нічого.

Суть цього «доведення» зводить до таких міркувань:

(1-1) + (1-1) + (1-1) +…= 0 1+ (-1 + 1) + (-1 + 1) +…= 1

Сума 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - …= _í

 

Звідси виходить, що 0=1, але нуль — це «нічого», а 1 — ціле, «все». Отже, «бог з нічого отворив все».

В основі цього софізму лежить механічне поширення властивостей скіченних множин на множини нескінченні, які мають свої особливості: адже тільки нескінченна множина може бути еквівалентна своїй правильній частині. Потужність нескінченної множини не може бути виражена ніяким натуральним числом. Для характеристики нескінченних множин вводяться так звані транс фінітні числа.

Поняття нескінченності дуже багате за змістом і має свої особливості. Його не можна ототожнювати з поняттям «багато» і поширювати на нього властивості скінченного. «Багато» елементів, як би не було їх багато, завжди можна полічити, принаймні теоретично можливо поставити у відповідність цілком певне натуральне число. Полічити ж всі елементи нескінченної множини не можна навіть теоретично. Ідея нескінченності натурального ряду довго не могла увійти в науку ще і через те, що не було зручної системи нумерації.

У мовах різних народів є два види числівників, за допомогою яких ведеться лічба: кількісні і порядкові.

Кількісні числівники характеризують чисельність скінченної мно­жини і дають відповідь на запитання: скільки елементів містить мно­жина? Порядковий числівник вказує, яке місце при лічбі займає той чи інший елемент множини, і відповідає на запитання: яким по порядку буде той чи інший елемент?

Назва чисел заложить не тільки від тієї чи іншої мови, на якій ведеться лічба, а і від прийнятої системи нумерації.

Що ж до результату лічби, то він не заложить ні від мови, ні від системи нумерації, ні від порядку перелічування предметів. У цьому суть аксіоми лічби.

Аксіома лічби. Результат лічби не залежить від порядку лічби (якби тільки при лічбі не було пропущено жодного предмета; щоб кожен предмет полічено тільки один раз). Ця аксіома інакше виражає властивість рефлексивності множин: всяка множина еквівалентна самій собі.

Властивість симетричності рівності і несиметричності нерівності.

якщо А ~ В, то В ~ А; якщо а = b, то b = а;

якщо А Ì В, то В É А. якщо а<.b, то b >а.

Властивість транзитивності рівності і нерівності.

Якщо А ~ В, а В ~ С, то А ~ С. Якщоа = b і b = с, то а == с.

Якщо А Ì В, а В Ì С, то А Ì С. Якщо а< b і b <с, то а<с.

Вправи

1. Записати довільну множину, яка рівнопотужна множині ребер куба; граней куба; вершин куба. Скільки елементів має кожна з цих трьох множин? Яке співвідношення між цими числами? Перевірити його істинність для довільної призми; піраміди.

Відповідь. Співвідношення виражає знамениту теорему Ейлера: «У будь-якому многограннику число ребер на 2 менше суми чисел граней і вершин».

 

2. Чи будуть рівнопотужними множина натурального ряду N і множина дробів

вигляду 1/n, де n Î N?

 

3. За ілюстрацією до казки «Ріпка» («Математика» для підготовчих класів) підібрати систему запитань, які доцільно поставити учням для усвідомлення ними суті аксіоми лічби і попередження помилки змішування понять кількісного і поряд­кового натурального числа.

 

4. Записати всі елементи множин N₅, N₁. Як називаються ці множини?

 

5. Яких правил треба дотримуватися під час лічби елементів скінченної множини?

 

 

Властивість адитивності

а)Якщо А ~ В, і C ~ D, i A C = Якщо a = b i c = d,

= B D = Æ; то a + c = b + d

то A È C ~ B È D інакше ("a, b, c, d ÎN₀ ) (а = b Ù c = d) Û

Û (a + c = b + d)

Справді, оскільки об'єднання Правильні рівності, задані на множині цілих A È C A È C містить усі елементи невід'ємних чи­сел, можна почленно додавати (при множини A і C, а B È D всі цьому рівність не порушується).

елементи відповідно еквівалентних

їм множин, то і між множинами-

об'єднаннями існує взаємно

однозначна відповідтсть.

На основі цієї властивості можна довести властивість адитивності для нерівностей: правильні нерівності одного смислу задані на множині цілих невід’ємних чисел, можна почленно додавати:

а) Якщо а > b інакше ("a, b, c, d ÎN₀ )

i с > d (а > b /\ с >d) <=>(а + с > b + а),

то а + c >b + d (а < b /\ с < d) <=>(а + с < b + а).

б) Якщо а< b i c < d, то a + c < b + d

Доведемо цю властивість для випадку а):

Якщо а > b то а = b + k; якщо с > d, то c = d + l; тоді за властивістю адитивності рівності матимемо а + с =(b + k)+ (d + I) = (b + d) + (k + l).

А це означає, що а +с > b + d

А чи можна почленно додавати нерівності різного (протилежного) смислу (знака)?

Розглянемо два приклади:

 

1) 5 > 3 2) 5 > 3

+ 9 < 10 + 7 < 10

5 + 9 > 3 + 10 5 + 7 < 3 + 10

14 > 13 12 < 13

 

В одному випадку при додаванні таких правильних нерівностей, щоб дістати правильну нерівність, треба поставити знак першої нерівності, в другому — другої, а це означає, що не для всяких нату­ральних чисел а, b, с і d, таких що а > b і с > d, існує певна закономірність при почленному додаванні нерівностей. Саме це робить доцільним у попередніх випадках застосовувати квантор загальності.

Висновок. Нерівності протилежного смислу (правильні), взагалі кажучи, додавати почленно не можна, бо не відомо, який з двох знаків «>» чи «<» слід поставити після додавання, щоб дістати правильну нерівність.

 

 

Вправи.

1. У чому суть кількісної функції натурального числа?

 

2. Що означає 0 < 2? Обгрунтувати справедливість нерівностей 1< 2, 1 < 3.

 

3. Обгрунтувати властивості цілих невід’ємних чисел, користуючись тільки порядковим смислом чисел послідовності N_{0 .}

 

4. Виконати обчислення найзручнішим способом: 198 + 237 + 102.

 

5. Знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 99.

 

6. Об’єднати відношення " менше " і " дорівнює " та сформулювати твердження для а £ b.

 

Література.

В.М.Кухар, Б.М. Білий. Теоретичні основи початкового курсу математики. Київ."ВШ".1987

В.Н.Боровик та ін. Курс математики. Київ. "ВШ". 1995

Андронов И. К. Арифметика. Развитие понятия числа.— М.: Учпедгиз, 1959.— 360с.

Вшальнюк Л. М.. Числові системи.— К.: Вища шк. Головне вид-во, 1977.— 184 с.

Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика.— М.: Просвещение, 1976.— 208 с.

Депман И. Я- История арифметики.— М.: Учпедгиз, 1959.— 415 с.

Конфорович А. Г., Лебедева 3. Є. Формування елементарних математичних уявлень у дітей дошкільного віку.— К.: Вища шк. Головне вид-во, 1976.— 231 с.

Кужель 0. В. Елементи теорії множин і математичної логіки.— К.: Рад. шк., 1977.— 160с

Лященко М. Я- Математичні машини і програмування з практикумом.— К.: Вища шк. Головне вид-во, 1976.—

Математика / В. Н. Боровик, Л. М. Вивальнюк, В. М. Костарчук та ін.— К.: Ви­ща шк. Головне вид-во, 1980.—

Математика / Н. Я. Виленкин, А. М. Пышкало, В. Б. Рождественская и др.— М.:Просвещение.— 351

Математична хрестоматія. Алгебра і початки аналізу / За ред. М. I. Кованцова — К.: Рад. шк., 1977.—215 с.

Мельников Г. П. Азбука математической логики.— М.: Знание, 1967.— 160 с.

Новиков П. С. Элементы математической логики.— М.: Наука, 1973.— 399 с.

Сборник задач по математике / А. М. Пышкало, Л. П. Стойлова, Н. Н. Лаврова и др.— М.: Просвещение, 1979

Теоретические основы начального курса математики / А. М. Пышкало, Л. П. Стой­лова, М.: Просвещение, 1988

[1] Енциклопедія елементарної математики.-М.;Л.,1951.-Т.1-с.22

ЦІЛІ НЕВІД'ЄМНІ ЧИСЛА. ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ.