Положительные и отрицательные числа в курсе математики 6 класса

После изучения положительных дробных чисел вводятся отрицательные числа.

Содержание учебного материала.

1. Введение отрицательных чисел.

2. Координаты на прямой.

3. Противоположные числа.

4. Модуль числа.

5. Сравнение чисел

6. Изменение величин.

7. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

8. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

9. Рациональные числа.

1. В учебной и методической литературе имеются в основном два пути истолкования отрицательных чисел.

Формально – логический. Этот путь связан с внутренними потребностями математики. Введение отрицательных чисел объясняется необходимостью выполнения действия вычитания для любой пары положительных чисел. Он наиболее близок к аксиоматическому построению множества рациональных чисел.

Реально – конкретный. Этот путь введения отрицательных чисел исходит из их непосредственной связи с действительностью, с конкретными представлениями.

Для введения отрицательных чисел реально-конкретным путём могут быть использованы задачи №875- №877 учебника. Их следует рассмотреть в начале объяснения, первоначально несколько изменив вопрос задачи.

№875. Белка вылезла из дупла и бегает по стволу вверх и вниз. Покажите, где будет находиться белка, если она удалится от дупла на 3 м? Сколько ответов можно дать на этот вопрос?

№876. Поезд вышел со станции Петропавловск и идёт со скоростью 90 км/ч. В какой город придет поезд через 3 часа?

Рис. 2

Что ещё надо знать, чтобы на вопрос был только один ответ?

№877. Из спортивного лагеря выходит группа туристов и движется по шоссе. Покажите, где будут находиться туристы а) через 3 ч, если они идут со скоростью 2 км/ч; б) через 2 часа, если они идут со скоростью 4 км/ч. Что ещё надо знать, чтобы на каждый вопрос был только один ответ?

Рис. 3

Обобщая и абстрагируясь от конкретного содержания приведённых задач, учащиеся убеждаются, что для определённости ответа на их вопросы необходимо знать направление движения: вверх или вниз, влево или вправо, на запад или на восток. Для простоты характеристики направления движения одно из них принято обозначать знаком плюс(+), а другое – знаком минус(-).

Числа со знаком плюс перед ними называются положительными, а со знаком минус – отрицательными. Положительные и отрицательные числа изображают точками координатной прямой.

6. Для иллюстрации необходимости введения отрицательных чисел важную роль играет пункт учебника, посвящённый изменению величин. На примерах изменения температуры, длины пружины учащиеся приходят к выводу, что увеличение любой величины можно выразить положительным числом, а уменьшение – отрицательным. Существенно в дальнейшем для введения операции сложения соглашение, что перемещение точки вправо на координатной прямой обозначается положительным числом, а перемещение влево – отрицательным.

 

Рис. 4

7. Сложение положительных и отрицательных чисел первоначально рассматривается на координатной прямой. Учащиеся получают суммы - 7 и 4, - 2 и - 4, 4 и - 4, - 5 и 0. Далее складываются числа - 6 и - 3 с помощью термометра и координатной прямой. Выясняется, что - 6+(- 3)= - 9. Анализируя результат, учащиеся приходят к выводу: чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) поставить перед полученным числом знак «-»; 2) сложить их модули.

Аналогично вводится алгоритм сложения чисел с разными знаками.

Вычитание рассматривается как действие, обратное сложению: вычесть из числа а число в – это значит найти такое число с, которое в сумме с в даст а.

а – в = с, с+ в = а.

Следовательно, вычесть из числа 8 число 11 – это значит найти число, которое в сумме с 11 даст 8. Такое число – 3. Итак, 8 – 11 = - 3. Тот же результат получается, если к 8 прибавить – 11. Итак, 8 – 11= 8+(- 11)= - 3.

Вывод: чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Важно, чтобы учащиеся понимали, что теперь от вычитания можно перейти к сложению.

8. Умножение положительных и отрицательных чисел вводится посредством двух задач.

№1. Фабрика выпускает в день 200 мужских костюмов. Когда стали выпускать костюмы нового фасона, расход ткани на один костюм изменился на 0,4 м². На сколько изменился расход ткани на костюмы за день?

Решение. 0,4×200=80.Расход ткани увеличился на 80 м², иными словами, изменился на 80 м².

№2. Фабрика выпускает в день 200 мужских костюмов. Когда стали выпускать костюмы нового фасона, расход ткани на один костюм изменился на - 0,4 м². На сколько изменился расход ткани на костюмы за день?

Решение. Расход ткани на один костюм уменьшился, поэтому расход ткани за день уменьшится на 80 м², то есть расход ткани на костюмы за день изменился на - 80 м². Таким образом, - 0,4×200= - (4×200)= - 80.

Считают, что 200×(- 0,4) = - (200×4)= - 80.

Вывод, чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «-».

Далее следует ввести правило умножения двух отрицательных чисел. «Уговариваем» учеников так.

Рассмотрим произведение 1,2× 0,3=0,36. Поменяем знак у первого множителя. Умножим (- 1,2) × 0,3= - 0,36. Затем - у второго множителя. 1,2 ×(- 0,3)= - 0,36. Можно заметить, что при изменении знака любого множителя знак произведения меняется, а его модуль остаётся тем же.

Поменяем последовательно знаки, сначала у одного, а затем у другого множителя.

Например, 8×1,1 = 8,8; (- 8)×1,1 = - 8,8. Изменение знака у первого множителя привело к изменению знака у произведения. Поменяем знак у второго множителя. Опять изменится знак у произведения, то есть (- 8)×(- 1,1) = - (- 8,8)=8,8. Приведённые рассуждения убеждают нас, что произведение отрицательных чисел есть число положительное.

Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.

Недостаток таких рассуждений в их формализме. Однако других рассуждений, связанных с практическими задачами, пока не придумали (нерешённая методическая задача).

Для запоминания правила знаков учащимся можно предложить такие «присказки»: друг (+) моего друга (+) – мой друг. Друг (+) моего врага (–) - мой враг (-). Враг (-) моего друга (+) - мой враг (-). Враг (-) моего врага (-) – мой друг (+).

Деление положительных и отрицательных чисел вводится как операция, обратная умножению. Разделить число а на число в, отличное от нуля, это значит найти такое число с, которое при умножении на в даст а.

Например, - 12: (- 4) = с, с ×(-4)=-12. Ясно, что с = 3. Анализируя результат, придём к выводу, что частное двух отрицательных чисел есть положительное число, модуль которого равен частному модулей делимого и делителя. Вводится правило: чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Аналогично вводится правило деления чисел разных знаков.

9. Введение понятия рационального числа играет важную теоретическую роль.

Учащимся известны натуральные числа.

При изучении противоположных чисел вводится определение целых чисел: натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами. Однако они не являются предметом изучения.

Рациональные числа определяются как числа вида , где а – целое число, п – натуральное число.

Учащиеся убеждаются, что

· любое целое число а является рациональным, так как его можно записать в виде ;

· сумма, разность, произведение и частное (если делитель отличен от нуля) двух рациональных чисел тоже рациональные числа;

· любое рациональное число можно записать либо в виде десятичной дроби (в частности, в виде целого числа), либо в виде периодической дроби.

В отдельный пункт выделены свойства действий с рациональными числами. Рассматриваются переместительное, сочетательное свойства сложения и умножения. Так как действие вычитание сводится к сложению противоположного числа, то распределительное свойство умножения рассматривается только относительно сложения.

В упражнениях представлены задания, в которых изученные свойства позволяют рационально считать.