Десятичные дроби в курсе математики 5 класса

Содержание учебного материала.

1.Десятичная запись дробных чисел.

2.Сравнение десятичных дробей.

3. Сложение и вычитание десятичных дробей.

4. Приближённые значения чисел. Округление чисел.

5.Умножение десятичных дробей на натуральные числа.

6. Деление десятичных дробей на натуральные числа.

7. Умножение десятичных дробей.

8. Деление на десятичную дробь.

Рассмотрим отдельные пункты приведённого списка.

1. Десятичная запись дробных чисел вводится посредством метрической системы мер. Так, учащимся предлагается выразить 6 дм 3 см сначала в см, а затем в дм. Получается 6 дм 3 см = 63 см = 6 дм, таким же образом находим, что 4 ц 17 кг = 4 ц. Далее сообщается, что числа со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д. условились записывать без знаменателя: сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части, при этом целую часть от дробной части отделяют запятой. В приведённых примерах 6 =6,3; 4 =4,17. Любое число, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями, можно представить в виде десятичной записи, или, как говорят иначе, в виде десятичной дроби (введение термина). Для записи десятичных дробей важно понимать, что после запятой числитель дробной части должен иметь столько же цифр, сколько нулей в знаменателе. Поэтому, например число 7 сначала записывают так: 7 =7,021.

Основные виды упражнений:

· запишите в виде десятичной дроби ();

· прочитайте десятичные дроби (0,02036);

· запишите в виде десятичных дробей числа (6 целых, 6 тысячных);

· запишите в виде дроби или смешанного числа (0,07);

· выразите в дециметрах, например, 9 см (в центнерах, например, 30ц 65кг, в тоннах и килограммах, например, 1,785 т).

2. Сравнение десятичных дробей сводится к сравнению натуральных чисел. Первоначально посредством метрической системы мер учащиеся убеждаются, что если в конце десятичной дроби приписать нуль или отбросить нуль, то получится дробь, равная данной. Поэтому, чтобы сравнить две десятичные дроби, надо сначала уравнять у них число десятичных знаков, приписав к одной из них справа нули, а затем, отбросив запятую, сравнить получившиеся натуральные числа.

3. При введении правил сложения и вычитания десятичных дробей используются обыкновенные дроби:

3,7+2,651=3,700+2,651=

Тот же ответ можно получить иначе, сложив числа «в столбик», предварительно уравняв количество знаков после запятой:

 

3,7+2,651=3,700+2,651=6,351 3,700

+ 2,651

6,351

Далее вводится алгоритм сложения десятичных дробей. Аналогично представлено вычитание десятичных дробей.

Важно обратить внимание учащихся на, приведённые в пункте 32 «Сложение и вычитание десятичных дробей», рассуждения о разложении десятичной дроби по разрядам. На примере представления числа 0,444 в виде 0,444=0,4+0,04+0,004 учащимся сообщается, что первый разряд после запятой называют разрядом десятых, второй – разрядом сотых, а третий разрядом тысячных. Разложение десятичной дроби по разрядам отрабатывается посредством упражнений.

Особенно ценную роль играют упражнения № 1199 и № 1200.

№ 1199. Используя буквы х и у запишите переместительное свойство сложения и проверьте его, если х =7,3, а у =29, Используя буквы а, в и с, запишите сочетательное свойство сложения и проверьте его при а =2,3; в =4,2 и с =3,7.

№ 1200. Используя буквы а, в и с, запишите свойство вычитания числа из суммы и свойство вычитания суммы из числа. Проверьте это свойство при а =13,2; в =4,8 и с =2,7.

Перечисленные свойства используются для рационализации вычислений и при решении уравнений. Приведём примеры.

№ 1201. Вычислите самым удобным способом значение выражения.

б) 0,387+(0,613+3,124); е) (24,302+17,879) - 1,302; г) 14,537 – (2,237+5,9).

№ 1211.

Решить уравнение: д) 2,8+ l +3,7=12,5.

7. Действие умножения десятичных дробей предваряет умножение десятичной дроби на натуральное число, которому придаётся следующий смысл: произведением десятичной дроби и натурального числа называют сумму слагаемых, каждое из которых равно этой дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу. приведённое определение позволяет сформулировать правило умножения десятичной дроби на натуральное число, а также на 10, 100, 1000 и т.д. Следом изучается и деление десятичной дроби на натуральное число, в частности, на 10, 100, 1000 и т.д.

Правило умножения десятичных дробей вводится посредством задачи: человек идёт со скоростью 4,6 км/ч. Какое расстояние он пройдёт: а) за 3 ч; б) за 0,1 ч; в) за 0,3 ч?

Вопрос (а) рассмотрен предварительно: 4,6×3=13,8.

Отвечая на вопрос (б), рассуждаем так: за час человек проходит 4,6 км, следовательно, за 1/10 часа - в десять раз меньше, то есть 4,6:10=0,46. С другой стороны, чтобы узнать пройденный путь следует скорость умножить на время, то есть 4,6×0,1=0,46. Вывод: умножить число на 0,1 всё равно, что разделить его на 10, то есть перенести запятую на один знак влево. Далее обобщаем это правило для случая умножения на 0,01; 0,001 и т.д.

Рассматриваем вопрос (в). За 0,3 ч человек пройдёт в 3 раза больше, чем за 0,1 ч, т.е. 0,46×3=1,38 км. С другой стороны, пройденный путь считается умножением пути на время: 4,6×0,3=1,38. Анализируем полученный результат и формулируем алгоритм умножения десятичных дробей.

К сожалению, в объяснительном тексте учебника не выделены сочетательное, переместительное и распределительное свойства умножения. Учащимся предлагается записать их с помощью букв и проверить для некоторых значений (упражнения № 1375 и № 1377). Знание перечисленных свойств и умение применять их является основой при выполнении заданий типа:

1) найдите значение выражения 0,78×496,6 – 396,6×0,78 (№ 1377 г);

2) упростите выражение 4,5 у – 2,3 у +1,6 у (№1378 б);

3) решите уравнение 80,1 х – 10,1 х +4,7=81,7 (№1414 б).

8. Деление десятичных дробей вводится посредством задачи: площадь прямоугольника равна 2,88 дм², а ширина его равна 0,8 дм. Чему равна длина прямоугольника?

Решение. 0,8 дм=8 см, 2,88 дм²=288 см². Длина: 288:8=36 (см)=3,6 (дм).

Естественно считать, что 2,88:0,8=3,6. Как и в случае натуральных чисел, 3,6 – частное 2,88 и 0,8, так как 3,6×0,8=2,88. с другой стороны, 28,8:8=3,6. Принято делить не на десятичную дробь, а на натуральное число. Для этого в делимом и делителе переносят запятую на столько цифр, сколько их после запятой в делителе. Вводим правило деления десятичных дробей.

Методически полезно записать задание в строчку, а уголком делить на натуральное число. Например, 24,576:0,48= 2457,6∟48

Наконец отметим, что в учебной литературе реализована попытка параллельного изучения натуральных чисел и десятичных дробей. Такая методика разработана авторским коллективом под руководством проф. Гельфман Э.Г. и представлена в учебнике для 5 класса «Натуральные числа и десятичные дроби», изданном в Томском университете.