Развитие понятие числа в математике

ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

 

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ

 

Понятие числа принадлежит к фундаментальным, основным понятиям современной математики. С помощью числа человек познаёт количественные отношения реального мира. Понятие числа возникло из практической деятельности людей.

Существуют историческая и логическая схемы развития понятия числа.

Исторически за натуральными числами возникают положительные дробные числа, затем отрицательные, иррациональные, мнимые числа и вместе с ними комплексные и гиперкомплексные числа (кватернионы).

Если обозначить множество натуральных чисел и нуль N₀, Q⁺- множество положительных дробных (рациональных) чисел, Q – множество всех рациональных чисел (дробных как положительных так и отрицательных), R – множество действительных чисел, С – множество комплексных чисел, то историческую схему развития понятия числа можно представить в виде N₀ÌQ⁺ÌQÌRÌС ® гиперкомплексные числа и кватернионы.

При этом каждое расширение имеющегося класса чисел происходило либо под влиянием практики, либо внутренних потребностей самой математики, связанных с необходимостью введения новых чисел для обеспечения выполнимости операций.

Логическая схема развития понятия числа предполагает рассмотрение числовых систем в такой последовательности: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа (NÌZÌQÌRÌС).

При этом потребность расширения имеющегося класса чисел обосновывается необходимостью выполнимости операций.

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В ШКОЛЕ

В установившейся школьной практике используется историческая последовательность развития понятия числа. Однако в результате экспериментального исследования возможностей реализации в школе логической схемы развития понятия числа были получены положительные результаты.

Ниже представлена последовательность изучения числовых систем в современной школе.

Натуральные числа (1 – 5 классы).

Рациональные числа:

положительные дробные числа, представленные обыкновенными и десятичными дробями (5, 6 классы), положительные и отрицательные дробные числа (6 класс).

Действительные числа (8 класс).

При изучении каждой из числовых систем обосновывается необходимость введения новых чисел, рассматриваются формы их записи, изображение точками координатного луча или прямой, сравнение, правила (алгоритмы) выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления, законы сложения и умножения.

ИЗУЧЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Натуральные числа изучаются в 5 и 6 классах.

Основная цель: обобщить и систематизировать знания учащихся о натуральных числах, полученные в начальной школе, развить вычислительные умения и навыки.

Содержание учебного материала:

5 класс.

1. Обозначение натуральных чисел.

2. Изображение натуральных чисел точками координатного луча.

3. Сравнение натуральных чисел.

4. Сложение натуральных чисел. Переместительное и сочетательное свойства сложения натуральных чисел.

5. Вычитание натуральных чисел.

6.Умножение натуральных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения натуральных чисел.

7. Деление натуральных чисел, в том числе, деление с остатком.

6 класс.

8. Делители и кратные.

9. Признаки делимости натуральных чисел на 10, 5 и 2; на 3 и 9.

10. Простые и составные числа.

11. Разложение натурального числа на простые множители.

12.Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа.

13. Наименьшее общее кратное (НОК).

МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

 

Вводятся натуральные числа как числа для счёта предметов.

.......

Остаётся заполнить подготовленные места цифрами. Обучение записи чисел может сопровождаться вопросами: какой старший класс и высший разряд содержит данное число, сколько цифр потребовалось для записи числа, какие классы и разряды отсутствуют в данном числе.

 

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Изучение каждого действия над натуральными числами предполагает установить:

1)смысл действия;

2) название компонентов и результата;

3) правило (алгоритм) его выполнения;

4) способы проверки результата;

5) зависимость между компонентами и результатом;

6) зависимость изменения результата в зависимости от изменения компонентов;

7) результаты действия с 0 и 1;

8) законы (свойства) действия;

9) приёмы устного выполнения действия.

В качестве примера рассмотрим умножение натуральных чисел.

1)Смысл действия: умножить число т на натуральное число п – значит найти сумму п слагаемых, каждое из которых равно т.

2)Название компонентов и результата: множители, произведение.

3)Правило (алгоритм) его выполнения: умножение “в столбик”.

4)Способы проверки результата: выполнение обратного действия - разделить произведение на один из множителей, чтобы получить другой множитель (после изучения деления).

5) Множитель равен произведению, делённому на другой множитель.

6) Если один из множителей увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и произведение увеличится (уменьшится) во столько же раз.

7) т× 0=0, т× 1= т.

8) Переместительный, сочетательный, распределительный относительно сложения и вычитания.

9) Приемы, основанные на законах действий.

Отметим, что сложение натуральных чисел вводится аксиоматически, то есть посредством задач, которые интуитивно решаются сложением. Вычитание и деление как действие, обратное сложению и умножению соответственно. Так, делением называется действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель.

Отметим, что наиболее трудным для учащихся является действие деление. Ученики допускают ошибки, беря цифру в частном, которая меньше требуемой, либо пропуская нуль в частном.

Для предупреждения ошибок первого типа необходимо приучить сравнивать полученный остаток с делителем, а избежать пропуск нуля в частном может помочь приём с точками. Например, при делении 317984:523.

3179 84 ∟523

3138 608

4184 ...

 

При изучении действий над натуральными числами следует формировать прочные навыки их выполнения, так как эти действия составляют основу вычислительных алгоритмов в других числовых системах.

 

ЗАКОНЫ (СВОЙСТВА) АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

В справедливости законов сложения и умножения учащиеся убеждаются, решая целесообразно подобранные задачи. Примеры таких задач приведены при описании метода обобщения (см. общую методику). Они должны знать формулировки законов, уметь записывать их в буквенной форме и знать, что изученные ими законы находят применение

· для обоснования правил арифметических действий: сложения и умножения “в столбик”;

· для рационализации вычислений;

· для упрощения выражений.

Приведём примеры.

№1.

276+652=(2×100+7×10+6)+(6×100+5×10+2)= (2×100+6×100)+(7×10+5×10)+(6+2)=

=(2+6)×100+(7+5)×10+(6+2).

+ 652

№2.

43×12=(10+2)×43=(2+10)×43=43×2+10×43.

´ 12

43

 

 

№3.

Найдите значение выражения (х +342)+129 при х =371.

№4. Упростите запись выражения 38+5 а +75+6 а.

ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

 

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ

 

Понятие числа принадлежит к фундаментальным, основным понятиям современной математики. С помощью числа человек познаёт количественные отношения реального мира. Понятие числа возникло из практической деятельности людей.

Существуют историческая и логическая схемы развития понятия числа.

Исторически за натуральными числами возникают положительные дробные числа, затем отрицательные, иррациональные, мнимые числа и вместе с ними комплексные и гиперкомплексные числа (кватернионы).

Если обозначить множество натуральных чисел и нуль N₀, Q⁺- множество положительных дробных (рациональных) чисел, Q – множество всех рациональных чисел (дробных как положительных так и отрицательных), R – множество действительных чисел, С – множество комплексных чисел, то историческую схему развития понятия числа можно представить в виде N₀ÌQ⁺ÌQÌRÌС ® гиперкомплексные числа и кватернионы.

При этом каждое расширение имеющегося класса чисел происходило либо под влиянием практики, либо внутренних потребностей самой математики, связанных с необходимостью введения новых чисел для обеспечения выполнимости операций.

Логическая схема развития понятия числа предполагает рассмотрение числовых систем в такой последовательности: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа (NÌZÌQÌRÌС).

При этом потребность расширения имеющегося класса чисел обосновывается необходимостью выполнимости операций.