Должны быть положительными, т. е.

Лп-1>0; Лn-s>O. (12.66)

Критерий Рауса для устойчивости системы также требует вы­

полнения двух условий:

1) коэффициенты характеристического уравнения (12.60) долж­

ны быть положительными;

до а. в порядке возрастающей нумерации индексов, строки

доnод­

2) коэффициенты первого столбца таблицы Р•уса (табл. 12.1).

+

содержащей п 1 строку, должны быть положm·ельными.

няют l{Оэффициеитами так, чтобы они чередовались только с чет­

ными (включая а0) и нечетными номерами индексов, а номера ин­ дексов в строке возрастали слева направо. Недостающие коэффи­ циенТhl с номерами индексов менЫllе нуля и бол ше п заменяют нулями.

Для устойчивого исходного состояния равновесия по Гурвrщу должны выполняться условия

В первую строку табл. 12.1 вписывают в порядке возрастания коэффициенты характеристического уравнения с четными номера­ ми иидек<:ав (включая а0), во вторую строку -коэффициенты ха­ рактеристического уравнения с нечетными номерами индексов" а коэффициенты, вписываемые в последуЮ1.Цие строки табл. 12.1. рассчитывают по формуле

а0 >0;

Л,>0, (12.62)

C1;i = C1<+1.i-2 -Л1- k+1.1-1. i 3,

где "-i-2 = C1,1-2IC1.l-l.

(12.67)

302 303

Таблица 12.1. Табпица Рауса

Номера k· ro

Номера t-a аrрок11

 

лю и направлещ110. Изме­

нение направления радиу­

l<оэ:: св-веитора <р (ro) связа110 со

-----'----'------ знаком вещественных час­

1 С11-= afl

С11-= й

3 с1э= а.-Х1а8

4 С14 = йа -J...2с2з

С21 = й2

С21= йа

С2з == а.о. -)..1ai; C2.i = Оо -Л2Сз3

C;,r1 = U'1

с,12 = а;,

Сзз:о=: йв-Л1а1

С:.4 == а, -Л4:1

t.o11 = а,,

(.":.; = (;

C.i,., = l1" - f,1uf\

("4 4 =- t;!l-Jc"i-(.,3

тей корней р 1, р"..., Рп. что следует нз представле­ ния характеристического уравнения я вцде произве- дения комплексных сомно­ ж11телей (12.69), аргументы

Коэффициенты, записанные в табл. 12.1, получены преобразо­

.заннем определителя Гурвица (12.61) с ис1ЮJ1ьзованием свойства,

 

<р" ·.:"' '!'") складываются

телеи содерж'!т корень

которых (углы поворота <р1,

алгебраически. Каждый нз этих сомножн­

согласно которому значение определителя не изменится, если к

коэффициентам любоi\ его строки прибавить коэффициенты другой

-строки, умноженные иа одно и то же число.

Алгоритмическая форма записи критерия Рауса удобна для оаиализа устойчивости систем с по,ющыо ЭВМ.

Кршперш1 Михайлова при анализе условий устойчивости сие­

-темы позволяет получить их наглядную геометрическую интерпре­

·тацию. Используя корни р 1, р"..., Рп характеристического урав- 111ения (12.60), nоследнее можно записать в вцде

D (р) = а0 (р - pJ (р - р.)... (р - Рп)- (J2.68)

После замены оператора р угловой скоростью колебаний /ro

:уравнение (12.68) можно записать в вцде произведения комплекс­

ЕЫХ сомиожите.11еА:

D Uro) - а0 (/w - p1)(jro - р;)... (jro- р0), (12.69)

'11 котором представляется возможным выделить вещественную и мнимую части -модуль и аргумент вектора:

D(jw)- ReD(Jw) +/lmD(jw) = IDUw>I ехр(/<р (ro)). (12.70)

Выражение (12.70) при фиксированной угловой скорости опи­ сывает хараюеристический радиус-вектор в комплексной плос- 4<ОСТИ по его полярным координатам с модулем 1 D (/w) 1 и аргумен­

-том <р (ro) или координатами конца радиуса-вектора по оси веще-

характеристического уравнения и при изме­

нении угловои скорости от нуля до плюс бесконечности соответст­ вует при отрицательной вещественной части кор11я повороту ради­ уса-вектора на угол +n/2, а при его положительной вещественной

част.и -на уmл -n/2.

Тогда для характернсти еского уравнения п-го порядка его т корням с положнтельнои вещественной частью соответствует уг л поворота -mл/2, п - т корням с отрицательной веществеи­ иои частью - угол п ворота (п - т) n/2, а результирующее из­ менение направле1шя радиуса-вектора будет

-mnt2 + (п -т) n/2 =nn/2 - mn. (12.73)

"' lmD{jw) E111P(jAJ)

 

 

а

Vис. t2.11. Кривые Михвйлооа для устой­

чивых систем уравнен11n n-го порядка (а)

-ственных чисел

ReD(/w) =а.-ап-2rо• +ап_,rо•- ··· (12.71)

и траектория кривоt\ Михайлова для rpa· ншt устоitчпностп nероого (/), второrо (2) и третьеrо (3) nшоя (6)

·. о

iii оси мнимых чисел

lm D (/ro) = a"_,ro -an-з<U3 +Un-sro' - ···. (12.72)

Если задаваться рядом возрастающих значений угловой ско­ рости, то точки перемещения радиуса-вектора (12.70) описывают 1<ривую, которую назывl\ют кривой Михайлова.

Графический анализ уравнения (12.70) в ком11лексноi! плоскос­

ти по независимой переменной ro и зависимым переменным 1 D (j<U) 1.

+

<р (ro) показывает, что характеристический радиус-вектор с измене­

•шем угловой скорости в пределах от О до оо варьчрует по моду-

Выражение (12.73) иллюстрирует сформулированный А. В. Мн­ ха ловым критерий устойчивости для линейной системы уравне· нин п-го порядка: если характеристический радиус-вектор в точке кривой Михайлова при 1WСледоваmельном изщте111ш угловой скорос­ ти в пределах от О до +оо имеет результир!J10Щш1 угол поворота

+пп/2, то решение С/Ш1U!МЫ уравнений успwйчиво.

Из графического анализа условий устойчивости системы по кри- 1ерию Михайлова вытекают следующие 1ЮJ1оже11ня (рис. 12.11, а): начаJ1ом кривой Михайлова является точка Юi оси. веществен­

ных чисел, так как при ro = О и Re D (О)+ j ImD (0) = [(е[) (О);

20 В-З7f15 305

кривая Михайлова проходит последовательио против хода ча­ совой стрелки все квадранты комп11ексной плоскости н уходит в бесконечность в квадранте, соответствующем порядку системы урав­ нений (прохождение кривой через начало коордю1ат требует допол­ нительных исследований на устойчивость);

должны чередоваться нули выражений

ReD(jro) =О; lm D(/ro) =О. (12.74,а)

Иs этих положений следует вторая формулировка критерия устойчивости Михайлова: для устойчивсго решения системы урав· нений необходимо. чтобы нули выражений веществеююй и мнимой частей характеристического радиуса-вектора (12.74, а) чередова­ лись. были дейс11WU111Ельными и при "'• =О

ReD(jro)>O; d(lmD(jro))/dro>O. (12.74,б)

По виду кривой Михайлова могут быть определены границы устойчивости всех трех типоо. При а" = О, что соответствует границе апери,однческой устойчивости, кривая Михайлова выходит из начала координат, свидетельствуя о наличии нулевого корня (рис. 12.11, б, кривая 1).

Для границы колебательной устойчивости характеристическое

уравнение имеет вид

D (jroo) = Re D (/ro0) + j lm D (jro0) = О.

Это означает, что Re D (jwJ = О, lm D (jw0) = О, а кривая Михай­ лова при угловой скоро<:ти незатухающих колебаний проходит через начало координат (рис. 12.11, б, кривая 2).

Границе устойчивости третьего типа соответствует наличие в характеристическом урав11ении бесконечного корня. При этом кри­ вая Михайлова изменяет траекторию в зависимости от смены знака с плюса на минус у коэффициента а0, как показано на рис. 12.11, б (кривая 3).

Метод D-разбиения позволяет выделить область устойчивости

в пространстве существенных переменных системы, функциональ­

но связанных с коэффициентами характеристического уравнения (12.60). которые при анализе рассматриваются в качестве перемен­ ных и позволяют оценить весомость технических параметров в фор­ мировании области устойчивости.

Метод заилючается в том, что при измеuении коэффициентов характеристического уравнения его корни образуют траектории перемещения на комплексной плоскости корней (в общем виде кор­ ни представляются комплексными числами). Смена знака веществен­ ной части корня означает пересечение его траекторией мнимой оси комплексной плоскости корней. Координаты точек пересечения об­ разуют так называемую границу D-разбиения пространства коэф­ фициентов характеристического уравнения (параметров техниче­ ской системы). В этих точках характеристическое уравнение имеет корни на мнимой оси комплексной плоскости корней. Замкljутая граница D-разбиения отделяет области с разJJичиым содержанием

корней с отрицательной вещественной частью, среди которых про­ веркой для произвольных точек области по ранее рассмотренным критериям устанавливается область устойчивости (в ней все корни имеют отрицательную вещественную часть).

Для нахождения границ области устойчивости используются нее три признака их существующих типов, если показатели системы входят в их выражения: для первого типа а" = О, для второго типа из критерия Гурвица д._, = О или критерия Михайлова D (jro) =

= О, для третьего типа ао = О. Границы D-разбиения раздел0яют

области различного числа корней с отрицательной веществеииоli

частью. Это подчеркивают соответствующей их штриховкой. В об­ ласти, в сторо11у которой направлены штрихи, число корнеli с от­ рицательной вещественной частью больше, чем в смежной области так как пересечение границы области соответствует переходу тра: ектории корпя через мнимую ось плоскости корней.

Для распространенного случая определения границы области устойчивости в плоскости двух показателей А и В рекомендуется "Сакая последов.а.тельность действий:

1. Характеристическое уравнение (12.60) представляют в виде (12.70).

2. Приравняв к нулю вещественную и мнимую части уравнения (12.70), nолуЧают

ReD(jro, А, В)=О; (12.75)

lmD(jro, А, В)=О. (12.76)

3. После совместного решения уравнениii (12.75) и (12.76) на­ ходят параметри•1еские уравнения

А (ro) =Д А (w)/д (ro); (12.77)

·B(ro) =дь(ю)/L\(<о), (12.78) опредмяющие координаты точек А, В границы D-раабнения для

ряда значений ro в пределах от -оо до +оо. В (12.77) и (12.78)

д, дА, Лв - соответственно главный и вспомогательные опреде­

лители системы уравнений (12.75) и (12.76).

4. При Л (ro.J = О границей D-разбиения являются особые пря­ мые, уравнения которых получают для nря юй, соответствуЮJ.ЦеЙ ro '::" оо, из равенства а0 (А, В) = О, а для прямой, соответствую·щеп ro =О, из равенства а" (А, В)= О при Л (ro.) =ДА (ro.) =

= Лв (ro.) =О подстщювкой ro• в уравнения (12.75) и (12.76).

5. Штрихуют границу D-разбиения в направлении возрастания ro слева при д > О и справа при д < О. ·

6. Особые прямые штрихуют так, чтобы в месте пересечения (при касании границы области) они были направлены друг к другу только Э;аштрихованными или только незаштрихоеанными старо-.

Нами.

7. Область устойчивости выделяют путем ее проверки в произ­ вольной точке (А0, В0) характеристического уравнения D (jro; А 0, В0) = О на устойчивость по любому критерию. F.сли данная точка

соответствует устойчивому состоянию, то исследуемая область яв­ ляется vбластью устойчивости.

20' 307

12.4. Упрощенные методы определения

динамической устойчивости автоматического регулирования возбуждения, изменяющего

э. д. с. генераторов и, следовательно, их электромагнитный мо­

Сильные возмущения в СЭС приводят к резким изме11ени11м ре­ жима ее рабош. Они вози икают в результате изменения состаnа лементов электрической сети нри их включениях и отключениях, 1(3, иарушеиий балан а генерируемой и 11отребляемой мощностей в узловых точках СЭС. На11более опасны возмущени11 при 1(3.

Задачами анализа динамической устойчивости СЭС янляюгся оценка хара ктера переходного процесса при сильных возмущениях, установление критических параметров при изменен ии режима, а

та"же расчет значений существенных параметров режима при пере· ходе из одного состояния в другое. Для решения этих задач испоJ1ь­ зуюгся приближенные методы, поскольку точная оценка динами­

ческой устойчнвости при учете всех переходных процессов и изме­