Відношення порядку на множині дійсних чисел.

3. Перед тим як розглянути дії над дійсними числами потрібно навчитися їх порівнювати, причому правила порівняння повинні включати в себе правила порівняння раціональних чисел. Оскільки кожне дійсне число можна представити у вигляді десяткового дробу, то було б доцільно порівнювати дійсні числа як порівнюються десяткові дроби.

Означення: два додатних дійсних числа називаються рівними, якщо в їхніх зображеннях за допомогою нескінченного неперіодичного десяткового дробу збігаються як цілі частини, так і всі десяткові знаки вправо від коми.

Означення: із двох додатних дійсних чисел більшим (меншим) буде те, у якого більша (менша) ціла частина, а якщо цілі частини рівні, то більшим (меншим) буде те, у якого більшим (меншим) буде перший із нерівних десяткових знаків.

Так само, як і при порівнянні від’ємних раціональних чисел, для порівняння від’ємних дійсних чисел введемо поняття модуля дійсного числа.

Означення: модулем дійсного числа α називають відстань від початку відліку числової прямої до точки цієї прямої, яка зображає число α.

Інколи означення модуля дійсного числа α дають в такій символічній формі:

 

 

α, якщо α≥0,

│α│=

-α, якщо α<0.

Вправа: Знайдіть модулі чисел: -12; 4; -3,5; 0; -2 .

Розв’язання.

Відповідно до вищенаведеного означення маємо: │-12│=-(-12)=12, бо -12<0; │4│=4, бо 4>0; │-3,5│= -(-3,5)=3,5, бо -3,5<0;│0│=0; │-2⅓│= -(-2⅓)=2⅓.

Означення: із двох від'ємних дійсних чисел більшим (меншим) буде те, модуль якого менший (більший).

Вправа: порівняти пари дійсних чисел: -Ö6 і -Ö7; -Ö12 і -Ö15.

Розв’язання.

Оскільки │-Ö6│=Ö6 і │-Ö7│=Ö7, а Ö6<Ö7, тобто │-Ö6│<│-Ö7│, то -Ö6>-Ö7. Аналогічно пропонуємо розв’язати друге завдання.

Якщо зобразити кожне дійсне число точкою числової прямої, то можна прийняти таке правило порівняння дійсних чисел:

Правило: із двох дійсних чисел більшим (меншим) буде те, яке зображається правіше (лівіше) на числовій прямій.

 

Додавання і віднімання додатних дійсних чисел.

4. Відповідно до вимог розширення множини раціональних чисел ми повинні ввести правила додавання, віднімання, множення і ділення дійсних чисел так, щоб вони не суперечили відповідним правилам виконання цих дій над раціональними числами. Враховуючи це зауваження, введемо означення суми, різниці, добутку та частки дійсних чисел.

Означення: сумою двох дійсних чисел одного знаку називається сума їх модулів, взята з тим самим знаком, які мають обидва доданки.

Означення: сумою двох дійсних чисел з різними знаками називається різниця між більшим і меншим модулем даних чисел, взята із знаком числа, модуль якого більший.

Означення: сума двох протилежних дійсних чисел дорівнює нулю, тобто а+(-а)=0.

Означення: сума двох дійсних чисел, одне з яких нуль, дорівнює другому доданку, тобто а+0=0+а=а.

Вправа: знайдіть суму чисел: 1) Ö3 і Ö5; 2) Ö3 і -Ö5; 3) -Ö3 і Ö5; 4) -Ö12 і -Ö17; 5) 0,121121112… і -0,343343334…

Розв’язання.

Оскільки у першому випадку обидва числа додатні, то маємо Ö3+Ö5. У другому випадку маємо числа різних знаків, а тому Ö3+(-Ö5)=-(│-Ö5│-│Ö3│)=-(Ö5-Ö3). У третьому випадку маємо -Ö3+Ö5=+(│Ö5│-│-Ö3│)=Ö5-Ö3. Для п’ятого випадку маємо: 0,121121112…+(-0,343343334…)=-(│-0,343343334…│-│0,121121112…│)=-(0,343343334…-0,121121112…)=-0,222…=-0,(2)= - .

Введені означення суми дійсних чисел можна поширити на випадок будь-якої скінченної кількості доданків, але як виконувати за цими означеннями дії не зовсім зрозуміло. Саме тому спочатку введемо поняття наближеного значення нескінченного неперіодичного десяткового дробу з недостачею та з надлишком, а потім відповідні правила виконання дій. Нехай маємо дійсне число α=0,232232223… Тоді значеннями цього нескінченного неперіодичного десяткового дробу з недостачею з точністю, до цілих, десятих, сотих тощо будуть такі значення 0; 0,2; 0,23; 0,232…, а з надлишком – 1; 0,3; 0,24; 0,233 … Записати це можна за допомогою наступних подвійних нерівностей:

0≤α≤1

0,2≤α ≤0.3

0,23≤α≤0,24

…

α_n′≤α≤α_n′′

…

У цих записах α_n′ - це значення дійсного числа α з недостачею, а α_n′′ - це значення дійсного числа α з надлишком.

Розглянемо два дійсних числа α і β з їхніми відповідними наближеннями α_n′≤α_n≤α_n′′ і β_n′≤β_n≤β_n′′. При розгляді властивостей числових нерівностей ми довели теорему про додавання нерівностей однакового смислу. Саме тому можна стверджувати справедливість наступної нерівності: α_n′+β_n′≤α_n+β_n≤α_n′′+β_n′′, яка дозволяє сформулювати наступне правило додавання дійсних чисел.

Правило: сума двох дійсних чисел α і β більша або дорівнює значення суми десяткових наближень цих чисел, взятих з недостачею та менша або дорівнює значення суми десяткових наближень цих чисел, взятих з надлишком.

Символічно маємо таку нерівність: α_n′+β_n′≤α_n+β_n≤α_n′′+β_n′′. Це правило можна поширити на будь-яку скінченну кількість доданків. Проілюструємо застосування цього правила на наступних прикладах.

Вправа: знайти суму дійсних чисел α=0,121121112… і β=1,242242224… з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих; г) тисячних.

Розв’язання.

Десятковим наближенням числа α до тисячних з недостачею буде 0,121, а з надлишком – 0,122. Для числа β будемо відповідно мати 1,242 і 1,243. Тепер можна за сформульованим правилом визначити значення суми чисел α і β з точністю до тисячних: 0,121+1,242≤α+β≤0,122+1,243. Отже, 1,363≤α+β≤1,365. Решту випадків пропонуємо студентам розглянути самостійно.

Виходячи із означення суми дійсних чисел легко довести справедливість такої теореми.

Теорема: сума дійсних чисел існує, єдина та підкоряється комутативному та асоціативному законам.

Символічно цю теорему можна записати так: 1) ("α,βєR)($!γєR)(α+β=γ); 2) ("α,βєR)(α+β=β+α); 3) ("α,β,γєR)((α+β)+γ=α+(β+γ)).

Означення: різницею двох дійсних чисел α і β називають таке третє дійсне число γ, яке в сумі з числом β дає число α.

Символічно це означення можна записати так: (γ=α-β)↔(β+γ=α). Легко довести справедливість такої теореми та переконатися у справедливості наступного правила.

Теорема: різниця двох дійсних чисел завжди існує та єдина.

Правило: щоб знайти різницю двох дійсних чисел потрібно до зменшуваного додати число протилежне від'ємнику.

Символічно це виглядає так α-β=α+(-β). Наприклад: Ö5-Ö3=Ö5+(-Ö3). Для практичного виконання віднімання дійсних чисел, які виражені нескінченними неперіодичними десятковими дробами, використовують їхні десяткові наближення. Як відомо, нерівності протилежного смислу можна почленно віднімати, а тому з α_n′≤α_n≤α_n′′ і β_n′≤β_n≤β_n′′, помноживши другу нерівність на -1, маємо: α_n′≤α_n≤α_n′′ і -β_n′′≤-β_n≤-β_n′. Тепер α_n′-β_n′′≤α_n-β_n≤α_n′′-β_n′.

Правило: різниця двох дійсних чисел α і β більша або дорівнює різниці числа α з недостачею та числа β з надлишком і менша або дорівнює різниці числа α з надлишком і числа β з недостачею.

Символічно це означення записується так: α_n′-β_n′′≤α_n-β_n≤α_n′′-β_n. Застосування правила покажемо на наступному прикладі.

Вправа: знайти різницю чисел Ö3 і Ö2 з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих.

Розв’язання.

Оскільки Ö3=1,7320508… і Ö2=1,4142135…, то знайдемо десяткові наближення цих чисел з точністю до сотих. Маємо 1,73≤Ö3≤1,74 і 1,41≤Ö2≤1,42. Тоді 1,73-1,42≤Ö3-Ö2≤1,74-1,41. Отже, 0,31≤Ö3-Ö2≤0,33. Випадки а) і б) пропонуємо студентам розглянути самостійно.