Модуль іу. «системи числення. Подільність чисел. ».

Змістовний модуль 4.2. «Подільність цілих невід’ємних чисел.».

ПЛАН.

1. Поняття «відношення подільності» та його властивості.

2. Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа.

3. Ознаки подільності цілих невід’ємних чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 25.

4. Прості і складені числа. Нескінченність множини простих чисел. Решето Ератосфена.

5. Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.

6. Дільники і кратні. Спільні дільники і спільні кратні. Найбільший спільний дільник (НСД) і найменше спільне кратне (НСК), їх властивості.

7. Обчислення НСД і НСК способом канонічного розкладу на прості множники та за алгоритмом Евкліда.

8. Загальна ознака подільності Б.Паскаля. Ознаки подільності на складені числа.

ЛІТЕРАТУРА: [1] – с. 141-155; [2] – с. 162-192; [3] – с. 271-289.

 

Поняття «відношення подільності» та його властивості.

1. Розглядаючи теоретико-множинну теорію цілих невід’ємних чисел, ми ввели означення відношення “ділитися націло”, розглянули його властивості. Як відомо, поділити ціле невід’ємне число а на натуральне число b це означає знайти таке ціле невід’ємне число с, що виконується рівність а=сb.

Означення: якщо для ає і bÎ існує таке сÎ , що виконується рівність а=сb, то говорять, що числа а і b знаходяться у відношенні подільності.

Означення: натуральне число а ділиться націло на натуральне число b, якщо існує додатній цілий корінь рівняння b×х=а.

Означення: натуральне число а не ділиться націло на натуральне число b, якщо не існує натурального кореня рівняння b×х=а.

Для позначення відношення подільності використовується такий символічний запис a b, який можна читати так: числа а і b знаходяться у відношення подільності, або а кратне b, або а ділиться націло на b, або b є дільником числа а. Відношення “ділитися націло” на множині цілих невід’ємних чисел є відношенням нестрогого порядку, бо володіє властивостями рефлексивності, антисиметричності та транзитивності. На основі цього відношення доводиться ряд теорем.

 

Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа.

2. Розглянемо деякі теореми, що дозволять давати відповідь на запитання про подільність найпростіших виразів на число.

Теорема 1: якщо кожен доданок суми цілих невід’ємних чисел ділиться на деяке натуральне число, то і сума цих чисел поділиться на це натуральне число.

Доведення: доведення проведемо для випадку двох доданків. Розглянемо цілі невід’ємні числа aÎ , bÎ , сÎN, a+bÎ . Нехай за умовою теореми , . Спробуємо довести, що (a+b) c. За означенням відношення подільності, якщо , , то існують такі к,mєN, що справедливі рівності а=с·к і в=с·m. Тоді а+в=ск+сm=с(к+m) (за дистрибутивним законом). Отже, a+b=c(k+m). Оскільки k, mÎ , то (k+m)Î . Таким чином, a+b=c(k+m). Тоді (a+b) c. Теорема доведена.

Доведену теорему можна поширити на будь-яке скінченне число доданків. Виявляється, що доведена теорема є лише достатньою ознакою подільності суми на число. Сформулюємо необхідну і достатню ознаку подільності суми на число, яку приймемо без доведення. Ознака: якщо один із кількох доданків суми цілих невід’ємних чисел ділиться на дане число, то для того, щоб сума ділилась на це число, необхідно і достатньо, щоб і кожен із решти доданків ділився на це число.

Теорема 2: якщо зменшуване і від’ємник різниці двох цілих невід’ємних чисел діляться на дане натуральне число, то і різниця поділиться на це натуральне число. – доведення цієї теореми пропонуємо провести самостійно, використовуючи доведення попередньої теореми!

Теорема 3: Добуток цілих невід’ємних чисел ділиться на натуральне число тоді, коли на дане число ділиться хоча б один із співмножників.

Доведення: для спрощення викладок доведення теореми проведемо для випадку двох співмножників. Нехай дано добуток цілих невід’ємних чисел ab. Виберемо для визначеності, що . Доведемо, що тоді c. Оскільки , то за означенням відношення подільності маємо а=ск, де кє . Отже, ав=(ск)в=с(кв). Оскільки то , тому (ab) c. Теорему доведено.