Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Операція об’єднання (додавання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.
Содержание книги
- Розподіл годин по семестрах для спеціальності 6. 010102- початкове навчання.
- Теми практичних занять для спеціальності 6.010102 –початкова освіта (2 р.н.).
- Навчальний проект для спеціальності 6.010102 – початкова освіта
- Для особистого контролю за одержанням балів
- Операція об’єднання (додавання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- Операція перетину множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- Операція доповнення до даної та універсальної множини та основні властивості (закони) цих операцій.
- Малюнок № 1. 19. Задання декартового добутку множин за допомогою графа.
- Малюнок № 1.20. Граф відповідності.
- Розміщення з повтореннями та без повторень.
- Перестановки з повтореннями та без повторення.
- Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.
- Діаграма № 2.1. Відношення часткового збігу між поняттями.
- Поняття предиката, його позначення та область визначення. Поняття кванторів існування та загальності, їх позначення та зв'язок між ними.
- Операція кон'юнкції предикатів.
- Операція еквіваленції предикатів.
- Поняття теореми, її будова. Види теорем (дана, обернена, протилежна, обернена до протилежної, спряжені теореми) та зв'язок між ними.
- Поняття міркування, правильні та неправильні міркування. Перевірка правильності міркувань з допомогою кругів Л.Ейлера.
- Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
- Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.
- Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.
- Порівняння відрізків, дії над відрізками. Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.
- Означення операцій додавання і віднімання чисел, що розглядаються як міри відрізків. Трактування множення і ділення, які розглядаються як міри відрізків.
- Позиційні та непозиційні системи числення, запис чисел у позиційних і непозиційних системах числення.
- Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.
- Модуль іу. «системи числення. Подільність чисел. ».
- Загальна ознака подільності Б. Паскаля. Ознаки подільності цілих невід’ємних чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 25.
- Прості і складені числа. Нескінченність множини простих чисел. Решето Ератосфена.
- Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.
- Обчислення нсд і нск способом канонічного розкладу на прості множники та за алгоритмом Евкліда.
- Ознаки подільності на складені числа.
- Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
- Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.
- Додатні раціональні числа як нескінченні періодичні десяткові дроби. Чисті та мішані періодичні дроби та їх перетворення у звичайні.
- Множина раціональних чисел, модуль раціонального числа, операції над раціональними числами. Властивості множини раціональних чисел.
- Відношення порядку на множині дійсних чисел.
- Числові вирази та їх види. Значення числового виразу та порядок обчислення значень числового виразу.
- Тотожні перетворення виразів. Тотожності. Виведення основних тотожностей.
- Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь.
- Рівняння з двома змінними. Рівняння лінії. Рівняння прямої та їх види.
- Малюнок № 6.1. Графік рівняння кола.
- Системи та сукупності рівнянь з двома змінними та способи (алгебраїчні та графічні) їх розв’язування.
- Застосування рівнянь та їх систем до розв’язування текстових задач.
- Системи та сукупності нерівностей з однією змінною та способи їх розв’язування. Нерівності та системи нерівностей з двома змінними, графічний спосіб їх розв’язування.
- Обернена пропорційність, її властивості та графік.
- Основні геометричні побудови циркулем і лінійкою.
- Побудова прямої, яка проходить через дану на ній точку, перпендикулярно до даної прямої.
- Побудова правильних многогранників.
- Правильні многогранники та їх види.
- Модуль 7: «елементи геометрії. Величини. ».
4. Розглянемо дві множини: А={2,3,4} і В={2,4,6}. Утворимо нову множину С={2,3,4,6}. Із яких елементів складається множина С? – із елементів, які входять хоча б в одну із множин. Множину С, яка складається із елементів, що належать хоча б одній із множин А чи В, називають об’єднанням множин А і В. Її позначають С=АÈB.
Означення: Об’єднанням множин А та В називають третю множину АÈВ, що складається із елементів, які входять хоча б в одну із множин А чи В.
Символічно наведене означення можна записати так: АÈВ={х /хÎА або аÎВ}. На діаграмі Ейлера-Венна ця множина зображена на малюнку № 1.6.
Малюнок № 1.6. об’єднання множин АÈВ.
Операція об’єднання може поширюватись на три і більше множин. Вона підкоряється певним законам, серед яких є такі, справедливість яких випливає безпосередньо із означення об’єднання, та такі, які слід доводити. До законів (властивостей) об’єднання, справедливість яких легко обґрунтувати, виходячи із означення об’єднання множин, відносяться:
1. AÈÆ=A.
2. AÈU=U.
3. AÈA=A - закон ідемпотентності (незмінності).
До законів, які слід доводити одним із можливих способів (міркуваннями або за допомогою діаграм Ейлера-Венна) відноситься переставний або комутативний закон: AÈB=BÈA. Для його доведення використовуємо діаграми Ейлера-Венна. Намалюємо дві однакові діаграми, на лівій із яких зображатимемо ліву частину рівності, а на правій – праву. На лівій діаграмі заштрихуємо множину A горизонтальними штрихами, а множину B - вертикальними. Множина AÈB зображається тією частиною універсальної множини, де є або горизонтальні, або вертикальні штрихи. На правій діаграмі множину A заштрихуємо вертикальними штрихами, а множину В - горизонтальними. Множина BÈA зображається на правій діаграмі тією частиною універсальної множини, де є або вертикальні, або горизонтальні штрихи. Порівнюючи їх, бачимо, що множини AÈB і BÈA зображаються на них однаковими частинами універсальної множини, а тому можна стверджувати, що AÈB=BÈA. Закон доведено (див. малюнок № 1.7.).
АÈВ ВÈА
Малюнок № 1.7. Доведення переставного закону AÈB=BÈA.
Доведемо сполучний або асоціативний закон (AÈB)ÈС=AÈ(BÈС) за допомогою міркувань. Оскільки дві множини вважаються рівними, якщо кожен елемент першої множини є елементом другої і, навпаки, кожен елемент другої множини є елементом першої множини, то доведення складається з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен елемент, що належить лівій частині асоціативного закону, є елементом і правої частини.
1. Нехай хÎ(AÈB)ÈС. Згідно означення об’єднання множин це означає, що: або 1) хÎ(AÈB), або 2) хÎС, або 3) хÎAÈB і хÎС. Якщо хÎAÈB, то або 1) хÎA, або 2) хÎB, або 3) хÎA і хÎB. Якщо хÎA, то, переходячи до правої частини закону, на основі означення об’єднання множин можна стверджувати, що хÎAÈ(BÈС). Якщо хÎB, то хÎBÈС, тобто хÎAÈ(BÈС). Якщо хÎA і хÎB, то хÎAÈ(BÈС). Якщо ж, нарешті, хÎС, то хÎ(BÈС), а тому хÎAÈ(BÈС). Таким чином ми показали, що будь-який елемент лівої частини рівності належить правій частині рівності. Оскільки елемент у лівій частині ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити для будь-якого елемента лівої частини. Отже, кожен елемент лівої частини рівності є елементом правої частини рівності. Перша частина теореми доведена.
2. Доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай уÎAÈ(BÈС). Згідно означення об’єднання множин можливі такі випадки: або 1) уÎA, або 2) уÎBÈС, або 3) уÎA і уÎBÈС. Якщо уÎA, то уÎAÈB, а тому уÎ(AÈB)ÈС. Якщо уÎBÈС, то або 1) уÎB, або б) уÎС, або в) уÎB і уÎС. Якщо уÎB, то уÎAÈB тоді уÎ(AÈB)ÈС. Якщо уÎС, то уÎ(AÈB)ÈС. Якщо уÎB і уÎС, то уÎ(AÈB)ÈС. Аналогічно легко довести справедливість рівності у випадку, коли уÎA і уÎBÈС. Оскільки елемент у в правій частині ми вибрали довільно, то наші міркування можна повторити для кожного із елементів правої частини. Отже, кожен елемент правої частини є елементом лівої. Другу частину теореми доведено.
Таким чином, кожен елемент лівої частини є елементом правої частини і, навпаки. А тому, ліва і права частини рівності складаються з одних і тих самих елементів. А це означає, що (AÈB)ÈС=AÈ(BÈС). Закон доведено.
Приклад: утворити об’єднання множин А та В, якщо множина А={1,2,3,4,5}, а В={а,в,с}. AÈB={1,2,3,4,5,а,в,с}.
|
