Розміщення з повтореннями та без повторень.

2. В останній задачі попереднього пункту ми утворювали впорядковані кортежі довжини три із елементів скінченної п’ятиелементної множини, причому деякі елементи повторювались 2 або 3 рази. Наприклад 112 i 111. В комбінаториці такі кортежі називають розміщеннями з повтореннями із заданих n елементів по k елементів. Число розміщень з повтореннями позначається так: Ã_n^k. Цей символічний запис читають: число розміщень з повтореннями із n елементів по k. Для визначення числа розміщень з повтореннями приймемо наступні означення та доведемо теорему.

Означення: розміщеннями з повтореннями із елементів n - елементної множини Х по k елементів називають кортежі довжини k, утворені із елементів цієї множини Х i компоненти яких повторюються.

Теорема 1: число розміщень з повтореннями із даних n елементів по k елементів обчислюється за формулою Ã_n^k=n^k.

Доведення:

Розглянемо скінченну множину Х таку, що n(Х)=n. Щоб утворити кортеж довжини k із елементів цієї множини Х, потрібно розглянути декартовий добуток множини Х саму на себе Х×Х×Х×...×Х, який містить k

k

елементів, бо кожен кортеж довжини k є елементом декартового добутку. Згідно з правилом добутку число елементів цієї множини Х×Х×Х×...×Х

k

дорівнює n(Х×Х×Х×...×Х)=n(Х)×n(Х)×n(Х)×...×n(Х)=n•n•n•...•n=nk. Теорему

 

k k k

доведено.

Застосування доведеної теореми проілюструємо на прикладі наступної задачі, подібну до якої ми раніше розв’язали, використовуючи правило добутку.

Задача: скільки п’ятицифрових чисел можна утворити із цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Розв’язання.

Оскільки в задачі нічого не говориться про те повторюються чи не повторюються цифри в записі чисел, то будемо вважати, що вони повторюються. Отже, в задачі є п’ятиелементна множина Х={1,2,3,4,5}, де n(Х)=5. Із елементів цієї множини потрібно утворювати впорядковані кортежі довжиною 5, бо нам потрібні п’ятицифрові числа, а, оскільки, цифри можуть повторюватися, то мова йде про розміщення з повтореннями. Отже, будемо використовувати формулу для обчислення числа розміщень з повтореннями, тобто Ã_n^k=n^k. У нашому випадку n(Х)=5, k=5, а тому Ã₅⁵=5⁵=3125. Таким чином, число розміщень з повтореннями із 5 елементів по 5 елементів дорівнює 3125.

У комбінаториці крім розміщень з повтореннями розглядаються розміщення без повторень. Для того, щоб навчитися їх обчислювати введемо означення та доведемо відповідну теорему.

Означення: розміщенням із даних n елементів скінченної множини Х по k елементів називаються впорядковані кортежі довжини k, утворені із елементів множини Х, компоненти яких не повторюються.

Число розміщень без повторень символічно позначається А_n^k i читається: число розміщень із даних n елементів по k елементів або А із n по k.

Теорема: Число розміщень з n елементів по k дорівнює добутку k послідовних натуральних чисел із яких найбільшим є n.

Символічно сформульована теорема запишеться так: А_n^k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n!/(n-k)!

Доведення.

Розглянемо скінченну множину Х таку, що n(Х)=n. Будемо утворювати із елементів цієї множини кортежі довжиною k, де k≤n. Оскільки в множині Х є n елементів, то перший компонент кортежу можна вибрати n способами, другий – n-1 способом, третій - n-2 способами, і нарешті k-й – n-(k-1)=n-k+1 – способом. Згідно правила добутку число А_n^k таких кортежів довжини k буде дорівнювати n(n-1)(n-2)...(n-k+1). Отже, А_n^k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1). Теорему доведено.

У математиці добуток всіх послідовних чисел від 1 до деякого числа k прийнято позначати спеціальним символом k! та називати k-факторіал. Наприклад: 3!=1•2•3=6; 5!=1•2•3•4•5=120; 7!=1•2•3•4•5•6•7=5040; k!=1•2•3•...•k. У математиці прийнято вважати, що 0!=1 i 1!=1. Використовуючи ці позначення, спробуємо перетворити формулу для знаходження числа розміщень. У формулі А_n^k є добуток всіх натуральних чисел від n до n-k+1, але немає добутку від 1 до n-k. Щоб одержати цей добуток i не змінити значення формули, домножимо й поділимо вираз у правій частині формули на добуток послідовних натуральних чисел від 1 до n-k. А_n^k=(n•(n-1)•(n-2)•...•(n-k+1)(n-k)•(n-k-1)•…3•2•1)/((n-k)•(n-k-1)•…3•2•1)= n!/(n-k)!. Це зроблено тому, що в чисельнику є добуток всіх послідовних чисел від 1 до n. Отже, чисельник можна записати як n!. У знаменнику є добуток всіх послідовних натуральних чисел від 1 до n-k, то запишемо його з використанням факторіалу, тобто (n-k)!.

Покажемо застосування виведених формул для обчислення числа розміщень на прикладі наступної задачі.

Задача: скільки двозначних чисел можна записати за допомогою цифр 2, 4, 5, 6, 7 так, щоб цифри не повторювалися?

Розв’язання.

У задачі йдеться про п’ятиелементну множину {2, 4, 5, 6, 7}, із якої слід вибирати кортежі довжини два так, щоб елементи, тобто цифри, не повторювалися. Отже, необхідно обчислити число розміщень без повторень із п’яти елементів по два елемента. Використаємо формулу А_n^k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1), в якій n=5, k=2. Обчислюємо А₅²;=5•(5-1)=5•4=20. Таким чином, за допомогою цифр 2, 4, 5, 6, 7 можна записати 20 двозначних чисел так, щоб вони не повторювалися.