Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.

8. Ми вже розглянули три числових множини: натуральні, цілі та раціональні числа. У кожній із цих множин ми навчилися порівнювати та виконувати арифметичні операції додавання, віднімання, множення і ділення. При порівнянні чисел виявилося, що натуральні і цілі числа набагато простіше порівнювати, ніж дробові. Разом з тим, досить легко порівнювати дробові числа з однаковими знаменниками. Саме ця ідея й була використана для запису дробових чисел без знаменника, що значно спрощувало порівняння таких чисел. Розглянемо систему числення з основою q. У такій системі числення довільне натуральне число nєN можна записати як суму добутків цифр цієї системи на степені основи системи числення наступним чином: n=a_kq^k+a_k-1q^k-1+a_k-2q^k-2+…+a₂q²+a₁q¹ +a₀q⁰, де nєN і a_k, a_k-1, a_k-2,…, a₂, a₁, a₀ – цифри числа n у системі числення з основою q. Інколи таке число записують і так: n=a_ka_k-1a_k-2…a₂a₁a₀. При таких записах порівнювати та виконувати арифметичні операції набагато простіше, бо існують відповідні алгоритми.

Видатний узбецький математик і астроном аль-Коші продовжив такий запис на числа менші за одиницю, відділивши більші за одиницю та менші за одиницю числа комою. Завдяки цьому він отримав такі записи: 1) r=a_kq^k+a_k-1q^k-1+a_k-2q^k-2+…+a₂q²+a₁q¹+…+a₀q⁰+b₁q^-1+b₂q^-2+b₃q^-3+…+b_mq^-m, де a_k, a_k-1, a_k-2, …, a₂, a₁, a₀, b₁, b₂, b₃,…,b_m – цифри числа r у системі числення з основою q; 2) r=a_ka_k-1a_k-2…a₂a₁a₀b₁b₂b₃…b_m. Такі дробові числа прийнято називати системними або систематичними дробами.

Означення: системним або систематичним дробом називають дріб, чисельник якого записано у деякій позиційній системі числення з основою q, а знаменник дорівнює степені основи q.

Якщо q=10, ми приходимо до поняття десяткових дробів, наприклад: 864,23=8•10²+6•10¹+4•10⁰+2•10^-1+3•10^-2=86423/10². Отже, приймаємо таке означення та без доведення кілька теорем.

Означення: десятковим дробом називається звичайний дріб із знаменником, що дорівнює степені десяти, записаний в десятковій позиційній системі числення

Означення: цифри, що стоять у десятковому дробі після коми, називаються десятковими знаками.

Теорема 1: множення десяткового дробу на 10ⁿ досягається перенесенням коми на n знаків (цифр) вправо.

Теорема 2: ділення десяткового дробу на 10ⁿ досягається перенесенням коми на n цифр вліво.

Теорема 3: дописування або відкидання у десятковому дробі нулів, які стоять наприкінці десяткового дробу, не змінює його величини.

Теорема 4: для зведення десяткових дробів до спільного знаменника достатньо приписати до того десяткового дробу, в якого менше десяткових знаків, стільки нулів, щоб десяткових знаків в обох дробах стало порівну.

На основі цієї теореми можна вважати, що всі десяткові дроби зведені до спільного знаменника.

Означення: число, яке стоїть у десятковому дробові до коми, називається цілою частиною. Число, яке стоїть у десятковому дробові після коми, називається дробовою частиною.

Теорема 5: із двох десяткових дробів більшим є той, у якого ціла частина більша. Із двох десяткових дробів з рівними цілими частинами більшим є той, у якого більший перший з нерівних десяткових знаків.

Для того, щоб виконувати операції над десятковими дробами, спочатку розглянемо питання про можливість перетворення звичайних дробів у десяткові та десяткових у звичайні. З шкільного курсу математики відомо, що легко перетворити будь-який десятковий дріб у звичайний, а от не всякий звичайний дріб можна перетворити у десятковий. Для перетворення десяткового дробу в звичайний його записують із знаменником, який є степенем числа 10, а потім, по можливості, проводять скорочення звичайного дробу до нескоротного. Відповідь про можливість перетворення звичайного дробу у десятковий дає наступна теорема.

Теорема 6: для того, щоб нескоротний дріб можна було записати у вигляді десяткового дробу, необхідно і достатньо, щоб до канонічного розкладу знаменника входили лише прості множники 2 і 5.

Доведення.

Оскільки у формулюванні теореми є словосполучення необхідно і достатньо, то доведення складатиметься з двох частин. У першій частині доведемо достатню умову: «якщо канонічний розклад знаменника дробу містить прості множники 2 і 5, то даний дріб можна представити десятковим дробом».

Оскільки за умовою число n має у своєму розкладі лише прості множники 2 і 5, то його можна представити так n=2^m•5^k, де для визначеності виберемо m>k. Тоді = . На основі основної властивості дробу та врахувавши, що m>k, помножимо чисельник і знаменник дробу на 5^m-k. Отримаємо = = = . Отже, звичайний дріб ми представили у вигляді дробу із знаменником, що дорівнює степені 10, тобто у вигляді десяткового дробу.

У другій частині теореми доведемо необхідну умову «якщо даний звичайний дріб можна представити у вигляді десяткового дробу, то канонічний розклад його знаменника містить прості множники 2 і 5». Нехай звичайний дріб можна представити у вигляді десяткового дробу так: = . Тоді за означенням рівності дробів маємо n•q=r•10^p. Для доведення слід показати, що n не містить простих множників, відмінних від 2 і 5. Використаємо для доведення метод від супротивного, тобто припустимо, що до розкладу числа n входить просте число s, яке не дорівнює ні 2, ні 5. Нехай n=s•2^α•5^β. Отже, маємо рівність s•2^α•5^β•q=r•10^p. 10^p не ділиться націло на s, бо НСД(s,10^p)=1. Тоді r s. Оскільки n s і r s, то СД(n,r)=s, а це суперечить умові, що дріб нескоротний. Таким чином, ця суперечність свідчить, що наше припущення про наявність в розкладі числа n множників, відмінних від 2 і 5 було хибним. Отже, знаменник дробу не ділиться на жодне просте число, відмінне від 2 і 5. Другу частину та всю теорему доведено повністю.

Для перетворення звичайного дробу в десятковий (якщо це можливо) необхідно поділити чисельник дробу на знаменник, наприклад, =0,375. Практично досить часто використовують десяткові дроби з сталим знаменником 100 чи 1000. такі дроби легко порівнювати та виконувати над ними арифметичні дії.

Означення: процентом або відсотком називають одну соту частину числа чи одиниці.

Означення: проміле називають одну тисячну частину числа чи одиниці.

Терміни «процент» і «проміле» походять від латинських слів «pro centum» (від ста) та «pro mile» (від тисячі)». Для позначення процентів використовують символ «%», а для позначення проміле – «‰». У практичній діяльності людині доводиться мати справу з трьома видами задач, пов’язаними з відсотками, а саме: 1) задача на знаходження процентів від числа, наприклад: «Площа ділянки складає 70 га. Городина займає 5%. Яка площа городини?»; 2) задача на знаходження числа за його процентом, наприклад: «20% довжини відрізка складає 5 м. Яка довжина всього відрізку?»; 3) задача на знаходження процентного відношення чисел, наприклад: «За планом робітник повинен був виготовити 100 деталей, а він виготовив 120 деталей. На скільки відсотків перевиконано план?».

Розглянемо тепер дії над десятковими дробами, зазначивши, що не будемо доводити терем про існування та єдиність суми, різниці, добутку та частки, бо кожен десятковий дріб легко представити у вигляді звичайного дробу, для яких відповідні теореми доведені. Так само приймемо без доведення той факт, що операції додавання і множення підкоряються комутативному та асоціативному законам, а також пов’язані між собою дистрибутивним законом. Враховуючи сказане, сформулюємо лише правила виконання арифметичних операцій над десятковими дробами.

Правило 1: щоб додати два десяткових дроби, потрібно підписати їх один під одним так, щоб кома була під комою, виконати додавання, не звертаючи уваги на кому, а в результаті кому поставити під комою.

Правило 2: щоб відняти два десяткових дроби, потрібно підписати їх один під одним так, щоб кома була під комою, виконати віднімання, не звертаючи уваги на кому, а в результаті кому поставити під комою.

Правило 3: щоб помножити два десяткових дроби потрібно, перемножити їх як натуральні числа, а в добутку відокремити комою справа наліво стільки десяткових знаків, скільки їх було в обох співмножниках разом.

Правило 4: щоб поділити два десяткових дроби потрібно, в діленому і дільнику перенести кому на стільки десяткових знаків вправо, щоб дільник став цілим числом, а потім виконати ділення на натуральне число.

Якщо розглядаються десяткові дроби з однаковими чи різними знаками, то для визначення знаку результату слід користуватися тими ж правилами, що і для звичайних дробів.