Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.

4. Ми вже зазначали, що знаходити площу многокутників чи інших геометричних фігур безпосередньо (накладанням палетки) не завжди зручно і раціонально. Саме тому, в математиці виведені формули для знаходження площ окремих видів геометричних фігур. Щоб познайомитися з ними доведемо наступні теореми.

Теорема 3: площа кожного прямокутника дорівнює добутку довжин його суміжних сторін.

Доведення:

Нехай нам дано прямокутник АВСД. Виберемо систему координат так, щоб осі ОХ і ОУ проходили через суміжні сторони цього прямокутника (див. малюнок № 7.12.).

У

а

В

С

А

b

Д

Х

Малюнок № 7.12.

 

Провівши через точки поділу прямі, паралельні осям координат, ми отримаємо на площині ХОУ сітку квадратів нульового рангу. Нехай m_е(АВ)=а і m_е(АД)=b. Тоді на кожній стороні квадрата вміщуватиметься ціле число таких квадратів. Підрахувавши число квадратів, які покривають прямокутник АВСД, ми знайдемо площу прямокутника. Довжини сторін прямокутника АВСД можуть виражатися, по-перше, натуральними числами, по-друге, - довжина хоча б однієї із сторін прямокутника є раціональним числом, по-третє, - довжина хоча б однієї із сторін прямокутника є ірраціональним числом, тобто нескінченним неперіодичним десятковим дробом. У першому випадку число квадратів дорівнюватиме добутку чисел, які показують скільки одиничних відрізків вміщується у стороні. Отже, площа прямокутника в першому випадку дорівнює добутку довжин його суміжних сторін S=a×b.

Якщо довжина хоча б однієї сторони прямокутника виражається раціональним числом, то побудуємо на площині ХОУ координатну сітку квадратів відповідного рангу. В цьому випадку на кожній стороні прямокутника вміщуватиметься ціле число квадратів відповідного рангу. Підрахуємо число таких квадратів, а оскільки довжини сторін цього прямокутника будуть виражатися десятковими дробами, то в цьому випадку число квадратів покриття дорівнюватиме добутку довжин суміжних сторін. Для прикладу нехай а=3,25, b=7,56. Тоді S=3,25×7,56=24,57.

Нехай принаймні одна сторона прямокутника виражається ірраціональним числом, тобто нескінченним неперіодичним десятковим дробом. Тоді, якими б не були квадрати покриття певного рангу, принаймні на одній стороні прямокутника не вміщуватиметься їх ціле число. У цьому випадку число квадратів покриття доведеться підраховувати з недостачею, коли знайдемо число квадратів, які складаються тільки із внутрішніх точок прямокутника, або з надлишком – коли підрахуємо число квадратів певного рангу, які повністю покривають прямокутник АВСД. Якщо m_е(АВ)=a і m_е(АД)=b, то для знаходження площі прямокутника слід знайти добуток дійсних чисел, тобто S=a×b. Таким чином, теорему доведено повністю. Цілком зрозуміло, що ми для спрощення викладок лише описали доведення теореми в другому та третьому випадках.

Користуючись цієї теоремою виведемо формули для обчислення площі деяких геометричних фігур.

Теорема 4: площа прямокутного трикутника дорівнює півдобутку довжин його катетів (див. малюнок № 7.13.).

Доведення:

 

А Д

 

С В

Малюнок № 7.13.

 

Нехай АВС (мал. №19) – прямокутний трикутник (ÐАСВ=90°), де m_е(АС)=а і m_е(СВ)=b. Добудуємо його до прямокутника, провівши через вершини А і В прямі, паралельні відповідно сторонам СВ і АС. Одержимо прямокутник АДВС, площа якого відповідно до попередньої теореми дорівнюватиме а×b. Оскільки DАДВ=DАВС, то 2S(DАВС)=S(АДВC). Отже, S(DАВС)=¹/₂S(АДВC)=¹/₂а×b. Теорему доведено.

Теорема 5: Площу будь-якого трикутника можна обчислювати за формулами: 1) S=¹/₂аh, де а – довжина основи, h – довжина висоти, опущеної на сторону а; 2) S=¹/₂аbsing, де а і b – довжини суміжних сторін трикутника, g - величина кута між цими сторонами; 3) S=Ö(p(p-a)(p-b)(p-c)), де а, b і с – довжини сторін трикутника, p=¹/₂(а+b+c).

Доведення:

Розглянемо трикутник АВС (див. мал. № 7.14.). Опустимо з вершини В висоту на сторону АС. Трикутник АВС розіб’ється на два прямокутних трикутника АВД і ВСД. Відповідно до аксіом площі S(DАВC)=S(DАВД)+S(DВСД).

Відповідно до попередньої теореми S(DАВД)=¹/₂АД×ВД, S(DВСД)=¹/₂СД×ВД. Тоді S(DАВС)= ¹/₂АД×ВД+¹/₂СД×ВД=¹/₂(АД+СД)×ВД=¹/₂СА×ВД. Якщо позначити сторону трикутника через а і висоту – через h, то матимемо S_D=¹/₂а×h. Першу формулу виведено.

Для виведення другої формули введемо такі позначення: АВ=с, ВС=а, АС=b, ÐВАС=a, ÐАВС=b і ÐВСА=g. Із трикутника А ВД маємо: ВД:АВ=sina. Враховуючи наші позначення, маємо: S(DАВС)=¹/₂АС×ВД=¹/₂bсsina. Другу формулу виведено.

 

 

В

 

 

c а

 

 

А Д b С

Малюнок № 7.14.

 

Для виведення третьої формули пригадаємо відому із шкільного курсу математики теорему косинусів: c²=a²+b²-2abcosg. Звідси маємо: cosg=(a²+b²-c²):2ab. Для виведення формули Герона скористаємося формулою S_D=¹/₂аbsing. Із шкільного курсу математики відомо, що sin²g=1-cos²g. Звідси: sin²g=1-cos²g=(1-cosg)(1+cosg)=(1-((a²+b²-c²):2ab))(1+((a²+b²-c²):2ab))=((2ab-a²-b²+c²):2ab)((2ab+a²+b²-c²):2ab). Оскільки 2ab-a²-b²=-(a²-2ab+b²)=-(a-b)² і 2ab+a²+b²=(a+b)², то дужки матимуть вигляд: ((с²-(a-b)²):2ab)(((a+b)²-с²):2ab)=¹/₄а²b²(с-а+b)(с+а-b)(а+b+с)(а+b-с)=¹/₄а²b²(а+b+с)(а+b-с)(а+с-b)(b+с-а). Якщо позначити а+b+с=2p, то а+b-с=2р-2с, а+с-b=2р-2b і b+с-а=2р-2а. Отже, маємо sin²g=2р2(р-а)2(р-b)2(р-с)/¹/₄а²b². Звідси sing=4/2аbÖ(р(р-а)(р-b)(р-с)). Таким чином, S=¹/₂²/_аbаbÖ(р(р-а)(р-b)(р-с))=Ö(р(р-а)(р-b)(р-с)), де р=¹/₂(а+b+c). Третю формулу виведено.

Теорема 6: площа паралелограма обчислюється за формулами: 1) S=ah, де а – довжина сторони, h – довжина висоти, опущеної на цю сторону; 2) S=absina, де а і b – довжини суміжних сторін паралелограма, a - кут між цими сторонами; 3) S=¹/₂d₁d₂sing, де d₁ і d₂ – діагоналі паралелограма, g - кут між діагоналями.

Доведення:

Для виведення першої формули проведемо діагональ ВД і висоту ВК (див. мал. № 7.15.). Діагональ ВД поділяє паралелограм АВСД на два рівних трикутника (DАВД=DВСД). Тоді S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=2S(DАВД). Оскільки S(DАВД)=¹/₂АД×ВК, то S(АВСД)=2×¹/₂АД×ВК=АД×ВК. Позначивши АД=а, ВК=h, маємо S(АВСД)=а×h.

Для виведення другої формули врахуємо, що S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=2S(DАВД), АВ=а, АД=b і ÐВАД=a. Знайдемо ВК із DАВК. ВК:АВ=sina. Оскільки S(DАВД)=¹/₂АД×ВК=¹/₂АД×АВsina, то S(АВСД)=а×bsina. Другу формулу також виведено.

Для виведення третьої формули проведемо у паралелограмі АВСД діагоналі АС=d₁, ВД=d₂ і позначимо ÐАОВ=g. Тоді ÐАОД=180°-g. S(АВСД)=2S(DАВД)=2S(DВОА)+2S(DАОД)=2¹/₂ВОАОsing+2¹/₂АООДsin(180°-g)=АО(ВОsing+ОДsin(180°-g)). Оскільки sin(180°-g)=sing, то S(АВСД)=АО(ВО+ОД)sing=АОВДsing=¹/₂АСВДsing. Врахувавши, що ВД=d₂ і АС=d₁, матимемо: S(АВСД)= ¹/₂АСВДsing=¹/₂d₁d₂. Теорему доведено повністю.

В С

 

а

 

А К b Д

Малюнок № 7.15.

 

Теорема 7: Площа трапеції дорівнює добутку висоти на півсуму основ або обчислюється за формулами: 1) S=¹/₂(a+b)h, де a і b – основи трапеції, h – висота трапеції; 2) S=mh, де m=¹/₂(а+b). – середня ліній трапеції, h – висота трапеції.

Доведення:

Проведемо у трапеції АВСД (див. мал. № 7.16.) діагональ ВД і висоту ВК. Тоді S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=¹/₂АД×ВК+¹/₂ВС×ВК=¹/₂ВК×(АД+ВС)= ½(а+b)×h=m×h. Теорему доведено.

В а С

 

А К b Д

Малюнок № 7.16.

 

У практичній діяльності та в математиці доводиться досить часто знаходити не лише площі плоских фігур, але й площі поверхонь геометричних тіл. Нагадаємо, площею поверхні многогранника називають суму площ усіх його граней. Із шкільного курсу геометрії відомі наступні теореми та формули для їх знаходження:

1) площа бічної поверхні довільної призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу призми на її бічне ребро;

2) площа повної поверхні довільної призми дорівнює сумі її бічної поверхні та площ основ;

3) площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на довжину бічного ребра;

4) площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра її основи на довжину апофеми;

5) площа повної поверхні правильної піраміди дорівнює сумі площі її бічної поверхні та площі основи;

6) площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола його основи на висоту, тобто S_б.ц.=2pRH;

7) площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі її бічної поверхні та площ його основ, тобто S_п.ц.=2pRH+2pR²=2pR(H+R);

8) площа бічної поверхні конуса дорівнює половині добутку довжини кола його основи на довжину твірної, тобто S_б.к.=pRl;

9) площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі його бічної поверхні та площі його основи, тобто S_п.к.=pRl+pR²=pR(l+R);

10) площа поверхні кулі дорівнює почетвереній площі її великого круга, тобто S_кулі=4pR²;

 

5*. Поняття об’єму тіла, його властивостей, способів його вимірювання, одиниць вимірювання та співвідношень між ними. Об’єми многогранників та тіл обертання.

5. Об'єм геометричного тіла можна вимірювати так само, як і площу геометричних фігур двома способами: безпосередньо чи опосередковано, за допомогою формул. У першому випадку система координат у просторі розбивається на одиничні куби певного рангу. Їх можна отримати, якщо через точки поділу на координатних осях провести площини, паралельні координатним площинам. Відповідно до цього геометричне тіло розіб’ється на одиничні куби. При цьому можливі два випадки: 1) одиничні куби повністю вичерпують тіло, тоді його об'єм характеризуватиметься невід’ємним раціональним числом; 2) куби певного рангу не вичерпують всього тіла, а тому об'єм такого тіла характеризуватиметься додатнім ірраціональним числом. Отже, можна вважати, що об'єм геометричного тіла є мірою кубовності або це величина обмеженої частини простору, яку займає тіло. Тепер введемо означення поняття “об'єм геометричного тіла”. Так само, як і для довжини та площі використаємо аксіоматичний підхід до введення поняття об’єму.

Означення: об’ємом геометричного тіла називається невід’ємна скалярна величина, яка характеризує міру кубовності геометричного тіла та визначена для кожного геометричного тіла так, що виконуються наступні аксіоми:

1. У множині М геометричних тіл існує нульовий куб k₀ такий, що m(k₀)=0 (символічно ця аксіома запишеться так: ([($k₀єМ)(m(k₀)=0)]).

2. У множині М існує одиничний куб k такий, що m(k)=1, яким можна виміряти об'єм будь-якого геометричного тіла (символічно ця аксіома запишеться так: ([($kєМ)(m(k)=1)]).

3. Рівні геометричні тіла мають рівні об’єми (символічно ця аксіома запишеться так: ([( " F,GєM)((F=G)↔ (m_k(F)=m_k(G))]).

4. Якщо геометричне тіло F складається із скінченного числа геометричних тіл F₁, F₂, F₃,...F_n, які не мають спільних внутрішніх точок, то об'єм геометричного тіла F дорівнює сумі об’ємів геометричних тіл F₁, F₂, F₃,...F_n (символічно: [( " F,F₁,F₂,F₃,...,F_nєM)((F=F₁+F₂+F₃+...+F_n)↔ (m_k(F)=m_k(F₁)+m_k(F₂)+m_k(F₃)+...+m_k(F_n))]).

Цілком зрозуміло, що щоразу визначати об'єм геометричного тіла безпосереднім підрахунком числа кубів певного рангу дуже незручно, а тому в математиці для визначення об’ємів певних геометричних тіл вивели формули для знаходження об’єму. Із шкільного курсу геометрії відомі наступні теореми та формули, які ми наведемо без доведення:

1. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів, тобто V=abc.

2. Об'єм куба дорівнює кубу його ребра, тобто V=a³.

3. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи паралелепіпеда на висоту, тобто V=S_осн.H.

4. Об'єм призми дорівнює добутку площі її основи на висоту, тобто V=S_осн.H.

5. Об'єм будь-якої піраміди дорівнює одній третині добутку площі її основи на висоту, тобто V=¹/₃S_осн.H.

6. Об'єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту, тобто V=pR²H.

7. Об'єм конуса дорівнює одній третині добутку площі його основи на висоту, тобто V=¹/₃pR²H.

8. Об'єм кулі дорівнює добутку однієї третини поверхні кулі на її радіус, тобто V=⁴/₃pR³.

Оскільки основною одиницею вимірювання довжини у системі “SI” є 1 м, то основною одиницею вимірювання об’єму є 1 куб. м або 1 м³. Похідними одиницями вимірювання об’єму є наступні одиниці: 1 куб. дм (дм³)=0,001 м³=1000 см³; 1 куб. см (см³)=0,000001 м³=1000 мм³; 1 куб. мм (мм³)=0,000000001 м³; 1 куб. км (км³)=1000000000 м³. Для вимірювання об’єму рідких і сипучих тіл використовують такі одиниці: 1 літр (л), що дорівнює об’єму 1 куб. дм.; 1 мілілітр (мл)=0,001 л; 1 мікролітр (мкл)=0,000001 л; 1 декалітр (дкл)=10 л; 1 гектолітр (гл)=100 л; 1 кілолітр (кл)=1000 л. Аналогічно, як і у випадку з одиницями вимірювання площі, можна ввести позначення старовинних мір об’єму та встановити їхні співвідношення із сучасними мірами об’єму.

 

Поняття величини та способів її вимірювання у курсі математики початкових класів. Величини початкового курсу математики (маса, ціна, кількість, вартість, швидкість, час, відстань тощо), способи та одиниці їх вимірювання, залежність між одиницями вимірювання.

6. Як у практичній діяльності, так і в наукових дисциплінах, що займаються вивченням і вимірюванням величин, зустрічаються найрізноманітніші величини. Найчастіше у практичній діяльності людині доводиться зустрічатися з такими величинами як маса, вага, сила, час тощо. У повсякденному житті дуже часто вживаються такі терміни: вага, маса. Непоодинокі випадки, коли не вбачається ніякої різниці між ними.

Для того, щоб цього не відбувалося, нагадаємо: 1) вага – це сила, з якою тіло притягується Землею; 2) маса – це властивість тіла, що характеризує його інертність і якою користуються для вимірювання ваги тіла шляхом порівняння його з вагою іншого. Якщо маса тіла не змінюється в залежності від місця розташування на Землі, то вага тіла змінюється. Так на полюсі тіло важить на 0,5% більше, ніж на екваторі. Так само, як і для вимірювання розглянутих величин, сутність вимірювання маси полягає у порівнянні маси одного тіла з масою іншого, яке обране за одиницю вимірювання. Можна прийняти аксіоматичне означення поняття “маса тіла”. Таким чином, маса – це невід’ємна скалярна величина, що характеризує міру інертності тіла.

Означення: маса – це невід’ємна скалярна величина, що характеризує міру інертності тіла та має такі властивості:

1) існує тіло, маса якого дорівнює 1;

2) маса тіла, яке складається із кількох частин однорідного матеріалу, дорівнює сумі мас його частин;

3) маси однакових тіл, виготовлених з одного й того ж матеріалу рівні.

Аналогічно, як і при вимірюванні розглянутих величин, при вимірювання маси ми можемо зустрітися з двома випадками: 1) процес вимірювання скінченний, а тоді величина маси виражатиметься невід’ємним раціональним числом; 2) процес вимірювання нескіченний, а мірою маси є невід’ємне ірраціональне число. Основною одиницею вимірювання маси в системі “SI” є 1 кілограм (кг), а похідними: 1 грам (г)=0,001 кг; 1 центнер (ц)=100 кг; 1 тонна (т)=1000 кг.

Інші величини також можна визначити аксіоматично, але, цілком зрозуміло, що в курсі математики початкових класів навряд чи це доцільно з методичної точки зору. Крім того, слід враховувати вікові особливості молодших школярів. Разом з тим, обійтися в курсі математики І-ІУ класів зовсім без вивчення величин неможливо. Саме тому, у пояснювальній записці до програми з математики записано, що основою початкового курсу математики є арифметика цілих невід’ємних чисел та основних величин. Основними завданнями вивчення величин у початкових класах є формування уявлень дітей про деякі види величин, усвідомлення ідеї вимірювання величин, ознайомлення з одиницями вимірювання величин і співвідношенням між ними, формування конкретних уявлень про окремі одиниці вимірювання величин тощо.

Всі величини курсу математики І-ІУ класів можна поділити на дві групи. До першої із них відносять ті, відносно яких ставиться завдання навчити дітей їх вимірювати (довжина, площа). Іншу групу складають величини, відносно яких такого завдання не ставиться (час, швидкість, маса тощо). Зазначимо, що до основних завдань ознайомлення молодших школярів з величинами слід віднести доведення до їхньої свідомості того факту, що однорідні величини можна додавати, віднімати, множити або ділити на число.

До скалярних величин, які вивчаються в курсі математики початкових класів, відноситься також така величина як час. Над проміжками часу можна виконувати такі дії: додавання, віднімання, множення на число, ділення на число, ділення проміжку часу на проміжок часу, якщо вони виражені в однакових одиницях вимірювання, визначаючи при цьому у скільки разів один із них менший чи більший за інший. Для вимірювання проміжків часу використовують спеціальний пристрій – хронометр. Одиницями вимірювання часу, які розглядаються в курсі математики початкових класів є: 1 секунда (с), яка є основною одиницею вимірювання часу в системі «SI»; 1 хвилина (1 хв=60 с); 1 година (1 год=60 хв=3600 с); 1 доба, як проміжок часу, за який Земля робить один повний оберт навколо своєї осі. Вважають, що доба складається приблизно з 24 годин; 1 місяць, який може містити 28, 29, 30 чи 31 добу; 1 рік – це проміжок часу, за який Земля робить один повний оберт навколо Сонця та який містить 365 чи 366 (у високосному році) діб; одне століття, яке складається із ста років.

Одним із практичних завдань курсу математики І-ІУ класів є ознайомлення учнів з такими поняттями як ціна і вартість. Під ціною розуміють кількість грошей, яку слід заплатити за одиницю товару. Вартість розуміють як кількість грошей, що їх необхідно сплатити за кілька одиниць товару або за всю покупку. Одиницями вимірювання цих величин є 1 гривня (грн) та 1 копійка (1 к), причому 1 грн=100 к. Формування уявлень дітей про ціну і вартість відбувається у процесі розв’язування простих задах трьох видів: 1) за відомою ціною і кількість визначити вартість, наприклад: «У магазині купили 5 кг цукру за ціною 3 гривні 40 копійок. Скільки грошей заплатили за покупку?»; 2) за відомою вартістю і ціною визначити кількість, наприклад: «За цукор заплатили 17 грн. Ціна цукру 3 грн 40 коп. Скільки кілограмів цукру купили?»; 3) за відомою кількістю і вартістю визначити ціну, наприклад: «За 5 кг цукру заплатили 17 гривень. Яка ціна цукру?». Крім того, діти виконують вправи на перетворення складених іменованих чисел у прості та, навпаки, простих – у складені, наприклад: 17 грн 15 коп = 1715 коп; 256 коп=2 грн 56 коп. Також навчаються діти виконувати арифметичні операції над простими та складеними іменованими числами, вираженими в одиницях вимірювання ціни чи вартості. Приклади виконання таких вправ представлено у наступній таблиці № 7.1.

 

Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів.

1. Побудувати перпендикуляр до заданого відрізка в його середині.

2. Поділити заданий відрізок на дві рівні частини.

3. Поділити заданий кут пополам.

4. Через точку А провести пряму, паралельну даній прямій.

5. Побудувати відрізок х, який є четвертим пропорційним для трьох заданих відрізків, тобто відрізок, який задається формулою х=(аb)/с.

6. Побудувати відрізок х, який є середнім пропорційним відрізком для двох даних, тобто відрізок заданий формулою а/х=х/b або х²=аb або х=√(аb).

7. Поділити заданий відрізок на кілька рівних частин.

8. Побудувати трикутник за трьома сторонами; за двома сторонами і кутом між ними; за стороною і двома прилеглими кутами.

 

 

Додавання	Віднімання	Множення	Ділення
5 грн 70 коп +7 грн 93 коп 13 грн 63 коп	12 грн 53 коп - 4 грн 87 коп 7 грн 66 коп	6 грн 83 коп × 4 27 грн 32 коп	63 грн 54 коп: 9 = 7 грн 06 коп
+793 1363 коп=13 грн 63 коп	- 487 766 коп= 7 грн 66 коп	× 4 2732 коп=27 грн 32 коп	6354 9 - 63 706 - 54 706 коп = 7 грн 06 коп

 

Таблиця № 7.1. Дії над іменованими числами.

Навчальне видання

 

Сілков В.В. Математика. Курс лекцій. //Методичні вказівки до вивчення курсу математики. Для студентів спец. № 6.01.01.02 “Початкова освіта” (2 р.н.). – Рівне, РДГУ, 2009. – 194 с.

 

Відповідальний редактор: проф. В.В.Сілков

Відповідальний за випуск: проф. В.В.Сілков

Технічний редактор: Л.Б. Момотюк

Комп’ютерна верстка: Л.Б.Момотюк

Підписано до друку.. 2006р.

Формат 60х84 1/16. Папір друкарський.

Умовн. друк. арк.

Тираж 100 примірників

Інформаційно-видавничий відділ

Рівненського державного гуманітарного університету

33028, м. Рівне, вул. С.Бандери 12