Тотожні перетворення виразів. Тотожності. Виведення основних тотожностей.

4. У математиці досить часто доводиться перетворювати вирази, що містять змінну. Особливу увагу при цьому мають перетворення, які не змінюють значення виразу.

Означення: Два вирази f(х) і g(х) називаються тотожньо рівними на множині Х, якщо виконуються наступні умови: 1) множини допустимих значень змінної в цих виразах співпадають; 2) для будь-якого числа х₀єХ справджується рівність f(х₀)=g(х₀).

Якщо сполучити два тотожно рівних вирази знаком рівності, то одержимо запис, який називають тотожністю. Наприклад, 5а+b=b+5а. Заміну одного виразу іншим, тотожньо рівним йому, називають тотожнім перетворенням виразу. Наприклад, вираз а²+2аb+b² можна замінити тотожно рівним йому виразом (а+b)². Твердження про тотожну рівність виразів є висловленнями, бо про такі вирази можна говорити хибні вони чи істинні. Для їх запису можна використовувати квантори. Наприклад, для наведеної вище тотожності можна використати квантор загальності і символічно записати тотожність так: ("а,b)(а²+2аb+b²=(а+b)²).

У математиці доведено цілий ряд тотожностей, які широко використовуються при тотожних перетвореннях виразів та при розв’язуванні рівнянь і нерівностей. До них відносять принаймні наступні:

1) (а+b)²=а²+2аb+b² - квадрат суми двох чисел дорівнює квадрату першого числа плюс подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа. Для виведення цієї тотожності зробимо такі перетворення: (а+b)²=(а+b)(а+b)=а²+аb+ab+b²=а²+2аb+b². Отже, тотожність (а+b)²=а²+2аb+b² доведено;

2) (а-b)²=а²-2аb+b² - квадрат різниці двох чисел дорівнює квадрату першого числа мінус подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа. Пропонуємо студентам вивести цю тотожність самостійно, виконавши завдання для самостійної роботи;

3) а²-b²=(а-b)(а+b) – різниця квадратів двох чисел дорівнює добутку їх різниці на їх суму;

4) (а+b)³=а³+3а²b+3аb²+b³ - куб суми двох чисел дорівнює кубу першого числа плюс потроєний добуток квадрата першого числа на друге число плюс потроєний добуток першого числа на квадрат другого числа плюс куб другого числа. Доведення цієї тотожності проводиться аналогічно до першої, тобто (а+b)³=(а+b)(а+b)²=(а+b)(а²+2аb+b²)=а³+2а²b+аb²+а²b+2аb²+b³=а³+3а²b+3аb²+b³. Тотожність доведено;

5) (а-b)³=а³-3а²b+3аb²-b³ - куб різниці двох чисел дорівнює кубу першого числа мінус потроєний добуток квадрата першого числа на друге число плюс потроєний добуток першого числа на квадрат другого числа мінус куб другого числа. Доведення цієї тотожності проводиться аналогічно до попередньої, а тому пропонуємо це зробити самостійно;

6) а³-b³=(а-b)(а²+аb+b²) – різниця кубів двох чисел дорівнює різниці цих чисел помноженій на неповний квадрат суми цих чисел. Для доведення цієї тотожності візьмемо ліву частину рівності та розкриємо в ній дужки. Маємо: (а-b)(а²+аb+b²)=а³+а²b+аb²-а²b-аb²-b³=а³-b³. Тотожність доведено;

7) а³+b³=(а+b)(а²-аb+b²) – сума кубів двох чисел дорівнює сумі цих чисел помноженій на неповний квадрат різниці цих чисел. Доведення цієї тотожності пропонуємо провести самостійно;

8) cos²α+sin²α=1;

9) tgα=sinα/cosα;

10) ctgα=cosα/sinα.

 

 

МОДУЛЬ 6.: «ВИРАЗИ. РІВНЯННЯ. НЕРІВНОСТІ. ФУНКЦІЇ».

Змістовний модуль 6.2. «Рівняння, їх системи і сукупності.».

ПЛАН.

1. Поняття рівняння з однієї змінною як предиката виду f(x)=g(x), де хєХ.

2. Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь.

3. Рівняння з двома змінними. Рівняння лінії. Рівняння прямої та їх види.

4. Системи та сукупності рівнянь з двома змінними та способи (алгебраїчні та графічні) їх розв’язування.

5. Застосування рівнянь та їх систем до розв’язування текстових задач.

Література.

[1] – с. 238-293, 317-384; [2] – с. 53-59, 110-115, 294-355; [3] – с. 118-127.

 

1. Поняття рівняння з однієї змінною як предиката виду f(x)=g(x), де хєХ.

1. Розглянемо на множині Х два вирази із змінною f(х) і g(х). Утворимо предикат виду f(х)=g(х). Такий предикат називають рівнянням з однією змінною, при умові, що поставлено завдання знайти всі ті значення змінної хєХ, при підстановці яких у предикат одержуємо істинну числову рівність.

Означення: предикат виду f(х)=g(х), де хєХ, називається рівнянням з однією змінною, заданим на множині Х.

Прикладом рівняння з однією змінною можуть бути предикати х+5=9, х²+5х+6=0 тощо. Числові вирази при змінних у рівнянні називають коефіцієнтами, а інші числові вирази – вільними членами рівняння. Наприклад, у другому рівнянні число 5 є коефіцієнтом, а число 6 – вільним членом. Оскільки рівняння з однією змінною з предикатом, то, підставивши замість змінної у рівняння назву конкретного об’єкта х₀ із множини Х, одержимо істинне або хибне висловлення. Отже, рівняння визначає певний предикат з областю визначення Х. Саме тому основні поняття теорії рівняння можуть бути висвітлені з більш загальної точки зору – логіки предикатів.

Розв’язати рівняння – це означає знайти значення змінної х₀єХ, при підстановці яких у рівняння отримується істинна числова рівність. Таким чином, розв’язати рівняння – це означає знайти множину істинності відповідного предиката. Домовимося називати множину істинності предикату f(х)=g(х), де хєХ множиною розв’язків рівняння, а числа, які входять в цю множину, - коренями або розв’язками рівняння. Наприклад, рівняння х²+5х+6=0 має два розв’язки 2 і 3. Отже, множина розв’язків цього рівняння має вигляд Т={2;3}. Оскільки множина істинності предиката може бути порожньою, містити скінченну чи нескінченну кількість елементів, то рівняння може мати один, декілька, безліч або жодного розв’язку.

Оскільки рівняння є предикатом, то з ним пов’язано дві множини: а) множина Х допустимих значень змінної (множина визначення предикату); б) множина Т коренів рівняння (множина істинності предикату). Множина коренів рівняння є підмножиною множини допустимих значень змінної, тобто ТÌХ. Відносно рівняння може ставитися два завдання, по-перше, знайти область допустимих значень змінної, і, по-друге, знайти множину коренів рівняння. Покажемо це на наступній вправі.

Вправа: знайти множину допустимих значень та множину розв’язків рівняння .

Розв’язання:

Для того, щоб знайти множину допустимих значень цього рівняння, з’ясуємо, які арифметичні операції є у рівнянні. Оскільки це операції додавання, віднімання, множення і ділення, серед яких не завжди виконується лише операція ділення, то множиною допустимих значень рівняння будуть ті хєR, при яких знаменники відмінні від нуля. Отже, 3-х≠0 і 5-х≠0, тобто х≠3 і х≠5. Тоді областю допустимих значень рівняння буде множина (-∞;3)È(3;5)È(5;+∞).

Для розв’язання рівняння зведемо його до спільного знаменника 5(3-х)(5-х). Тоді будемо мати таку систему:

(3-х)(5-х)-5х(5-х)-5(2х-3)(3-х)=0

(3-х)(5-х)≠0.

Враховуючи область допустимих значень рівняння, розкривши дужки у першому рівнянні системи та звівши подібні доданки, одержимо: 8х²-39х+30=0. Розв’язавши це квадратне рівняння та перевіривши чи належать одержані корені області допустимих значень, робимо висновок про множину коренів рівняння.