Системи та сукупності рівнянь з двома змінними та способи (алгебраїчні та графічні) їх розв’язування.

4. Нехай дано два рівняння з двома змінними і . Говорять, що вони утворюють систему рівнянь з двома змінними, якщо потрібно знайти всі пари чисел, при підстановці яких в кожне рівняння системи воно перетворюється в правильну числову рівність. Якщо потрібно знайти всі пари чисел, при підстановці яких хоча б в одне рівняння воно перетворюється в правильну числову рівність, то говорять про сукупність двох рівнянь з двома невідомими. Таким чином, приймемо наступні означення.

Означення: системою двох рівнянь з двома невідомими називається кон’юнкція двох рівнянь з двома змінними.

Означення: сукупністю двох рівнянь з двома невідомими називається диз’юнкція двох рівнянь з двома змінними.

Систему двох рівнянь з двома невідомими, яка складається із рівнянь і символічно позначають так: або Ù (І). Сукупність двох рівнянь з двома невідомими, яка складається із рівнянь f₁(х;у)=g₁(х;у) і f₂(х;у)=g₂(х;у) символічно позначають так: f₁(х;у)=g₁(х;у)Úf₂(х;у)=g₂(х;у) або

f₁(х;у)=g₁(х;у)

f₂(х;у)=g₂(х;у). (ІІ).

Означення: пара чисел , при підстановці яких в кожне рівняння системи замість змінних і , ми одержуємо правильні числові рівності називається розв’язком системи (І).

Означення: пара чисел , при підстановці яких хоча б в одне рівняння сукупності замість змінних і , ми одержуємо правильну числову рівність називається розв’язком сукупності (ІІ).

Множину всіх таких пар називають множиною розв’язків відповідно даної системи чи даної сукупності. Як видно, множина розв’язків системи є перетином множин розв’язків обох рівнянь системи, а множина розв’язків сукупності є об’єднанням множин розв’язків обох рівнянь сукупності. Система рівнянь являє собою кон’юнкцію цих рівнянь, бо система рівнянь буде мати розв’язки тоді, коли існує така пара чисел, що обидва рівняння перетворюються в правильні числові рівності. Саме тому ми систему рівнянь записуємо і так: . Для того, щоб це показати, потрібно довести, що всі розв’язки системи перетворюють кон’юнкцію двох предикатів в істинне висловлення, і навпаки, всі значення при яких кон’юнкція предикатів істинна, перетворюють кожен із них в правильне висловлення, тобто в правильну числову рівність. Нехай пара чисел є розв’язком системи. Тоді при підстановці чисел і замість і ми будемо мати дві істинні числові рівності, тобто кон’юнкція f₁(х₀;у₀)=g₁(х₀;у₀)Ù f₂(х₀;у₀)=g₂(х₀;у₀) буде істинною. Навпаки, якщо із двох рівнянь з двома змінними утворено кон’юнкцію і при підстановці пари чисел вона істинна, то істинні обидва рівняння, а отже пара чисел є розв’язком системи .

Сукупність рівнянь являє собою диз’юнкцію цих рівнянь, бо сукупність рівнянь буде мати розв’язки тоді, коли існує така пара чисел, що хоча б одне рівняння перетворюються в правильну числову рівність. Саме тому ми сукупність рівнянь записуємо і так: f₁(х;у)=g₁(х;у)Úf₂(х;у)=g₂(х;у). Для того, щоб це показати, потрібно довести, що всі розв’язки сукупності перетворюють диз’юнкцію двох предикатів в істинне висловлення, і навпаки, всі значення, при яких диз’юнкція предикатів істинна, перетворюють хоча б одне із них в правильне висловлення, тобто в правильну числову рівність. Нехай пара чисел є розв’язком сукупності. Тоді при підстановці чисел і замість і ми будемо мати принаймні одну істинну числову рівність, тобто диз’юнкція f₁(х₀;у₀)=g₁(х₀;у₀)Úf₂(х₀;у₀)=g₂(х₀;у₀) буде істинною. Навпаки, якщо із двох рівнянь з двома змінними утворено диз’юнкцію і при підстановці пари чисел вона істинна, то принаймні одне рівняння перетвориться в істинну числову рівність, а отже пара чисел є розв’язком сукупності (ІІ).

Означення: розв’язати систему рівнянь – це означає знайти множину її розв’язків.

Означення: розв’язати сукупність рівнянь – це означає знайти множину її розв’язків.

Означення: дві системи рівнянь називаються рівносильними, якщо вони визначені на одній множні та всі розв’язки однієї системи рівнянь є розв’язками другої і навпаки.

Означення: дві сукупності рівнянь називаються рівносильними, якщо вони визначені на одній множині та всі розв’язки однієї сукупності рівнянь є розв’язками другої і навпаки.

Дві системи чи сукупності рівнянь можуть бути рівносильними в одній числовій області і нерівносильними в іншій. До алгебраїчних методів розв’язування систем рівнянь відносять такі методи:

а) метод підстановки. Суть цього методу полягає в тому, що одне із рівнянь системи замінюють рівносильним йому рівнянням, але таким, в якому визначене одне із невідомих, і підставляють у друге рівняння. Внаслідок такої підстановки друге рівняння стає рівнянням з однією змінною.

Вправа: розв’язати систему рівнянь: х-2у=3Ù3х-5у=7.

Розв’язання.

х=2у+3Ù3(2у+3)-5у=7→х=2у+3Ù6у+9-5у=7→х=2у+3Ùу=7-9→х=2у+3Ùу=-2→х=-4+3Ùу=-2→х=-1Ùу=-2. Отже, розв’язком системи рівнянь буде пара чисел (-1;-2).

б) метод алгебраїчного додавання. Розв’язуючи систему рівнянь цим методом, деякі її рівняння домножають на спеціально підібрані множники, що визначені при всіх допустимих значення змінних, так, щоб коефіцієнти при одній змінній стали рівними за модулем, а потім почленно додають ці рівняння одне до одного. В результаті таких перетворень одержують рівняння, яке є рівнянням з однієї змінною. Розв’язавши його, знаходять значення цієї змінної, а потім підставляють його в інше рівняння та знаходять значення другої змінної.

Вправа: Розв’язати систему рівнянь: 2х-3у=5Ù5х+у=21.

Розв’язання.

Щоб зрівняти по модулю коефіцієнти при другому невідомому в обох рівняннях, домножимо друге рівняння на 3. Маємо: 2х-3у=5Ù3(5х+у)=63→2х-3у=5Ù15х+3у=63. Додавши до першого рівняння друге, отримаємо рівняння з однією змінною: 17х=68. Отже, х=4. Підставивши це значення у перше рівняння, будемо мати: 8-3у=5→-3у=5-8→-3у=-3→у=1. Таким чином, розв’язком системи рівнянь є пара чисел (4;1).

в) метод введення нових невідомих. Під час розв’язування деяких систем буває корисно ввести замість змінних і нові змінні, введення яких спрощує розв’язування.

Вправа: розв’язати систему рівнянь: х+у+х/у=9Ù(х+у)●(х/у)=20.

Розв’язання.

Позначимо х+у=u, x/y=v. Маємо систему u+v=9Ùuv=20, яку можна розв’язати способом підстановки. (9-v)v=20→9v-v²=20→v²-9v+20=0. Розв’язавши це квадратне рівняння, отримаємо два значення v₁=4 і v₂=5. За цими значеннями знаходимо u₁=5 і u₂=4. Для знаходження значень х і у потрібно розв’язати такі дві системи: 1) х+у=5Ùх/у=4; 2) х+у=4Ùх/у=5. Із другого рівняння першої системи маємо х=4у, а тому 4у+у=5 і у=1. Тоді х=4. Отже, розв’язком першої системи буде пара чисел (4;1). Із другого рівняння другої системи маємо х=5у, а тому 5у+у=4 і у=2/3. Тоді х=8/3. Отже, розв’язком другої системи є пара чисел (8/3;2/3). Таким чином, дана система рівнянь має розв’язками дві пари чисел (4;1) і (8/3;2/3).

Зазначимо, що задача розв’язування системи рівнянь, взагалі кажучи, досить складна і не завжди її можна розв’язати методами елементарної математики. Однак у багатьох випадках шлях розв’язання системи все таки знайти вдається. Для цього доводиться комбінувати різні способи розв’язування систем рівнянь.