Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Операція доповнення до даної та універсальної множини та основні властивості (закони) цих операцій.
Содержание книги
- Розподіл годин по семестрах для спеціальності 6. 010102- початкове навчання.
- Теми практичних занять для спеціальності 6.010102 –початкова освіта (2 р.н.).
- Навчальний проект для спеціальності 6.010102 – початкова освіта
- Для особистого контролю за одержанням балів
- Операція об’єднання (додавання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- Операція перетину множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- Операція доповнення до даної та універсальної множини та основні властивості (закони) цих операцій.
- Малюнок № 1. 19. Задання декартового добутку множин за допомогою графа.
- Малюнок № 1.20. Граф відповідності.
- Розміщення з повтореннями та без повторень.
- Перестановки з повтореннями та без повторення.
- Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.
- Діаграма № 2.1. Відношення часткового збігу між поняттями.
- Поняття предиката, його позначення та область визначення. Поняття кванторів існування та загальності, їх позначення та зв'язок між ними.
- Операція кон'юнкції предикатів.
- Операція еквіваленції предикатів.
- Поняття теореми, її будова. Види теорем (дана, обернена, протилежна, обернена до протилежної, спряжені теореми) та зв'язок між ними.
- Поняття міркування, правильні та неправильні міркування. Перевірка правильності міркувань з допомогою кругів Л.Ейлера.
- Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
- Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.
- Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.
- Порівняння відрізків, дії над відрізками. Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.
- Означення операцій додавання і віднімання чисел, що розглядаються як міри відрізків. Трактування множення і ділення, які розглядаються як міри відрізків.
- Позиційні та непозиційні системи числення, запис чисел у позиційних і непозиційних системах числення.
- Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.
- Модуль іу. «системи числення. Подільність чисел. ».
- Загальна ознака подільності Б. Паскаля. Ознаки подільності цілих невід’ємних чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 25.
- Прості і складені числа. Нескінченність множини простих чисел. Решето Ератосфена.
- Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.
- Обчислення нсд і нск способом канонічного розкладу на прості множники та за алгоритмом Евкліда.
- Ознаки подільності на складені числа.
- Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
- Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.
- Додатні раціональні числа як нескінченні періодичні десяткові дроби. Чисті та мішані періодичні дроби та їх перетворення у звичайні.
- Множина раціональних чисел, модуль раціонального числа, операції над раціональними числами. Властивості множини раціональних чисел.
- Відношення порядку на множині дійсних чисел.
- Числові вирази та їх види. Значення числового виразу та порядок обчислення значень числового виразу.
- Тотожні перетворення виразів. Тотожності. Виведення основних тотожностей.
- Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь.
- Рівняння з двома змінними. Рівняння лінії. Рівняння прямої та їх види.
- Малюнок № 6.1. Графік рівняння кола.
- Системи та сукупності рівнянь з двома змінними та способи (алгебраїчні та графічні) їх розв’язування.
- Застосування рівнянь та їх систем до розв’язування текстових задач.
- Системи та сукупності нерівностей з однією змінною та способи їх розв’язування. Нерівності та системи нерівностей з двома змінними, графічний спосіб їх розв’язування.
- Обернена пропорційність, її властивості та графік.
- Основні геометричні побудови циркулем і лінійкою.
- Побудова прямої, яка проходить через дану на ній точку, перпендикулярно до даної прямої.
- Побудова правильних многогранників.
- Правильні многогранники та їх види.
- Модуль 7: «елементи геометрії. Величини. ».
7. Із поняттям різниці множин тісно пов’язана операція доповнення даної множини до універсальної. Це важливо, оскільки певні сукупності ми розглядаємо у рамках відповідної універсальної множини U. У таких випадках операція знаходження доповнення множин набуває самостійного значення, хоч вона є окремим випадком операції віднімання множин.
Означення: Доповненням даної множини AÌU до універсальної множини U називається множина U\A, яка є різницею цих множин, тобто така множина, яка містить усі ті і тільки ті елементи множини U, що не належать множині А.
Доповнення даної множини до універсальної позначають Ā або інколи А'. Символічно прийняте означення можна записати так: Ā={х/хÎU і хÏA}. Графічне зображення множини Ā представлено на діаграмі Ейлера-Венна (див. малюнок № 1.17.).
Малюнок № 1.17. Доповнення множини А до універсальної множини U: Ā=U\А.
Безпосередньо із означення доповнення випливає справедливість таких законів:
1. Ū=Æ. 2. Æ'= U. 3. А"=А - закон подвійного доповнення.
Операції доповнення, перетину і об’єднання множин пов’язані між собою законами де Моргана:
1. (AÈB)'=A'ÇB' - доповнення до об¢єднання множин А і В дорівнює перетину доповнень цих множин.
2. (AÇB)'=A'ÈB' - доповнення до перетину множин А і В дорівнює об’єднанню доповнень цих множин.
Довести ці закони можна як міркуваннями, так і за допомогою діаграм Ейлера-Венна. Доведемо перший закон (AÈB)'=A'ÇB' за допомогою міркувань. Спочатку доведемо, що кожен елемент лівої частини є елементом правої. Якщо хÎ(AÈB)', то згідно означення доповнення це означає, що хÏAÈB, а відповідно до означення об’єднання хÏA і хÏB. Тоді згідно означення доповнення хÎА' і хÎB', а тому згідно означення операції перетину хÎА'ÇB', тобто правій частині. Оскільки елемент х у лівій частині ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента лівої частини. Отже, кожен елемент лівої частини належить і правій частині рівності, а тому (AÈB)'ÌA'ÇB'. Першу частину доведено.
Доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай уÎA'ÇB'. Згідно означення перетину множин це означає, що уÎA' і уÎB', а тоді відповідно до означення доповнення це означає, що уÏA і уÏB. Згідно до означення об’єднання уÏAÈB, а тому відповідно до означення доповнення уÎ(AÈB)', тобто лівій частині. Оскільки елемент у в правій частині ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента правої частини. Отже, кожен елемент правої частини належить і лівій частині рівності, а тому (A'ÇB')Ì(AÈB)'. Другу частину доведено.
Таким чином, у першій частині ми довели, що (AÈB)'ÌA'ÇB', а у другій, що (A'ÇB')Ì(AÈB)'. Згідно означення рівності множин це означає, що (A'ÇB')=(AÈB)', тобто закон доведено повністю.
Доведемо другий закон (AÇB)'=A'ÈB' за допомогою діаграм Ейлера-Венна. Ліву частину рівності будемо зображати на лівій діаграмі, а праву частину – на правій. На лівій діаграмі множину AÇB заштрихуємо вертикальними лініями. Тоді доповнення цієї множини до універсальної, тобто множину (AÇB)', заштрихуємо на лівій діаграмі горизонтальними лініями. Отже, елементи, які належать лівій частині рівності, знаходяться у тій частині універсальної множини, на якій є горизонтальна штриховка. На правій діаграмі множину А' заштрихуємо вертикальними лініями, а множину В' – горизонтальними лініями. Тоді на правій діаграмі множина А'ÈB' буде зображатися тією частиною універсальної множини, де є хоча б одна штриховка, або вертикальними, або горизонтальними лініями.
Порівнюючи ліву і праву частини діаграми, бачимо, що на лівій діаграмі множина (AÇB)' зображається всією універсальною множиною без множини AÇB; на правій діаграмі множина A'ÈB' також зображається елементами універсальної множини без множини AÇB. Таким чином, ліва і права частини рівності, що виражає закон де Моргана, зображається однаковими частинами універсальної множини, а тому він справедливий, тобто правильна рівність (AÇB)'=A'ÈB' (див. малюнок № 1.18.).
Малюнок № 1.18. Доведення закону де Моргана (AÇB)'=A'ÈB'.
|
