Тема 3. Методика навчання додавання та віднімання двоцифрових чисел

Тема "Додавання та віднімання двоцифрових чисел у межах 100" опрацьовується через ознайомлення учнів з питаннями: усне додавання і віднімання двоцифрових чисел без переходу через десяток; усне додавання та віднімання двоцифрових чисел з переходом через десяток; письмове додавання та віднімання двоцифрових чисел.

Виокремлення усних і письмових обчислень пояснюється тим, що вони ґрунтуються на різних теоретичних основах. Письмові обчислення відрізняються від усних алгоритмами. Усні обчислення починаються з одиниць вищого розряду і записуються в рядок, а письмові обчислення починаються з нижчого розряду і записуються у стовпчик. Додавання та віднімання у стовпчик проводиться над кожним розрядом окремо і зводиться до додавання і віднімання в межах 20. Свідоме засвоєння письмових прийомів додавання та віднімання двоцифрових чисел є запорукою успішного використання їх для будь-яких чисел.

Під час вивчення додавання та віднімання двоцифрових чисел головним є зосередження уваги на способах виконання цих дій.

Аналіз способів додавання та віднімання чисел в межах 100 свідчить, що для їх свідомого виконання учні мають добре знати нумерацію чисел у межах 100, таблиці додавання одноцифрових чисел і відповідні випадки віднімання та засвоїти правила, які є наслідком з основних властивостей дій додавання і віднімання: додавання числа до суми, віднімання числа від суми, додавання суми до числа і віднімання від числа суми, додавання суми до суми, віднімання суми від суми, віднімання різниці від числа.

У таблиці показано, як групуються способи обчислення відповідно до названих правил.

 

Властивість	Способи обчислення та їх обґрунтування
Додавання числа до суми	1) 56+30=(50+6)+30=(50+30)+6=80+6=86 2) 86+3=(80+6)+3=80+(6+3)=80+9=89 3) 46+4=(40+6)+4=40+(6+4)=40+10=50 4) 27+5=(20+7)+5=20+(7+5)=20+12=32 5) 22+16=(20+2)+16=(20+16)+2=36+2=38 6) 37+24=(30 +7)+24=(30+24)+7=54+7=61 7) 37+24=(31+6)+24=31+(6+24)=31+30=61 Замінили перший доданок сумою розрядних або зручних доданків і додали до цієї суми другий доданок найзручнішим способом.
Віднімання числа від суми	1) 56-30=(50+6)-30=(50-30)+6=20+6=26 2) 67-4=(60+7)- 4 = 60 + (7 - 4) = 60 + 3 = 63 3) 40 - 2=(30+10) - 2=30+(10 - 2)=30 + 8 = 38 4) 56 - 9=(40+16) - 9=40+(16 - 9)=40+7 = 47 5) 47 - 19=(8+39) - 19=8+(39 - 19)=8+20 = 28 Замінили зменшуване сумою розрядних або зручних доданків і від­няли від цієї суми від'ємник найзручнішим способом.
Додавання суми до числа	1) 34+15=34+(10+5)=(34+10)+5=44+5 = 49 2) 34+18=34+(10+8)=(34+10)+8=44 +8 = 52 3) 34+18=34+(6+12)=(34+6)+12=40+12= 52 Замінили другий доданок сумою розрядних або зручних доданків і додали суму до першого доданка зручним способом
Віднімання суми від числа	1) 70 - 26=70 - (20+6)=(70- 20) - 6=50– 6 = 44 2) 46 - 26=46 - (20+6)=(46–20) - 6=26 – 6= 20 3) 47 - 19=47 - (10+9)=(47 - 10) - 9=37 - 9= 28 4) 56 - 9 = 56 - (6 + 3) = (56 – 6) - 3 = 47 5) 47 – 19=47 – (17+2)=(47–17)– 2=30 – 2=28 Замінили від'ємник сумою розрядних або зручних доданків, а потім знайшли різницю найлегшим способом
Додавання суми до суми	1) 34+12=(30+4)+(10+2)=(30+10)+(4+2)=40 + +6 = 46 2) 35 + 25 = (30 + 5) + (20 + 5) = (30 + 20) + +(5 + 5) = 50 + 10 = 60 3) 34 + 18 = (30 + 4) + (10 + 8) = (30 + 10) + +(4 + 8) = 40 + 12 = 52 Замінили обидва доданки сумою розрядних доданків і виконали порозрядне додавання
Віднімання суми від суми	1) 34 - 12=(30+4) - (10+2)= (30 - 10) +(4 - 2) = =20 + 2 = 22 2) 70 - 26=(60+10)- (20+6)=(60 - 20)+(10- 6) = =40 + 4 = 44 Зменшуване розкладається на суму розрядних або зручних доданків, а від'ємник - на розрядні доданки
Додавання різниці до числа	1) 36+8=36+(10– 2)=(36+10)–2=46 – 2 = 44 2) 36+18=36+(20– 2)=(36+20)– 2=56– 2=54 Другий доданок замінили зручною різницею
Віднімання різниці від числа	1) 47 – 9=47 – (10 – 1)=(47 – 10)+1=37+1= 38 2) 47 - 19=47 - (20 - 1)=(47 - 20)+1=27+1=28 Від'ємник замінили зручною різницею

Треба зазначити, що останні два випадки, наведені в таблиці, мають ще й іншу теоретичну основу – знання зміни суми в залежності від зміни одного з доданків та зміни різниці в залежності від зміни від’ємника. На цих теоретичних засадах здійснюється спосіб округлення.

Крім того, визначені правила здебільшого вводяться на пропедевтичному рівні: їх засвоєння всіма учнями не є обов’язковим.

Із аналізу способів обчислення видно, що всі вони зводяться до заміни одного або двох компонентів дій сумою таких двох доданків, над якими зручно виконувати обчислювальні дії. Такими доданками найчастіше є розрядні доданки. Але, як бачимо, в деяких розв’язаннях більш доцільним є розкладання числа на так звані "зручні" доданки.

З таблиці видно, що значення одного й того самого виразу можна обчислити різними способами. Пропонуючи учням виконати розв’язання різними способами, розвиваємо в них варіативність мислення, формуємо такі властивості обчислювальних навичок, як усвідомленість, раціональність тощо. Крім того, одержання однакового результату в обчисленнях різними способами непрямо свідчить про правильність відповіді.

Отже, ми розкрили загальні теоретичні положення до вивчення теми "Додавання і віднімання двоцифрових чисел у межах 100".

Відносно методичних підходів, то їх основні відмінності, передусім полягають у послідовності опрацювання основних питань теми. Наприклад, за методичною системою Л.П. Кочиної розглядається така послідовність: усне додавання і віднімання двоцифрових чисел без переходу через десяток; усне додавання та віднімання двоцифрових чисел з переходом через десяток; письмове додавання та віднімання двоцифрових чисел. На відміну від Л.П. Кочиної, М.В. Богданович пропонує письмовий прийом після вивчення усного додавання та віднімання без переходу через десяток; а усне обчислення з переходом через десяток дає після вивчення письмового прийому.

Власну послідовність розгляду усних та письмових прийомів Л.П. Кочина пояснює тим, що в більшості дітей на даний період уже добре сформовані обчислювальні навички, тому немає потреби відводити багато часу на розгляд письмових обчислень. За такого підходу створюються умови систематичного порівняння обох способів обчислення і формування в учнів уміння орієнтуватися в конкретній ситуації: "вибираю той спосіб обчислення, який для мене зручніший". З цією метою учням пропонуються завдання такого характеру: "За власним вибором розв'яжіть приклади в стовпчик. Решту прикладів розв'яжіть усно, записуючи лише відповіді".

Ще один доказ на користь цього підходу полягає в тому, що якщо не навчити дітей прийомам усного додавання та віднімання з переходом через розряд (які, до речі, є досить важкими), а познайомити їх відразу з письмовим прийомом, то створяться умови, коли діти, навіть звертаючись до хитрощів, не будуть лічити усно, а лише у стовпчик!

Тим часом, М.В. Богданович обґрунтовує введення письмового прийому перед вивченням усного додавання і віднімання з переходом через розряд тим, що спочатку треба познайомити учнів з письмовими обчисленнями як найбільш легкими, а потім з усними – як найбільш складними. У подальшому письмові обчислення використовуються для перевірки усних.

Слід зазначити, що це не є істотним аргументом для вивчення додавання і віднімання в такій послідовності, оскільки дії додавання та віднімання є взаємо оберненими і існує прямий спосіб їх перевірки: правильність додавання перевіряється відніманням, а правильність віднімання можна перевірити додаванням; якщо при цьому одержуємо інший результат, ніж очікувано, то робимо висновок про те, що значення виразу знайдено неправильно.

Порівняння різних підходів до опрацювання теми „Додавання і віднімання двоцифрових чисел у межах 100" дозволяють виокремити основні їх відмінності.

Перша відмінність методичних підходів Л.П. Кочиної та М.В. Богдановича, передбачає різний порядок опрацювання усних та письмових прийомів додавання двоцифрових чисел. Друга відмінність полягає в тому, що за системою Л.П. Кочиної, методика вивчення додавання і віднімання двоцифрових чисел розглядається на основі одночасного опрацювання взаємно обернених дій (додавання і віднімання), а за системою М.В. Богдановича – на основі послідовного вивчення, тобто спочатку вивчається додавання, а потім віднімання. Третя відмінність пов’язується з послідовністю вивчення загальних і часткових випадків додавання і віднімання двоцифрових чисел. Перший методичний підхід Л.П. Кочиної полягає у вивченні спочатку часткових випадків додавання і віднімання двоцифрових чисел, а потім пропонується загальний випадок; за другим, який розкриває М.В. Богданович – учні відразу знайомляться з загальним випадком додавання та віднімання двоцифрових чисел (кожне з них містить і десятки, і одиниці) способом порозрядного обчислення, а потім з частковими випадками. Для віднімання з переходом через десяток автори двох методичних систем дотримуються одного й того ж погляду.

За методичним підходом Л.П. Кочиної додавання і віднімання двоцифрових чисел вивчається в такому порядку: 1) випадки додавання та віднімання виду: 45 + 2, 45 + 20, 45 – 2, 45 – 20; 2) випадки додавання виду: 56 + 4; 3) додавання та віднімання виду 34 + 52 і 76 – 44 (по частинах); 4) додавання та віднімання виду 34 + 52 і 76 – 44 (порозрядно).

На думку М.В. Богдановича спочатку доцільно розглядати загальні випадки додавання і віднімання двоцифрових чисел, а потім часткові.

Розглянемо більш докладно опрацювання теми "Додавання та віднімання двоцифрових чисел у межах 100", оскільки такий методичний підхід відповідає вимогам Державного стандарту початкової загальної освіти та нової навчальної програми для учнів початкової школи.