Взаємозв’язок множення та ділення

Взаємозв’язок арифметичних дій множення та ділення відбувається по аналогії із взаємозв’язком дій додавання та віднімання. Тому слід порівняти між собою дії додавання та віднімання, множення та ділення як взаємнообернені арифметичні дії. Додавання та віднімання – взаємнообернені дії, вони пов’язані між собою так: якщо від суми двох доданків відняти один доданок, то залишиться інший доданок, тому додавання перевіряється відніманням.

Якщо взяти до уваги, що множення – це додавання однакових доданків, (а ділення – це віднімання однакових чисел доки не отримаємо нуль), то, замінивши додавання на множення, а віднімання – на ділення, отримаємо взаємозв’язок між діями множення та ділення:

 

с – в = а с: в = а

а + в = с а ^. в = с

с – а = в с: а = в

Можна виготовити плакат з рухомими рисками, на яких записані знаки арифметичних дій: одним рухом знак “+ “ замінюється знаком “ ^. ”, знак “-“ – знаком “: ”.

Отже, множення й ділення також взаємнооберненні дії, вони пов’язані аналогічно: якщо добуток двох множників поділити на один із них, то отримаємо інший множник, тому множення перевіряється діленням. Таким чином, на підставі порівняння взаємозв’язків додавання та віднімання, множення та ділення можна зробити узагальнений висновок:

якщо двох чисел одне число, то залишиться інше число.

Для закріплення взаємозв’язку арифметичних дій множення та ділення пропонуємо учням з кожної рівності на множення скласти по дві рівності на ділення.

Від числа а відняти число в – це означає знайти таке число с, яке в сумі з від’ємником в дає зменшуване а. Тому віднімання перевіряється додаванням. Число а поділити на число в – це означає знайти таке число с, яке в добутку з дільником в дає ділене а.

а – в = с, тому що с + в = а а: в = с, тому що с ^. в = а

+ ^.

Властивості множення та ділення з 0 та 1

Перед складанням таблиць множення та ділення відбувається ознайомлення учнів із множенням та діленням з числами 0 та 1.

Ознайомлення з властивостями множення з числами 0 та 1 відбувається за допомогою індуктивних узагальнень. На підставі конкретного змісту дії множення учні обчислюють значення добутків: одного та 6, одного та 4, одного та 10, одного та числа а.

Порівнюючи значення добутку та другий множник, учні впевнюються, що вони рівні. Постає проблемне запитання: „Чи завжди при множенні одержуємо число, що дорівнює другому множнику?”. Звичайно не завжди! А в якому ж випадку? У випадку множення одиниці на будь-яке число одержуємо те саме число.

Спираючись на переставний закон множення, школярі знаходять значення добутків шести та 1, чотирьох та 1, десяти та 1, числа а та 1, і дістають висновку: при множенні будь-якого числа на 1 одержимо те саме число.

При множенні одиниці на будь-яке число або числа на одиницю, одержимо те саме число!

В аналогічний спосіб будується методика ознайомлення молодших школярів із правилом множення нуля на будь-яке число або числа на нуль. Діти доходять висновку:

При множенні нуля на будь-яке число або числа на нуль одержимо нуль!

Ділення з нулем та одиницею. На підставі взаємозв’язку арифметичних дій множення та ділення учні складають з рівності на множення дві рівності на ділення:

Учні самостійно формулюють відповідні правила:

1) при діленні числа на само себе в результаті одержуємо 1: а: а = 1;

2) при діленні будь-якого числа на 1 в результаті одержуємо те саме число: а: 1 = а;

3) при діленні нуля на будь-яке число в результаті одержуємо нуль: 0: а = 0;

4) ділити на нуль не можна, тому що не існує такого числа, яке при множенні на нуль дає число, що відмінне від нуля.

Множення та ділення на 10

На підставі конкретного змісту арифметичної дії множення школярі знаходять значення добутку числа 10 та іншого одноцифрового числа. Наприклад, одержуємо наступні рівності:

10 ^. 5 = 50 10 ^. 7 = 70 10 ^. 9 = 90

Порівнюючи запис значення добутку та другий множник, встановлюємо, що в значенні виразу спочатку записана така сама цифра, яка використана для запису другого множника, та ще цифра нуль. З’ясовуємо, чому саме приписаний нуль? Звертаємо увагу на запис першого множника – це число десять, в запису якого є один нуль. Формулюємо висновок: щоб помножити 10 на будь-яке число, достатньо до цього числа приписати праворуч один нуль.

Ділення на 10 вводиться через застосування взаємозв’язку між діями множення та ділення й добутків, в яких один з множників число 10:

7 ^. 10 = 7010 ^. 5 = 509 ^. 10 = 9010 ^. 3 = 30

70: 10 = 7 50: 10 = 5 90: 10 = 9 30: 10 = 3

70: 7 = 10 50: 5 = 10 90: 9 = 10 30: 3 = 10

Учні підкреслюють рівності, у яких дільник число 10. Порівнюючи запис значення частки та запис діленого, вони помічають: щоб одержати частку, треба в запису діленого прикрити (забрати) один нуль. Чому один нуль? Тому, що в запису дільника – числа 10 – є один нуль. Формулюємо правило: для того, щоб розділити число на 10, достатньо в його запису праворуч прибрати один нуль.

Ділення на рівні частини

Ділення на рівні частини вводиться на підставі розв’язування пари взаємообернених задач, перша з яких відома учням, як задача виду – ділення на вміщення, а друга нова – ділення на рівні частини. Пропонуються взаємообернені задачі:

1) У Наталки було 12 цукерок. Вона роздала ці цукерки подругам по 3 кожній. Скільки подруг одержали цукерки?

Діти виконують схематичний рисунок, позначаючи кожну цукерку відрізком довжиною в одну клітинку, роблять висновок, що подруг стільки, скільки в 12 цукерках міститься по 3 цукерки. Записуємо відповідний короткий запис. З’ясовуємо, що задачу множна розв’язати двома способами: відніманням з 12 по 3, доки не одержимо нуль з наступним висновком або діленням (зазначимо, що на даному етапі навчання діти знаходять значення часток лише за допомогою конкретного змісту – відніманням). Оформляємо розв’язання та записуємо відповідь.

2) У Наталки 12 цукерок. Вона роздала ці цукерки чотирьом подругам порівну. По скільки цукерок одержала кожна подруга?

Дію виконуємо практично або на за допомогою рисунку:

 

 

- Скільки потрібно взяти цукерок, щоб роздати кожній подрузі по одній цукерці? (Стільки, скільки подруг, тобто 4) Беремо 4 цукерки, роздаємо кожній подрузі по одній цукерці...

- Чи всі цукерки ми роздали? (Ні) Візьміть ще стільки цукерок, щоб роздати кожний подрузі ще по одній цукерці.

- Чи всі цукерки ми роздали? (Ні) Візьміть ще стільки цукерок, щоб роздати кожний подрузі ще по одній цукерці.

- Чи всі цукерки ми роздали? (Так) Скільки цукерок одержала перша подруга? (3) Скільки друга? (3)... Скільки четверта? (3) Що можна сказати про кількість цукерок, що одержала кожна подруга? (Кожна подруга одержала цукерок порівну – по 3)

- Скільки всього було цукерок? (12) Скільки подруг одержали цукерки? (4 подруги) Що можна сказати про кількість цукерок у кожної подруги? (У кожної подруги цукерок порівну) По скільки цукерок одержала кожна? (По 3)

- Запишемо розв’язання: 12: 4 = 3 (цукерки). 12 цукерок ділили порівну на 4 частини та отримали по 3 цукерки в кожній частині. Таким чином, у цій задачі ми виконували ділення на рівні частини.

- Порівняйте ці задачі. Чим вони схожі? Чим відрізняються? (Схожі тим, що в обох задачах ділили 12 цукерок, але в першій ділили по 3 цукерки, тому це задача на вміщення, а в другій – ділили порівну на 4 частини, тому це задача на ділення на рівні частини. Обидві задачі на ділення, але вони відрізняються процесом ділення.)

- Після цього пропонуємо учням порівняти опорні схеми задач на ділення на рівні частини та ділення на вміщення:

розділили на, порівну -? вміщується по -?

розділили по -?

Якщо в задачі говориться про те, що щось розклали, розсипали, роздали, розрізали... , тоді слід виконати дію ділення .