Методика вивчення ділення на одноцифрове число

 

Звичайно діти вивчали письмове ділення трицифрового числа на одноцифрове, і лише потім переносили письмовий прийом ділення на випадки ділення багатоцифрових чисел на одноцифрове. В новій програмі передбачено вивчення письмового ділення відразу багатоцифрового числа на одноцифрове. Між тим, у попередньому підході був сенс – спочатку опрацювати письмовий прийом на трицифрових числах, а потім поступово ускладнювати ділене на чотири – п’яти – та шестицифрове число.

Тому, розглянемо спочатку навчання молодших школярів письмовому прийому ділення трицифрового числа на одноцифрове.

Письмове ділення – це складна дія, яка передбачає виконання послідовних дій, які самі по собі теж складаються з певних операцій:

1) визначення 1-го неповного діленого;

2) визначення найвищого розряду частки;

3) визначення кількості цифр в частці;

4) виконання ділення з остачею під час ділення неповного діленого на дільник;

5) визначення числа одиниць певного розряду, що розділилися;

6) визначення числа одиниць певного розряду, що не розділилися;

7) перевірки вірності відповідної цифри частки;

8) утворення наступного неповного діленого.

 

Коли учень придбав навик або вміння у виконанні складної дії, тоді він виконує всі елементарні дії спільно одну за одною. Але при засвоєнні складної дії, кожна з них, повинна бути засвоєною окремо, як самостійна дія.

 

Підготовча робота до вивчення письмового ділення.

Мета – повторити таблиці множення та ділення, алгоритми поза табличного множення та ділення, конкретний зміст дії ділення, часткові випадки ділення, ділення з остачею, визначення загальної кількості одиниць будь-якого розряду, переведення крупних розрядних чисел в більш дрібні.

 

Ознайомлення.

Випадки ділення коли неповні ділені – це розрядні доданки діленого.

Дидактична задача: познайомити дітей з письмовим прийомом ділення, навчити визначати неповні ділені у випадку коли неповні ділені – це розрядні доданки діленого. Навчити визначати скільки одиниць певного розряду розділилися.

Перед введенням письмового прийому, його слід мотивувати. З цією метою учням пропонується усно обчислити частку чисел 966 та 3. Вони впевнюються, що міркування дуже довгі, і вчитель їм показує іншу форму запису та інший прийом міркування:

 

 

1 неповне ділене

966: 3 = (900 + 60 + 6): 3 = 966! 3____

= 900: 3 + 60: 3 + 6: 3 = 9__ 322

= 300 + 20 + 2 = 322 6 – 2 неповне ділене

6__

6 – 3 неповне ділене

6__

 

- Роздивись як обчислили частку усно? Як називається сума 900+60+6? Що зробили у першу чергу, щоб розділити 966 на 3? Що зробили у другу чергу? У третю чергу?

- Розгляди письмовий прийом ділення.

Письмовий прийом теж, як і усний прийом ділення, починаємо з вищого розряду – сотень, тобто спочатку розділимо 9 сотень на 3, потім 6 десятків, а потім – 6 одиниць. У випадку письмового ділення 9 сотень,6 десятків та 6 одиниць називаються неповними діленими, так:

9 сотень – це 1 неповне ділене, 6 десятків – це 2 неповне ділене,

6 одиниць – це 3 неповне ділене.

Неповні ділені почергово ділять на дільник та отримають розрядні доданки частки:

9 сотень: 3 = 3 сотні, 6 десятків: 3 = 2 десятки,

6 одиниць: 3 = 2 одиниці;

 

3 сотні, 2десятки і 2 одиниці – це розрядні доданки частки:

300 + 20 + 2 = 322 – це частка:

3 – 1 цифра частки,2 – це 2 цифра частки, 2 – це 3 цифра частки.

 

- Що показують числа, записані у письмовому прийомі під неповними діленими? (Ці числа показують скільки одиниць даного розряду розділилося: число 9 показує, при діленні сотень розділилося 9 сотень; число 6 показує, що при діленні десятків розділилося 6 десятків; число 6 показує, що при діленні одиниць розділилося 6 одиниць.)

- Щоб знайти число одиниць певного розряду, що розділилися, треба міркувати так:

1 ) множу певну цифру частки на дільник;

2) роблю висновок: ___ ____________ - розділилося.

Наприклад:

3 сотні * 3 = 9 сотень – розділилися; 2 десятки * 3 = 6 десятків – розділилися, 2 одиниці * 3 = 6 одиниць – розділилися.

Після того, як знайдено скільки одиниць певного розряду розділилося це число слід записати під неповним діленим. У даному випадку бачимо, що всі сотні розділися, всі десятки розділилися, всі одиниці розділилися.

Особливу увагу слід приділити міркуванням по визначенню першого неповного діленого:

1) ділення починаємо з найвищого розряду;

2) читаю число одиниць найвищого розряду діленого –

це є 1 неповне ділене.

Отже, спочатку розглядаються лише такі випадки письмового ділення, коли розрядні доданки є неповними діленими:

842:2 884:4 963:3

Алгоритм міркувань:

1)Відділяю дільник від діленого куточком.

2)Визначаю 1 неповне ділене, міркую так:

- ділення починаю з найвищого розряду;

- читаю число одиниць найвищого розряду діленого – це є 1 неповне ділене;

3)Визначаю 1 цифру частки для цього ділю 1 неповне ділене на дільник.

4)Визначаю скільки сотень розділилося, для цього:

- множу 1 цифру частки на дільник;

- роблю висновок:___ сотень розділилося.

5)Визначаю наступне неповне ділене.

6)Визначаю наступну цифру частки дією ділення.

7)Визначаю скільки одиниць певного розряду розділилося дією множення.

Повторюю міркування починаючи з пункту 5.

 

Письмове ділення трицифрового числа на одноцифрове, коли в частці отримаємо трицифрове число і третє неповне ділене виражено двоцифровим числом розрядних одиниць.

Дидактична задача: формувати навички письмового ділення на одноцифрове число для випадків, коли третє неповне ділене виражено двоцифровим числом розрядних одиниць. Навчити дітей визначати скільки одиниць певного розряду не розділилося, навчити перевіряти чи вірно знайдена цифра частки та навчити учнів створювати неповне ділене з остачі та одиниць даного розряду, що є в діленому.

 

Учням пропонується пояснити розв’язати приклад: 884: 4. Діти виконують міркування за відомим алгоритмом. Після цього, ставиться проблемне завдання: 864: 4. Учні виконують дії за відомою ООД до тієї миті, коли помноживши другу цифру частки на дільник ми отримуємо 4 десятки, тобто число, менше за друге неповне ділене:

864 | 4...

8 216

4

24

З цього кроку міркування здійснюються за алгоритмом:

1.Визначаю скільки десятків не розділилося,для цього:

- підписую під неповним діленим число десятків,що розділилися;

- віднімаю це число із неповного діленого;

- роблю висновок: ____ десятків не розділилося – це остача.

2.Перевіряю чи вірно знайдена цифра частки так:

- порівнюю остачу з дільником;

- роблю висновок:

якщо остача менша за дільник,то частка знайдена вірно;

якщо остача більша, або рівна дільнику,то частка знайдена не вірно,

слід продовжити ділення.

3.Створюю 3 неповне ділене,для цього:

- остачу: ____ десятків виражаю в одиницях;

- визначаю скільки в діленому одиниць;

- додаю до остачі кількість одиниць діленого;

- читаю отримане число одиниць – це 3 неповне ділене.

Закріплюється ця ООД на аналогічних прикладах:

651:3 458:2 372:3

 

При роботі над першими прикладами на ділення корисно після їх розв’язання виписувати неповні ділені та зручні доданки. При цьому слід спостерігати, що в частці завжди отримаємо стільки цифр, скільки неповних ділених; що сума зручних доданків дорівнює діленому, якщо ділення виконується без остачі, і що ділення призводиться до ділення суми на число.

 

Письмове ділення трицифрового числа на одноцифрове коли в частці отримаємо двоцифрове число, тобто перше неповне ділене виражено двоцифровим числом десятків.

Дидактична задача: формувати вміння виконувати письмове ділення трицифрового числа на одноцифрове, коли в частці отримаємо двоцифрове число; навчити учнів визначати 1 неповне ділене,коли воно подано двоцифровим числом десятків.

Учні повторюють міркування у знайомих випадках ділення, наприклад 876: 4. Після цього вчитель ставить проблемне завдання:

 

276 | 4...

24 69

36

- Як ми міркували при визначенні першого неповного діленого у попередньому випадку?

- Чи можна так само міркувати у даному випадку? Чому? (В числі в найвищому розряді 2 сотні, 2 сотні ми не можемо поділити на 4, так, щоб отримати хоч би одну сотню.)

Вчитель пропонує виконувати подальші міркування по виділенню першого неповного діленого за ООД:

1. Ділення починаємо з найвищого розряду, тому читаю число одиниць найвищого розряду діленого.

2.Дивлюсь чи можна розділити це число на дільник, так щоб отримати такі самі розрядні одиниці:

Так – це є 1 неповне ділене;

Ні – переходжу до пункту 3.

3.В діленому виділяю число одиниць наступного розряду – це є 1 неповне ділене.

Закріплюються міркування при виділенні першого неповного діленого при розв’язуванні прикладів: 198:3 736:8 549:9.

 

Письмове ділення трицифрового числа на одноцифрове, коли в частці отримаємо трицифрове число і перше та друге неповні ділені двоцифрові числа розрядних одиниць.

Дидактична задача: формувати навички письмового ділення трицифрового

числа на одноцифрове,у випадку коли 1-ше та 2-ге неповні ділені двоцифрові числа розрядних одиниць; закріпити вміння визначати неповні ділені, цифри частки, кількість одиниць певного розряду, що розділилися та не розділилося; перевіряти вірність знайдених цифр.

 

Учням пропонується знайти частку чисел 642 та 3 за відомою ООД. (тут третє неповне ділене утворюється з остачі та одиниць діленого.) Далі вчитель дає проблемне завдання:

822 | 6...

6 137

18

42

Після визначення числа сотень, що розділилися, учні з’ясовують, що тут незвичайного. (Не всі сотні поділилися.) Чи зустрічалися ми вже з подібним випадком? (Так, у попередньому прикладі не всі десятки поділилися.) Як ми міркували? (Ми відняли число десятків, що розділилися з другого неповного діленого і отримали остачу; остачу порівняли з дільником і дістали висновку, що цифра частки підібрана вірно. Потім утворили третє неповне ділене з остачі та одиниць діленого.) Чи можна аналогічно міркувати в цьому випадку? (Так.)

 

Письмове ділення трицифрового числа на одноцифрове, коли при діленні другого неповного діленого в частці отримаємо нуль.

Дидактична задача: формувати навички письмового ділення трицифрового

числа на одноцифрове, коли в середині запису частки є нуль.

Учні розв’язують приклади: 549: 9; 876: 4 за відомою ООД. Далі пропонується проблемне завдання: 836: 4. Порівнюючи цей випадок з попереднім, учні дістають висновку, що тут не можна друге неповне ділене поділити на дільник, так щоб отримати хоч би один десяток. Згадуємо, чи стикалися ми з подібним випадком. (Так, при визначенні першого неповного діленого у першому прикладі.) Як ми міркували? (Ми переходили до наступного розряду.) Чи можна в даному прикладі міркувати аналогічно? (Так.) А скільки десятків буде в частці? (Жодного, тобто, нуль.)

У подальших міркуваннях застосовуємо ООД:

Дивлюсь чи можна розділити 2 неповне ділене на дільник, щоб отримати десятки:

Так – виконую ділення.

Ні – міркую так: 2 неповне ділене не можна розділити на дільник, так щоб отримати десятки,тому в частці на місці десятків пишу нуль,а 2-ге неповне ділене є остачею.

Письмове ділення трицифрового числа на одноцифрове.

Дидактична задача: узагальнити знання учнів про письмове ділення, формувати навички письмового ділення, навчити учнів визначати найвищій розряд частки та кількість цифр в частці.

Завдання. Не виконуючи ділення визначити найвищій розряд частки і кількість цифр в частці 816:4 864:4 256:4 675:9 690:6,

міркуючи так:

1. Дивлюсь в яких одиницях виражено 1 неповне ділене;

2. Роблю висновок: такий же розряд є найвищім в частці.

3. Думаю скільки цифр потрібно, щоб записати число з таким найвищім розрядом.

4.

Пам’ятка. Письмове ділення 1.Відділяю ділене від дільника куточком. 2.Визначаю 1-ше неповне ділене. 3.Визначаю найвищій розряд частки. 4.Визначаю кількість цифр в частці. 5.Ділю 1-ше неповне ділене на дільник. Записую 1-шу цифру частки. 6.Визначаю скільки одиниць даного розряду розділилося. 7.Визначаю скільки одиниць даного розряду не розділилося. 8.Перевіряю чи вірно знайдена цифра частки: порівнюю остачу з дільником. 9.Утворюю наступне неповне ділене. 10.Ділю наступне неповне ділене на дільник. Записую наступну цифру частки. Повторюю міркування, починаючи з пункту 6.

Роблю висновок про кількість цифр частки.

По мірі засвоєння письмового прийому ділення пояснення поступово скорочуються. При короткому поясненні спочатку називають перше неповне ділене і встановлюють кількість цифр в частці. Далі коротко пояснюється виконання решти операцій: називають тільки відповідні арифметичні дії й результати їх виконання.

 

Прийоми письмового ділення трьох - шестицифрових чисел на одноцифрове вводяться в порядку їх поступового ускладнення.

Повторивши прийом письмового ділення трицифрового числа на одноцифрове треба перейти до пояснення прийому ділення чотирицифрового числа.

Перенос алгоритмів ділення з трицифрового на чотирицифрове числа корисно виконувати за допомогою прикладів, коли один із них включає в себе інший: 78!_ 3__ 378! _3___

 

 

Спочатку розглядаються випадки, коли число одиниць вищого розряду не менше за дільник та в запису частки немає нулів:

Ділення починаю з вищого розряду: у вищому розряді 3 тисячі; 3 тисячі можна поділити на 2, щоб отримати хоч би 1 тисячу. Оскільки перше неповне ділене тисячі, то найвищій розряд частки – тисячі, в частці буде 4 цифри. Ділимо перше неповне ділене 3 тис. на 2, в частці запишімо на місці тисяч цифру 1. Множенням дізнаємося скільки тисяч розділилося – 2 тисячі. Відніманням дізнаємось, скільки тисяч не розділилося – 1 тисяча. Перевіряємо: остача 1 менша за дільник 2, цифру частки підібрано вірно.

3662 2

2 1831

16

6

2

З остачі і сотень діленого утворюю друге неповне ділене – 16 сотень. Ділю його на 2, буде 8, записую в частці в розряді сотень цифру 8. Множенням дізнаємося скільки сотень розділилося, усі сотні розділилися.

Оскільки усі сотні розділилися, то переходжу до наступного розряду, 6 десятків – третє неповне ділене. Ділю його на дільник, буде 3. Пишу цифру 3 на місці десятків в частці. Дізнаюсь, скільки десятків розділилося дією множення. Усі десятки розділилися.

2 одиниці – четверте неповне ділене. Ділю його на дільник. Записую цифру 1 у розряді одиниць в частці. Дізнаюся, скільки одиниць розділилося дією множення. Усі одиниці розділилися, ділення закінчено.

 

Далі розглядаються випадки ділення багатоцифрових чисел, коли число одиниць вищого розряду діленого менш за дільник та в запису частки немає нулів. Особливість прийому – перше неповне ділене – двоцифрове число, яке утворено одиницями двох вищих розрядів. Це повинно бути предметом спеціального розглядання.

На етапі підготовки розглядаємо знайомий випадок 336: 8.

Ділення починаю з вищого розряду: у вищому розряді 1 тисячі; 1 тисячу не можна поділити на 2, щоб отримати хоч би 1 тисячу. Тому переходимо до наступного розряду. Отже перше неповне ділене 13 сотень. Оскільки перше неповне ділене сотні, то найвищій розряд частки – сотні. Щоб записати сотні треба 3 цифри, тому в частці буде 3 цифри. Ділимо перше неповне ділене 13 сот. на 2, в частці запишімо на місці тисяч цифру 6. Множенням дізнаємося скільки сотень розділилося – 12 сотень. Відніманням дізнаємось,

Ознайомлення. Пропонуємо проблемне завдання: 1364: 2, учні переносять відомий спосіб міркування на випадок ділення чотирицифрового числа на одноцифрове.

1364 2

12 681

16

4

 

 

скільки сотень не розділилося – 1 сотня. Порівнюю остачу із дільником: 1 менше 2, тому цифра сотень частки підібрана вірно.

З остачі і десятків діленого утворюю друге неповне ділене – 16 десятків. Ділю його на 2, буде 8, записую в частці в розряді десятків цифру 8. Множенням дізнаємося скільки десятків розділилося, усі десятки розділилися.

Оскільки усі десятки розділилися, то переходжу до наступного розряду, 4 одиниці – третє неповне ділене. Ділю його на дільник, буде 2. Пишу цифру 2 на місці одиниць в частці. Дізнаюсь, скільки одиниць розділилося дією множення. Усі одиниці розділилися, ділення закінчено.

На етапі закріплення прийому учні повинні розв’язувати приклади на ділення не тільки чотирицифрових, але й п’яти - шестицифрових чисел.

Після розв’язання декількох прикладів з розгорненим поясненням вчитель показує, як слід вести скорочене міркування:”Можна користуватися пам’яткою міркуючи скорочено, не називаючи якого розряду одиниці отримали в частці.

Наприклад при діленні 15474 на 6 міркуємо: “Перше неповне ділене 15тис. В частці 4 цифри; поділимо 15 на 6, отримаємо 2,помножимо 2 на 6,отримаємо 12, віднімемо 12 із 15,отримаємо 3,це менше ніж 6; друге неповне ділене 34 … і так далі.”

У подальшому учні повинні користуватися переважно скороченим міркуванням, повертаючись до розгорненого при розгляданні нових випадків ділення або розбираючи помилки в діленні.

Можливі помилки: учні невірно знаходять цифри частки, тому отримують остачу більшу за дільник – необхідно слідкувати за тим, щоб вони не забували порівнювати остачу з дільником. Для цього корисні завдання на критику помилок, а також завдання на перевірку ділення множенням.

 

Далі вивчаються випадки ділення на одноцифрове число, коли в запису частки зустрічаються нулі.

На етапі підготовчої роботи слід актуалізувати випадки ділення нуля одиниць, десятків, сотень на будь-яке число; а також випадки ділення з остачею, коли ділене менш за дільник; та вміння переводити крупні розрядні одиниці в дрібні.

1) Знайти частку: 0: 5, 0 дес.: 5, 0 сот.: 9.

0: 5 = 0 0 дес.: 5 = 0 дес. 0 сот.: 9 = 0 сот.

2) Знайти частку і остачу: 2: 6, 3: 7, 6: 9.

2: 6 = 0 (ост. 2), тому що 0 * 6 + 2 = 2

3: 7 = 0 (ост. 3), тому що 0 * 7 + 3 = 3

6: 9 = 0 (ост. 6), тому що 0 * 9 + 6 = 6

Якщо ділене менше за дільник, то в частці отримуємо нуль, а все ділене є остачею.

3) Скільки одиниць в 8 дес.? 86 дес.? Скільки десятків в 6сот.? 63 сот.?

8 дес. = 80 од. 86 дес. = 860 од. 6 сот. = 60 дес. 63 сот. = 630 дес.

Ознайомлення.

3330! 9 27 370 63 0

Нуль наприкінці запису частки. Пояснюємо так: третє неповне ділене – 0 одиниць; 0 одиниць поділимо на 9, отримаємо 0 одиниць.

 

5648! 8 56 706 0 48

Нуль в середині запису частки. Міркуємо так: друге неповне ділене 4дес. Не можна розділити на 8, щоб отримати десятки, тому в частці буде 0дес.

 

 

Через декілька уроків учням можна показати скорочену форму запису:

5648! 8 56 706 48

“У цих випадках можна усно множити на 0, пам’ятаючи отриманий результат – в запису частки повинен стояти 0.”.

Пропуск нуля в запису частки – типова помилка. Для її попередження доцільно пропонувати учням заздалегідь ставити крапки на місці цифр частки, коли ми визначаємо найвищий розряд і кількість цифр частки.

 

Також, учні знайомляться з скороченою формою запису письмового ділення, коли не записуються числа одиниць кожного розряду, що розділилися, а пишеться тільки остача і утворення наступного неповного діленого:

 

13 51 7 65 193 21

1351 7

7 193

63

21