Если значение центрированной и нормированной величины

(y_ik – m₁^* (r_ik))/s(r_ik)

превышает значение квантили уровня 1– a /2 нормального распределения стандартизованной величины, то нулевая гипотеза отвергается.

Таким образом, постановка задачи линейного корреляционного анализа формулируется в следующем виде.

Имеется матрица наблюдений вида (6.1).

Необходимо определить оценки коэффициентов корреляции для всех или только для заданных пар параметров и оценить их значимость. Незначимые оценки приравниваются к нулю.

Допущения:

· выборка имеет достаточный объем. Понятие достаточного объема зависит от целей анализа, требуемой точности и надежности оценки коэффициентов корреляции, от количества факторов. Минимально допустимым считается объем, когда количество наблюдений не менее чем в 5–6 раз превосходит количество факторов;

· выборки по каждому фактору являются однородными. Это допущение обеспечивает несмещенную оценку средних величин;

· матрица наблюдений не содержит пропусков.

Если необходима проверка значимости оценки коэффициента корреляции, то требуется соблюдение дополнительного условия – распределение вариант должно подчиняться нормальному закону.

Задача анализа решается в несколько этапов:

· проводится стандартизация исходной матрицы;

· вычисляются парные оценки коэффициентов корреляции;

· проверяется значимость оценок коэффициентов корреляции, незначимые оценки приравниваются к нулю. По результатам проверки делается вывод о наличии связей между вариантами (факторами).

Пример 6.1. Результаты наблюдений за характеристиками канала представлены в табл. 6.1.

 

 

Таблица 6.1

 

№ пп	Пропускная способность	Отношение сигнал/шум	Остаточное затухание
Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
	26.37	41.98	17.66	16.05	22.85
	28.00	43.83	17.15	15.47	23.25
	27.83	42.83	15.38	17.59	24.55
	31.67	47.28	18.39	16.92	26.59
	23.50	38.75	18.32	15.66	26.22
	21.04	35.12	17.81	17.00	27.52
	16.94	32.07	21.42	16.77	25.76
	37.56	54.25	26.42	15.68	23.10
	18.84	32.70	17.23	15.92	23.41
	25.77	40.51	30.43	15.29	25.17
	33.52	49.78	21.71	15.61	25.39
	28.21	43.84	28.33	15.70	24.56
	28.76	44.03	30.42	16.87	24.45
	24.60	39.46	21.66	15.25	23.81
	24.51	38.78	25.77	16.05	24.48

 

Необходимо определить наличие линейных корреляционных связей между пропускной способностью и остальными факторами. Предполагается, что выборки по всем вариантам подчиняются нормальному закону. Проверку гипотезы о значимости оценок коэффициентов корреляции произвести с уровнем значимости a, равным 0,1.

Решение. Стандартизация исходной матрицы начинается с вычисления выборочной средней m₁^*, несмещенной оценки дисперсии μ₂^* и среднеквадратического отклонения S по каждой варианте, табл.6.2.

Таблица 7.2

Оценка параметра распределения	Варианта
Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
M1	26.47	41.68	21.87	16.12	24.74
M2	29.10	36.47	26.37	0.52	1.88
S	5.39	6.04	5.13	0.72	1.37

 

В результате перехода к величинам формируется стандартизованная матрица исходных данных, табл. 6.3.

 

Таблица 6.3

№ пп	Пропускная способность	Отношение сигнал/шум	Остаточное затухание на частоте
U1	U2	U3	U4	U5
	-0.02	-0.05	-0.82	-0.10	-1.38
	0.28	0.36	-0.92	-0.90	-1.09
	0.25	0.19	-1.26	2.03	-0.14
	0.96	0.93	-0.68	1.10	2.35
	-0.55	-0.49	-0.69	-0.64	1.08
	-1.01	-1.09	-0.79	1.21	2.03
	-1.77	-1.59	-0.09	0.90	0.74
	2.06	2.08	0.89	-0.61	-1.20
	-1.42	-1.49	-0.90	-0.28	-0.97
	-0.13	-0.19	1.67	-1.15	0.31
	1.31	1.34	-0.03	-0.71	0.47
	0.32	0.36	1.26	-0.58	-0.13
	0.42	0.39	1.66	1.03	-0.21
	-0.35	-0.37	-0.04	-1.21	-0.68
	-0.36	-0.48	0.76	-0.19	-0.19

 

Оценки коэффициентов корреляции

(k = 2, 3, 4)

 

представлены в табл. 6.4. В этой же таблице приведены значения статистик критерия Стьюдента для вычисленных оценок коэффициентов корреляции при п = 15.

 

Таблица 6.4

	Х2	Х3	Х4	Х5
R1j	0.93	0.25	-0.13	-0.22
t	9.12	0.93	0.47	0.81

 

Критическое значение

t_кр (n–2; a) = t_кр (13; 0,1) = 1,77.

Статистика критерия больше критического значения только для r₁₂. Это означает, что только для указанного коэффициента оценка значима (коэффициент корреляции генеральной совокупности не равен нулю), а остальные коэффициенты следует признать равными нулю.

Корреляционная зависимость не обязательно устанавливается только для двух величин, с ее помощью можно анализировать связи между несколькими вариантами (множественная корреляция). А кроме линейной существуют и другие виды корреляции.

 

Регрессионный анализ

 

Постановка задачи

 

Одной из типовых задач обработки многомерных ЭД является определение количественной зависимости показателей качества объекта от значений его параметров и характеристик внешней среды. Примером такой постановки задачи является установление зависимости между временем обработки запросов к базе данных и интенсивностью входного потока. Время обработки зависит от многих факторов, в том числе от размещения искомой информации на внешних носителях, сложности запроса. Следовательно, время обработки конкретного запроса можно считать случайной величиной. Но вместе с тем, при увеличении интенсивности потока запросов следует ожидать возрастания его среднего значения, т.е. считать, что время обработки и интенсивность потока запросов связаны корреляционной зависимостью.

Постановка задачи регрессионного анализа формулируется следующим образом.

Имеется совокупность результатов наблюдений вида (6.1). В этой совокупности один столбец соответствует показателю, для которого необходимо установить функциональную зависимость с параметрами объекта и среды, представленными остальными столбцами. Будем обозначать показатель через y* и считать, что ему соответствует первый столбец матрицы наблюдений. Остальные т –1 (m > 1) столбцов соответствуют параметрам (факторам) х₂, х₃, …, х_т.

Требуется: установить количественную взаимосвязь между показателем и факторами. В таком случае задача регрессионного анализа понимается как задача выявления такой функциональной зависимости y* = f(x₂, x₃, …, x_т), которая наилучшим образом описывает имеющиеся экспериментальные данные.

Допущения:

· количество наблюдений достаточно для проявления статистических закономерностей относительно факторов и их взаимосвязей;

· обрабатываемые ЭД содержат некоторые ошибки (помехи), обусловленные погрешностями измерений, воздействием неучтенных случайных факторов;

· матрица результатов наблюдений является единственной информацией об изучаемом объекте, имеющейся в распоряжении перед началом исследования.

Функция f(x₂, x₃, …, x_т), описывающая зависимость показателя от параметров, называется уравнением (функцией) регрессии. Термин "регрессия" (regression (лат.) – отступление, возврат к чему-либо) связан со спецификой одной из конкретных задач, решенных на стадии становления метода. Его ввел английский статистик Ф. Гальтон. Он исследовал влияние роста родителей и более отдаленных предков на рост детей. По его модели рост ребенка определяется наполовину родителями, на четверть – дедом с бабкой, на одну восьмую прадедом и прабабкой и т.д. Другими словами, такая модель характеризует движение назад по генеалогическому дереву. Ф. Гальтон назвал это явление регрессией как противоположное движению вперед – прогрессу. В настоящее время термин "регрессия" применяется в более широком плане – для описания любой статистической связи между случайными величинами.

Решение задачи регрессионного анализа целесообразно разбить на несколько этапов:

· предварительная обработка ЭД;

· выбор вида уравнений регрессии;

· вычисление коэффициентов уравнения регрессии;

· проверка адекватности построенной функции результатам наблюдений.

Предварительная обработка включает стандартизацию матрицы ЭД, расчет коэффициентов корреляции, проверку их значимости и исключение из рассмотрения незначимых параметров (эти преобразования были рассмотрены в рамках корреляционного анализа). В результате преобразований будут получены стандартизованная матрица наблюдений U (через y будем обозначать стандартизованную величину y*) и корреляционная матрица r.

Стандартизованной матрице U можно сопоставить одну из следующих геометрических интерпретаций:

· в т -мерном пространстве оси соответствуют отдельным параметрам и показателю. Каждая строка матрицы представляет вектор в этом пространстве, а вся матрица – совокупность п векторов в пространстве параметров;

· в п -мерном пространстве оси соответствуют результатам отдельных наблюдений. Каждый столбец матрицы – вектор в пространстве наблюдений. Все вектора в этом пространстве имеют одинаковую длину, равную . Тогда угол между двумя векторами характеризует взаимосвязь соответствующих величин. И чем меньше угол, тем теснее связь (тем больше коэффициент корреляции).

В корреляционной матрице особую роль играют элементы левого столбца – они характеризуют наличие или отсутствие линейной зависимости между соответствующим параметром u_i (i =2, 3, …, т) и показателем объекта y. Проверка значимости позволяет выявить такие параметры, которые следует исключить из рассмотрения при формировании линейной функциональной зависимости, и тем самым упростить последующую обработку.