Допустимое отклонение исходной величины составит

ε= t_0,9(5)(m^*₂ /n) 0,5 =2,015 (658,6/6)0,5 = 21,11.

Границы интервала: θ ₀ =55–21,11=33,89 и θ ₁ =55+21,11= 76,11.

В данном пришмере использование нормального распределения вместо распределения Стьюдента приведет к неоправданному сужению интервала в 2,015/1,64 = 1,3 раза.

 

Доверительный интервал для дисперсии

 

По выборке достаточно большого объема (n >30) и при заданной надежности 1– a необходимо определить доверительный интервал для дисперсии m₂, оценка которой

.

Если стандартизовать оценку дисперсии, то величина (n –1) S ²/ m₂ имеет распределение хи-квадрат с (n –1) степенями свободы. Из этого вытекает вероятностное утверждение относительно выборочной дисперсии

 

P[(n–1)S² / μ₂ >c²_a(n–1)] = a. (3.3)

 

Функция хи-квадрат несимметричная, поэтому границы интервала c²₁(n–1) и c²₂(n–1) выбирают из условия равной вероятности выхода за их пределы

P[(n–1)S²/ μ₂ <c²₁(n–1)] = P[(n–1)S²/ μ₂ >c²₂(n–1)] = a/2

или (3.4)

P[(n–1)S²/c²₁(n–1) < m₂] = P[(n–1)S²/c²₂(n–1) > m₂] = a/2.

 

Значения границ соответствуют квантилям распределения хи-квадрат с значениями уровней a /2 и 1– a /2, количество степеней свободы равно n –1.

Нижняя граница c²₁(n–1) равна квантили c²_a/2(n–1), а верхняя – квантили c²_{1- a/2}(n–1). Если воспользоваться критическими точками распределения, то следует записать

c²₁(n–1) = c²(1– a/2; n–1),

c²₂(n–1) = c2(a/2; n–1).

Пример 3.4. Определить с надежностью 0,9 доверительный интервал для дисперсии случайной величины (n =44, S²= 0,91)

Решение. Количество степеней свободы 44–1=43. Вероятности выхода за нижнюю и верхнюю границы (1–0,9)/2 =0,05. По распределению хи-квадрат находим квантили

c²_0,05(43)=28,96, c²_0,95(43) =59,30.

 

Следовательно, НДГ для дисперсии

θ ₀=(n–1)S²/c²_0,95(43)= 43×0,91/59,30= 0,66,

и ВДГ

θ ₁=(n–1)S²/c²_0,05(43)= 43×0,91/28,96 = 1,36.

 

Доверительный интервал для вероятности

 

Пусть случайная величина Х имеет только два возможных значения: 0 и 1. В результате проведения достаточно большого количества наблюдений эта случайная величина приняла единичное значение n раз. Необходимо при заданной надежности 1– a определить доверительный интервал для вероятности р, оценка которой соответствует частоте w* = m*/n.

Оценка w* вероятности р является состоятельной, эффективной и несмещенной. Если оцениваемая вероятность не слишком мала и не слишком велика (0,05< p <0,95), то можно считать, что распределение случайной величины w* близко к нормальному. Этим допущением можно пользоваться, если пр и п(1–р) больше четырех. Параметры нормального распределения частоты m^*_x = р, S² = р( 1 –р) / п (дисперсия S² (m) количества успехов m составляет величину пр( 1 –р), а дисперсия частоты S² (m)/ п². Тогда по аналогии с определением доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной величины w* можно записать

 

ε = |w*– p| = u_{1– a/2}(S² (т))^0,5 =u_{1– a/2}(р(1–р)/п)^0,5,

 

где u_{1– a/2} – квантиль стандартизованного нормального распределения.

Чтобы связать доверительный интервал с исходными параметрами n, w* и u_{1– a/2}, возведем выражение для ε в квадрат, т. е. преобразуем равенство к виду

 

(w*–p)²=u²_{1– a/2}(1–p)p/п.

 

Доверительные границы можно получить, решив это уравнение второй степени

 

p_2,1 = { nw* + 0,5u²_{1– a/2} ± u_{1– a/2} [ nw*( 1 –w*) + 0,25u²_{1– a/2} ] ^0,5 } /(п + u²_{1– a/2}). (3.5)

 

С увеличением объема выборки (пц* >200, nw*( 1 –w*) >200) такими слагаемыми как u²_{1– a/2}, 0,5 u²_{1– a/2} и 0,25 u²_{1– a/ 2} можно пренебречь, тогда приближенно

p₁ =w*– u_{1– a/2} [w*(1–w*)/n]^0,5,

p² =w* + u_{1– a/2} [w*(1–w*)/n]^0,5. (3.6)

 

Более общие результаты получены с учетом того, что случайная величина w* распределена по биномиальному закону

(3.7)

где Cⁿ_k – число сочетаний из n по k.

Исходя из этого положения, для практического применения получены значения нижней р₁ и верхней р₂ доверительных границ

(3.8)

 

. (3.9)

 

 

где – квантиль распределения хи-квадрат уровня X с числом степеней свободы k.

Формулы (3.8) и (3.9) можно применять и в тех случаях, когда частость w* события близка (равна) нулю или близка (равна) количеству экспериментов п соответственно. В первом случае НДГ р₁ принимается равной нулю и рассчитывается только ВДГ р₂. Во втором случае рассчитывается НДГ р₁, а верхняя граница р₂ =1.

Пример 3.5. В результате наблюдения за 58 изделиями не было зафиксировано ни одного отказа. Определить доверительный интервал для вероятности отказа с надежностью 0,9.

Решение. Нижнюю доверительную границу р₁ следует принять равной нулю, ВДГ

Таким образом, доверительный интервал с нижней границей 0 и верхней границей 0,05 с вероятностью 0,9 накрывает истинное значение вероятности отказа изделий.

 

АППРОКСИМАЦИЯ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

 

Задачи аппроксимации

 

Конкретное содержание обработки одномерных ЭД зависит от поставленных целей исследования. В простейшем случае достаточно определить первый момент распределения, например, среднее время обработки запросов к распределенной базе данных. В других случаях требуется установить вероятностно-временные характеристики распределения, например, оценить вероятность своевременной обработки запросов или вероятность безотказной работы системы в течение заданного периода времени. Для нахождения таких значений требуется знание закона распределения как наиболее полной характеристики соответствующей случайной величины.

В классической математической статистике предполагается известным вид закона распределения и производится оценка значений его параметров по результатам наблюдений. Но обычно заранее вид закона распределения неизвестен, а теоретические предположения не позволяют его однозначно установить. Обработка ЭД также не позволит точно вычислить истинный закон распределения показателя. В таком случае следует говорить только об аппроксимации (приближенном описании) реального закона некоторым другим, который не противоречит ЭД и в каком-то смысле похож на этот неизвестный истинный закон.

В соответствии с этими положениями постановка задачи аппроксимации закона распределения ЭД формулируется следующим образом.

Имеется выборка наблюдений (x₁, x₂, …, x_n) за случайной величиной Х. Объем выборки п фиксирован.

Необходимо подобрать закон распределения (вид и параметры), который бы в статистическом смысле соответствовал имеющимся наблюдениям.

Ограничения: выборка представительная, ее объем достаточен для оценки параметров и проверки согласованности выбранного закона распределения и ЭД; плотность распределения унимодальная.

Наличие в функции плотности распределения нескольких мод может быть следствием различных причин, например существованием различных по длине маршрутов прохождения запросов в системе обработки. Выборку с несколькими модами разделяют на составные части так, чтобы каждая из них имела одну моду. В последнем случае функция распределения исходной выборки представляет собой взвешенную сумму соответствующих функций отдельных выборок:

,

где s – количество выборок, выбранное исходя из требований унимодальности распределения; p_i – вероятность принадлежности элемента выборки к выборке i; F_i(x) – функция распределения выборки i.

Решение поставленной задачи аппроксимации осуществляется на основе применения "типовых" распределений, специальных рядов или семейств универсальных распределений.