Вычисление финальных вероятностей

Как показано в [3], вычисление финальных вероятностей нахождения цифровой системы в том или ином состоянии достаточно просто реализуется при известном начальном распределении и заданной матрице перехода.

В этом случае, для описания цифровой системы используется матрица вероятности перехода системы из состояния в состояние, величины элементов которой зависят от моментов времени . Когда отсутствует зависимость величин вероятностей перехода системы из одного состояния в другое состояние от момента времени , т.е. , то такие цепи Маркова называются однородными.

Основной особенностью однородных матриц вероятностей перехода является то, что сумма вероятностей в каждой ее строке равна единице. Это объясняется тем, что если количество строк матрицы соответствует количеству состояний, то элементы каждой строки описывают вероятность пребывания соответствующего элемента цифровой системы в том или ином состоянии.

В том случае, когда в рассматриваемой цифровой системе отсутствуют поглощающие состояния, т.е. состояния, при достижении которых (или которого) система перестает изменяться под воздействием соответствующих сигналов, то такие системы описываются цепями Маркова, называемыми эргодическими [3].

Однако полной характеристикой системы, описываемой однородными эргодическими цепями Маркова, является ее описание при помощи финальной матрицы вероятностей , которая определяется в виде

,

где – вектор-строка начальных состояний цифровой системы; – количество шагов, за которое система из первоначального состояния, описываемого , перейдет в финальное состояние, описываемое матрицей .

Как показано в [3], после определенного числа шагов финальное состояние системы полностью определяется величиной , т.е.

 

. (5.2)

 

Выражение (5.2) показывает, что цифровая система через определенное число шагов «забывает» свое первоначальное состояние и ее финальное состояние полностью зависит от элементов матрицы вероятностей перехода .

Пример 16. Рассмотрим, на числовом примере, как изменяются матрицы перехода и безусловные вероятности состояний с ростом числа в выражении (5.2) [3].

Положим, что нужно определить финальные вероятности цифровой системы.

Для этого воспользуемся соотношением (5.2).

Пусть матрица вероятностей перехода из состояния в состояние задается в виде

 

 

Последовательно возводя эту матрицу во вторую, третью, четвертую и пятую степени, получаем

 

 

 

 

 

Видно, что после пятой итерации матрица перехода вырождается в матрицу, полностью определяемую матрицей-строкой.

Согласно теореме Маркова [3], финальные вероятности для этого примера равны

 

,

 

откуда матрица финальных вероятностей будет

 

.

 

Видно, что сумма этих вероятностей равна единице.

Количество шагов перехода цифровой системы из первоначального состояния в финальное состояние равно

 

.

 

Аналогичным образом решается задача в п.10.2.8. в [2].

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данном учебном пособии приводятся теоретические сведения и примеры решения типовых задач, которые наиболее часто встречаются как на практических занятиях, так и при выполнении контрольных работ. Решения всех задач основано на изложенной соответствующей методике. Тем не менее, в некоторых случаях следует либо применять известные методы, позволяющие упрощать полученные уравнения и сводить их к известным решениям, либо требуют, в случае необходимости, обращения к работе [1] для более полной предварительной проработки необходимого теоретического материала. Следует отметить, что задачи в [2] составлены так, чтобы их решения сводились к решению либо простейших, либо они отличаются друг от друга только числовыми данными.

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Литюк В.И., Литюк Л.В. Методы цифровой многопроцессорной обработки ансамблей радиосигналов. – М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2007. – 592 с.

2. Литюк В.И. Методические указания к выполнению контрольных работ по курсам «Методы и устройства цифровой обработки сигналов в радиоприемных устройствах» и «Обработка цифровых сигналов». – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999. – 21 с.

3. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. – М.: Сов. радио, 1973. – 232 с.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Введение.............................................................................................3

1. Аналого-цифровое преобразование сигналов............................3

2. Линейные цифровые системы......................................................8

2.1. Линейная и круговая свертки................................................8

2.2. Дискретное преобразование Фурье.....................................15

2.3. Связь Z -преобразования с преобразованием Лапласа.......18

2.4. Определение характеристик цифровых

элементарных ячеек..............................................................20

2.5. Определение характеристик цифровых фильтров.............35

2.6. Определение структур цифровых фильтров

по их разностным уравнениям.............................................39

2.7. Определение характеристик цифровых

линейных цепей по их структурным схемам......................41

3. Расчет параметров цифрового

частотного дискриминатора.......................................................44

4. Цифроаналоговое преобразование сигналов............................48

4.1. Получение непрерывного сигнала из дискретного...........49

4.2. Определение интервала дискретизации..............................51

4.3. Согласованная фильтрация..................................................52

5. Применение аппарата цепей Маркова для

анализа цифровых устройств.....................................................57

5.1. Пуассоновские потоки..........................................................57

5.2. Вычисление финальных вероятностей...............................60

Заключение......................................................................................63

Библиографический список...........................................................63

 

 

ДЛЯ ЗАМЕТОК

ДЛЯ ЗАМЕТОК

 

 

Литюк Виктор Игнатьевич

СБОРНИК РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ

По курсу