Стандартные метрические пространства

1. – n-мерное арифметическое пространство с радикальной метрикой. При (проверка неравенства треугольника: ) При метрику называют евклидовой, а пространство - арифметическим n -мерным пространством.

2. – -мерное арифметическое пространство с супремальной метрикой.

3. пространство ограниченных последовательностей с радикальной метрикой . При это такие последовательности, сумма квадратов элементов которых конечна (то есть ряд сходится). Эту сумму квадратов, т.е. сумму ряда, назовем квадратом длины вектора. Операции сложения и умножения на число определим как для конечномерных векторов-столбцов, то есть поэлементно (координатное гильбертово пространство).

4. или или пространство ограниченных последовательностей с супремальной метрикой.

5. пространство непрерывных функций с радикальной метрикой. Его пополнение - лебегово пространство.Метрика пространстваЛебега : . При пространство гильбертово и обозначается как .

6. пространство непрерывных функций с супремальной метрикой (чебышевское).

7. или пространство раз непрерывно дифференцируемых функций с супремальной метрикой (такая метрика называется дифференциальной): .

8. пространства непрерывно дифференцируемых функций с радикальной метрикой. Их пополнение пространства Соболева.Метрика пространств Соболева : . При пространство гильбертово и обозначается как .

Комментарий. Будем говорить, что пространство X вложено в пространство Y, если все элементы пространства X принадлежат Y, то есть .На рисунке схематично изображено взаимное соотношение между основными пространствами функций. Са­мое широкое пространство — пространство суммируемых с квадратом функций, са­мое узкое — пространство . В математике ис­пользуются не только эти, наиболее употребительные, но и другие типы пространств, которые могут быть ши­ре или уже рассмотренных пространств, а могут зани­мать и некоторое промежуточное положение.

Пример 1. На плоскости для точек и определим расстояние тремя различными способами и покажем, что введенные расстояния являются метриками, то есть проверим выполнимость аксиом.

1.Метрика . Это евклидова метрика при .

Первые аксиомы очевидны. Проверим третью аксиому. Рассмотрим точки , , и докажем следующее неравенство:

.

Возведем это неравенство в квадрат:

.

Так как и (поскольку ) и выражение есть величина неотрицательная, то неравенство является верным.

2. Метрика .Это двумерное арифметическое пространство с супремальной метрикой. Первые аксиомы очевидны. Проверим третью аксиому. Рассмотрим точки , , и докажем следующее неравенство: .

Тогда и .

 

3. Метрика . Это двумерное арифметическое пространство с радикальной метрикой при . Такую метрику называют манхеттенской, но можно назвать и таганрогской, потому что исторически вторым после Нью-Йорка городом мира с линейной, а не круговой системой улиц, был Таганрог. Кратчайшее расстояние между точками и такого города будет определяться формулой .

 

Первые аксиомы очевидны. Проверим третью аксиому. Рассмотрим точки , , . Неравенство: - очевидно.

 

Комментарий. 1.Понятие пополнения употреблено впрок и будут определено позднее.

2. Любое нормированное пространство является метрическим с метрикой . Выполнение первых аксиом очевидно. Третья выполняется в силу . Обратное, вообще говоря, неверно, то есть метрические пространства, вообще говоря, не являются нормированными. Но если потребовать, чтобы метрическое пространство обладало инвариантностью относительно сдвигов, то есть и однородностью относительно растяжений, то есть , то тогда верно и обратное и норма элемента есть метрика, второй элемент которой есть ноль.

Для стандартных метрических пространств это так, так что все вышеприведённые примеры являются одновременно и примерами стандартных норм с геометрией, отличной от эвклидовой. Единичные шары в этих метриках изображены в примере 3.

Пример 2. Покажем, что является метрикой. Выполнение первых двух аксиом метрики очевидно. Чтобы
проверить третью, то есть , докажем, что для любых имеет место неравенство .
Для этого зафиксируем и рассмотрим функцию . Так как , а , то возрастающая функция. Однако, метрика при не будет нормой, так как . .

Пример 3. Рассмотрим пространство . Положив , а , мы получим единичную сферу в пространстве .

При уравнение этой сферы имеет вид: ||x||₁ = |x| + |y| и такая метрика называется октаэдрической, потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет октаэдр.

При уравнение этой сферы имеет вид: ||x||₂ = (|x|² + |y|²)^1/2 – и такая метрика называется евклидовой (сферической), потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет обычная сфера.

Чебышёвская (кубическая) метрика: ||x||_∞=max{|x|,|y|}, потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет куб.

На рисунке: 1 чебышёвская(кубическая) метрика; 2 евклидова (сферическая) метрика; 3 октаэдрическая метрика. Случай изображен пунктиром. При гёльдеровская группа метрик стремится к чебышевской.

 

Примеры. 1. Пространство изолированных точек (дискретное пространство): Здесь любое непустое множество.

Первые две аксиомы очевидны. Проверим третью.

Пусть неверно, что . Тогда Но тогда , то есть

 

2. Ограниченные последовательности , с метрикой

 

Проверим третью аксиому. Рассмотрим возрастающую функцию .Так как , то , то есть . Пусть , тогда , или

Комментарий. Пусть метрика на носителе .Тогда тоже метрика на носителе . Это позволяет дать

Определение. Пусть последовательность метрических пространств. Прямым (декартовым) произведением этих метрических пространств называется пара , где , а

 

3. Показать, что пара метрическое пространство, если метрика на носителе натуральных числах задана так: Неравенство треугольника для несовпадающих точек очевидно: . В этой метрике при то есть натуральные числа чем дальше они расположены на числовой оси, тем ближе по метрике .

4. Является ли метрикой функция а) ;

б) ; в) на множестве ограниченных последовательностей?

5. В пространстве найти расстояние между функциями а) (); б) (8);

в) (5); г) ().

6. В пространствах найти расстояние между функциями .

7. В пространствах найти расстояние между функциями а) ; б) .

8. В пространствах найти нормы элементов и и расстояние между ними.

9. В пространствах найти норму элемента .

10. Показать, что пространство не гильбертово.

Пространство полное нормированное пространство, то есть банахово. (Полноту покажем в следующем пункте.) Уже отмечалось, что норма порождается скалярным произведением, если и только если выполняется равенство параллелограмма . Пусть .Тогда, вычисляя норму в пространстве , сразу получим

11. Можно ли в качестве нормы в пространстве использовать норму пространства ? Проверим аксиоматику.

1. причём . 2. .

3.

12. Можно ли в качестве нормы в пространстве использовать норму ? Нет, так как не выполняется первая аксиома нормы: , где произвольная константа.

13. Доказать, что подпространство банахова пространства является банаховым пространством.

Пусть последовательность фундаментальна в подпространстве банахова пространства (нормы, естественно, одинаковы). Эта последовательность является фундаментальной и в , так как подпространство. Но – банахово, то есть . Так как –

подпространство, то по определению подпространства оно замкнуто,

следовательно, . Таким образом, произвольная фундаментальная последовательность в подпространстве сходится к .А это значит, что банахово по определению.