Полнота системы векторов в смысле Стеклова

Теорема 1. (О линейной независимости ортогональных векторов). Пусть Тогда система векторов линейно независима.

. Составим линейную комбинацию и умножим её скалярно на : , но .

Определение 1. Система векторов или символ Кронекера, называется ортонормированной (ОНС).

Определение 2. Для произвольного элемента произвольного бесконечномерного евклидова пространства и произвольной ортонормированной системы элементов рядом Фурье элемента по системе называется формально составленная бесконечная сумма (ряд) вида в которой действительные числа называемые коэффициентами Фурье элемента по системе , где .

Комментарий. Умножив элемент скалярно на и сразу получим, что . Естественно, возникает вопрос о сходимости этого ряда. Для исследования этого вопроса зафиксируем произвольный номер и выясним, что отличает -ю частичную сумму ряда Фурье от любой другой линейной комбинации первых элементов ортонормированной системы .

Теорема 2. Для любого фиксированного номера среди всех сумм вида наименьшее отклонение от элемента по норме данного евклидова пространства имеет n-я частичная сумма ряда Фурье элемента при .

Учитывая ортонормированность системы иопределение коэффициента Фурье, можно записать

Минимум этого выражения при так как при этом всегда неотрицательная первая сумма в правой части обращается в нуль, а остальные слагаемые от не зависят.

Пример. Рассмотрим тригонометрическую систему:

в пространстве всех интегрируемых по Риману функций на сегменте . Легко проверить, что это ОНС, и тогда Ряд Фурье функции имеет вид: где

.

Комментарий. Тригонометрический ряд Фурье обычно записывают в виде: . Тогда .

 

Произвольная ОНС в бесконечномерном эвклидовом пространстве без дополнительных предположений, вообще говоря, не является базисом этого пространства. Рассмотрим ОНС где символ Кронекера. в произвольном бесконечномерном эвклидовом пространстве . Пусть – подпространство эвклидова пространства, а подпространство, ортогональное к . Тогда эвклидово пространство . Проекция вектора на вектор , где .

 

Мы будем искать те значения коэффициентов разложения , при которых невязка (квадрат невязки) будет минимальна:

.

Ясно, что это выражение будет принимать минимальное значение при , что тривиально, и при . Тогда . Отсюда получаем неравенство Бесселя . При ортонормированная система векторов (ОНС) называется полной ортонормированной системой в смысле Стеклова (ПОНС). Отсюда можно получить равенство Стеклова – Парсеваля теорему Пифагора для полныхв смысле Стеклова бесконечномерных эвклидовых пространств.

Определение 3. ОНС, для которой выполняется равенство Стеклова–Парсеваля называется полной ортонормированной системой в смысле Стеклова (ПОНС).

Определение 4. ПОНС называется ортонормированным базисом пространства (ОНБ). Определение 5. Полная ортонормированная система называется ортонормированным базисом пространства.

Пример. В эвклидовом пространстве последовательностей комплексных чисел ОНБ образует система векторов . Рассмотрим для частичную сумму ряда . Тогда как хвост сходящегося ряда. Таким образом, система векторов является ПОНС и образуетОНБ.

Пример. Тригонометрическая система

в пространстве всех интегрируемых по Риману функций на сегменте является ПОНС и образуетОНБ.

Комментарий. Если – полная система векторов, то не существует отличных от нуля векторов из , ей ортогональных, так как из для всех следует . Пусть . Выберем некоторый вектор . Он, очевидно, не образует полной системы векторов. Подпространство, им порождаемое, есть , а ортогональное дополнение отлично от нуля и представляет собой плоскость, проходящую через нуль перпендикулярно (см. рис.а). Выберем в этой плоскости, то есть в ортогональном дополнении, элемент и образуем последовательность . Она также не полна и порождает пространство , то есть плоскость, а ортогональное дополнение к ней вновь не нуль, а представляет собой прямую, перпендикулярную этой плоскости (см. рис.б). И наконец, когда мы выберем на этой прямой третий вектор , то последовательность станет полной, будет порождать пространство , а ортогональное дополнение к ней станет нулевым (рис. в).

 

Теорема 3 (Грамм Шмидт об ортогонализации). Пусть линейно независимая система векторов эвклидова пространства . Тогда в пространстве существует ОНБ .

Построим этот базис. Обозначим . Построим и выберем так, чтобы , то есть . Тогда . Построим вектор таким образом, чтобы Тогда , а Продолжая процедуру, получим .Эту формулу следует доказать методом матиндукции.

Пример. 1. Любую ортогональную систему векторов можно дополнить до ОНБ. Дополнить совокупность векторов 1) 2) до ОНБ.

2. Найти ОНБ линейной оболочки: .

3. Ортогонализировать векторы в пространстве , показав их линейную независимость. (Совокупность функций линейно независима , если и только если её вронскиан не равен нулю.)

Комментарий. Ортогонализированная система векторов в называется полиномами Лежандра: , которые появляются при решении многих задач математической физики.

4. Ортогонализировать в систему векторов

Полнота в смысле Фреше

Определение 1. Последовательность точек эвклидова пространства сходится по норме к точке , если числовая последовательность , то есть . Обозначение используется обычное: .

Определение 2. Пусть множество M есть подмножество множества Е. Точка называется предельной точкой множества M, если существует последовательность точек множества M, с попарно различными элементами, сходящаяся к x.

Комментарий. Чтобы точка была предельнойточкой множества M, надо каким либо образом исключить стационарные последовательности , чтобы изолированные точки множества , то есть точки, у которых существует окрестность, не содержащая точек из множества , не могли оказаться предельными. В этом определении представлен один из таких вариантов.

Определение 3. Пусть множество . Множество называется замыканием множества , если для любой точки существует последовательность не обязательно различных точек из множества , сходящихся к точке х.

Определение 4. Множество называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием то есть .

Комментарий. В определении допускаются стационарные, начиная с некоторого номера, последовательности. Поэтому любая изолированная точка множества замкнута. Позже мы рассмотрим этот вопрос подробнее.

Определение 5. Последовательность точек x_n эвклидова пространства называется фундаментальной, если .

Определение 5^*. Последовательность точек x_n эвклидова пространства называется фундаментальной, если .

Теорема 1. Последовательность точек эвклидова пространства фундаментальна, если она сходится по норме к точке .

Пусть . Тогда . Выберем произвольные . Тогда из неравенства треугольника .

Комментарий. Обратное, вообще говоря, неверно. Рассмотрим примеры.

Примеры. 1. Рассмотрим в пространстве всех интегрируемых по Риману функций на сегменте подпространство, состоящее из всех многочленов. Пусть . Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа можем записать , где .Обозначим через P_n (x) сумму первых n +1 членов в правой части этой формулы. Тогда P_n (x) есть многочлен степени n, причем при .То есть последовательность P_n лежит в подпространстве многочленов, сходится к функции , но предельная функция не лежит в пространстве многочленов синуса среди многочленов нет… Следовательно, рассматриваемое подпространство незамкнуто, хотя последовательность P_n (x) фундаментальна (хотя бы потому, что сходится). Причина в том, что мы из пространства выбросили часть функций, так что в оставшейся части образовались ”дырки”, одной из которых и является синус.

2. Такой же пример даёт множество рациональных чисел, рассматриваемое как подмножество числовой оси . Последовательность Бернулли , но числа среди рациональных чисел нет.

Определение 6. Эвклидово пространство называется полным (в смысле Фреше), если всякая его фундаментальная последовательность сходится.

Определение 9. Полное бесконечномерное эвклидово пространство называется гильбертовым.

 

Комментарий. Понятие полноты и в том и в другом случае, по сути, означает, что элементов, будь то пространства, или последовательности векторов, или еще чего-нибудь, должно быть достаточным для того, чтобы некоторое свойство выполнялось.

Нормированные пространства

Заметим, что эвклидова норма обладает очевидными свойствами:

1. ;
2. для любого и любого числа ;
3. для любых (неравенство треугольника).

Неотрицательность и положительная однородность функционала очевидны. Покажем неравенство треугольника:

Приняв эти свойства за аксиомы, получим следующее

Определение 1. Говорят, что на линейной структуре задана норма его элементов, если указан функционал, ставящий в соответствие этим элементам действительное число, удовлетворяющее аксиомам 1-3. Пара называется нормированным пространством.

Определение 2. Полное бесконечномерное нормированное пространство называется банаховым.

Пример. Доказать, что , где нормированное пространство,

выполняется неравенство .

.

Комментарий. 1. Ясно, что любое эвклидово пространство нормировано. Обратное, вообще говоря, неверно эвклидова норма просто одна из многих. 2. Обратим внимание, что и гильбертовы пространства какполные бесконечномерные эвклидовы пространства и банаховы пространствакак полные бесконечномерные нормированные пространства построены на линейных структурах. Сейчас мы начнём строить пространства на произвольных носителях.

Метрические пространства

 

Комментарий. Теорию метрических пространств построил ученик Ж. Адамара, автора как термина функционал, так и термина функциональный анализ, М. Фреше. Он обобщил понятие расстояния, используемого в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов и в математическом анализе при определении предела числовой последовательности или функции.

 

Определение 1. Пусть – произвольное непустое множество. Говорят, что на задана метрика (расстояние) , если каждой паре элементов поставлено в соответствие единственное неотрицательное число(неотрицательный функционал) , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) (аксиома тождества);

2) (аксиома треугольника).

Пара , то есть множество с заданной на нем метрикой , называется метрическим пространством.

Комментарий. 1.Из неравенства треугольника при сразу получаем , а при сразу получаем Но с другой стороны, неравенство треугольника можно записать так: . Тогда при сразу получаем , то есть . Тогда исходная система аксиом заменяется на часто более удобную систему из трёх аксиом:

 

Определение 2. Если – метрическое пространство и , то пара также будет являться метрическим пространством и называется подпространством пространства , если , то есть расстояние между точками – равно расстоянию между этими точками в пространстве .

Комментарий. Стандартные метрические пространства – это метрические пространства со стандартными носителями и со стандартными метриками. В этих случаях пространства носят стандартные названия.

Стандартные носители

 

1.Кортежи ;

2. Ограниченные последовательности , то есть .

3. Множество непрерывных или непрерывно дифференцируемых функций на сегменте .

 

Стандартные метрики

1. Гёльдеровские (радикальные) метрики: или или , .При эти метрики иногда называют энергетическими, так как в прикладных задачах они связана с энергией. Ряд, задающий , в этом случае сходится, так как , то есть .

2. Чебышевские (супремальные), или равномерные метрики. или .