Сходимость в топологических пространствах

Определение. Последовательность точек {x_n} топологического пространства Х называется сходящейся к точке x₀ÎX, если любая окрестность x₀ содержит все точки последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа. При этом саму точку x₀ называют пределом последовательности и обозначают .

 

Комментарий. В обычной топологии, то есть в метрических пространствах, на прямой пределом последовательности является точка , для последовательности (a - фиксированное число) предел равен a, а последовательность , где множество натуральных чисел, не имеет предела. В обычной топологии предел последовательности, если он существует, может быть только один, а в топологических пространствах – несколько. Для пространств, не удовлетворяющих каким-нибудь аксиомам отделимости, свойства пределов могут быть весьма необычными. Так, в тривиальных топологических пространствах любая последовательность точек сходится к каждой точке xÎX, так как эта точка х имеет только одну окрестность – все множество Х и эта окрестность содержит все точки последовательности. Носитель может содержать конечное или бесконечное число точек , но топология их не различает.

Рассмотрим прямую с топологией Зарисского. В этой топологии любая точка является пределом натурального ряда. Действительно, зафиксируем произвольную окрестность U точки x. По определению топологии Зарисского, дополнение U до R состоит из конечного числа точек, то есть в U содержится бесконечное число точек. Поскольку в натуральном ряду бесконечное число точек, отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, все точки лежат в U.

Обычная и дискретная топологии удовлетворяют аксиомам А1 и А2. Однако дискретная топология не очень похожа на обычную. В дискретной топологии открытым является любое множество, то есть, в частности, любая точка x является сама своей окрестностью . В этом случае в окрестности точки x нет точек, отличных от x. Тогда любая фиксированная точка x может быть пределом только таких последовательностей, у которых, начиная с некоторого N, все члены равны x.

В произвольном метрическом пространстве точка х₀ тогда и только тогда принадлежит замыканию некоторого множества, когда в этом множестве существует последовательность, сходящаяся к х₀. В топологическом пространстве справедливо утверждение:

Если последовательность точек множества А топологического пространства (Х,t) сходится к некоторой точке x₀ÎX, то .

Обратное, вообще говоря, не верно.

Пример 1. Пусть пространство слипшихся точек. Носитель может содержать конечное или бесконечное число точек , но топология их не различает. Множество является единственной окрестностью для всех своих точек, поэтому любая последовательность точек сходится к любой точке множества согласно определению 1.

 

КУЛЬТУРНЫЙ МИНИМУМ.

1. Что такое пространство в функане? Типы пространств.
2. Законы композиции. Их типы.
3. Свойства внутренних законов. Примеры.
4. Что такое нейтральный, симметричный элементы. Их свойства.
5. Типы алгебраических структур.
6. Что такое линейная структура? Примеры.
7. Что такое эвклидово пространство? Его типы.
8. Что такое ОНС и ПОНС?
9. Что такое предельная точка, замыкание множества, фундаментальность последовательности. Что такое полное пространство?
10. Что такое нормированное пространство, банахово пространство?
11. Что такое метрика, метрическое пространство?
12. Перечислитьстандартные носители и стандартные метрики.
13. Перечислить стандартные метрические пространства.
14. Что такое нормированное пространство? Что такое гильбертово пространство?
15. Изобразить единичные сферы в пространствах .
16. Что такое сходимость по метрике , равномерная сходимость и сходимость в среднем?
17. Что такое эквивалентность и неэквивалентность метрик?
18. Какие множества называются плотными, всюду плотными, нигде не плотными? Примеры.
19. Свойства множеств и в пространстве .
20. Что такое топологическое пространство? Аксиомы Александрова.
21. Что такое непрерывность отображения?
22. Сформулировать аксиомы отделимости.

 

ВОПРОСЫ.

1. Доказать неравенство Буняковского Коши.

2. Доказать неравенство Минковского иравенство параллелограмма.

3. Доказать теорему о наименьшем отклонении частичных сумм.

4. Доказать теорему о минимуме невязки.

5. Доказать теорему Грама Шмидта.

6. Доказать, что метрическое пространство.

7. Доказать, что функционалы , , являются метриками и определить типы пространств.

8. Доказать теорему об эквивалентности норм.

9. Сепарабельные пространства. Доказать сепарабельность пространства , дискретного метрического пространства, пространства .

10. Сепарабельные пространства. Доказать сепарабельность пространства , несепарабельность пространства .

11. Что такое открытое, замкнутое множество, точки прикосновения, предельные точки?

12. Что такое дискретное и совершенное множества? Что такое внутренние и граничные точки?

13. Доказать теорему о дополнении открытых множеств.

14. Доказать теорему о замкнутости теоретико – множественных операций над открытыми и замкнутыми множествами.

15. Доказать теорему о включении и теорему о замыкании объединения.

16. Способы задания топологий. Примеры топологий: дискретная, антидискретная.

17. Сходимость в топологических пространствах. Примеры.

ЗАДАЧИ.

1. Доказать, что линейное пространство всех непрерывных (как и интегрируемых) на функций бесконечномерно.
2. Определить скалярное произведение в пространстве .
3. Доказать ортонормируемость тригонометрической системы.
4. Показать, что , и являются метриками.
5. В пространствах найти расстояние между функциями .
6. Показать, что пространство не гильбертово.
7. Показать полноту пространства .
8. Показать неполноту пространства при .
9. Доказать, что метрика пространства сильнее метрики пространства .
10. Доказать, что чебышевская норма, по крайней мере, не слабее гёльдеровской, а дифференциальная не слабее чебышёвской.
11. Верно ли, что последовательность , если в и ?
12. Верно ли, что последовательность , если в пространстве ?
13. Показать полноту дискретного метрического пространства.
14. Показать, что пространство , полное.
15. Показать полноту пространства .
16. Дана последовательность

.

К какой последовательности она сходится покоординатно? Сходится ли она к тому же пределу в метриках пространств ?