Топологические свойства метрических пространств

Комментарий. Предел последовательности элементов метрического пространства может быть определен и по-другому без явного обращения к понятию предела числовой последовательности . А это уже “топологический взгляд” на пространства. Введем понятие окрестности элемента пространства. Пусть – произвольное метрическое пространство.

Определение 1. Открытым шаром радиуса и с центром в точке называется множество точек этого пространства, расстояние до которых меньше , то есть .

 

Комментарий. Соответствующие переформулировки для нормированных пространств очевидны. В нормированных пространствах .

 

Окрестностью точки называется открытый шар с центром в этой точке и радиуса . Соответственно, для замкнутого шара , а сфера .

 

Пример. В дискретном пространстве при , а если то .

Определение 2. Пусть – произвольное множество метрического пространства . Точка называется внутренней точкой множества , если существует окрестность этой точки, целиком входящая в множество . Совокупность всех внутренних точек множества называется внутренностью множества и обозначается . Множество, состоящее только из внутренних точек, называется открытым.

Определение 3. Точка называется внешней точкой множества , если она является внутренней точкой дополнения, т.е. множества . Другими словами, существует окрестность точки , не имеющая с множеством общих точек.

Определение 4. Точка называется предельной точкой множества , если в любой окрестности точки содержится хоть одна точка из множества . Ясно, что, во первых, тогда их бесчисленное количество, а во вторых, предельная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать множеству . У открытого множества существует хоть одна предельная точка, не принадлежащая ему.

Определение 5. Точка называется изолированной точкой множества , если существует окрестность точки , не содержащая точек из множества .

Определение 6. Совокупность предельных и изолированных точек множества называется точками прикосновения множества .

Определение 7. Множество называется дискретным, если оно состоиттолько из изолированных точек и совершенным, если оно состоиттолько из предельных точек.

Определение 8. Множество метрического пространства называется ограниченным, если существует открытый шар, целиком содержащий множество .

Определение 9. Диаметром множества называется число .

Определение 10. Расстоянием от точки до множества называется число .

Определение 11. Расстоянием между двумя множествами и называется число .

Определение 12. Присоединение к множеству всех его точек прикосновения называется замыканием множества. Замыкание множества обозначается .

Определение 13. Множество М метрического пространства называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, то есть . У замкнутого множества существует хоть одна точка, в любой окрестности которой есть точки, не принадлежащие множеству .

Определение 14. Все точки, в любой окрестности которых есть как точки, принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему, образуют границу множества .

Пример. Может ли расстояние между двумя непересекающимися непустыми замкнутыми множествами равняться нулю? Да. На числовой прямой возьмём множества и . На плоскости множества и или .

 

Теорема 1. Множество метрического пространства открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто.

Необходимость. Пусть – открытое множество и множество – открыто. Так как множество открыто, то существует хоть одна предельная точка , не принадлежащая множеству . Но в любой её окрестности содержится бесконечное число точек из множества . Сама же она принадлежит множеству . Но множество открыто по условию, то есть точка внутренняя точка множества . Но тогда существует окрестность точки , состоящая только из точек множества . А это противоречит тому, что в любой окрестности точки содержится бесконечное число точек из множества .

Достаточность. Пусть – замкнутое множество и множество – замкнуто. Так как множество замкнуто, существует хоть одна точка , в любой окрестности которой есть точки, не принадлежащие множеству . То есть точка – предельная точка множества . Но множество тоже замкнуто, то есть содержит все свои предельные точки, то есть точка и .

 

Теорема 2(о замкнутости теоретико-множественных операций над открытыми и замкнутыми множествами).

1. Объединение конечного числа замкнутых множеств – замкнуто.

2. Пересечение любого числа замкнутых множеств – замкнуто.

3. Объединение любого количества открытых множеств есть множество открытое.

4. Пересечение конечного числа открытых множеств есть множество открытое.

1. Пусть множество , причём замкнуты. Покажем, что множество замкнуто. Рассмотрим – произвольную предельную точку множества . Она может принадлежать множеству , а может и нет. Но в любой окрестности точки содержится бесконечное множество точек из множества . Так как множество есть объединение конечного числа множеств , то, в соответствии с принципом Вейерштрасса, это бесконечное множество точек входит в какое-то из множеств . Но это означает, что точка есть предельная точка этого множества . Но множество замкнуто, то есть содержит в себе все свои предельные точки, то есть . Но точка , то есть множество содержит в себе все свои предельные точки, то есть оно замкнуто.

2. Пусть множество , причём все множества замкнуты. Покажем, что множество замкнуто. Так как множество , то любая предельная точка из множества принадлежит всем множествам , но они все замкнуты, то есть множество содержит все свои предельные точки, то есть множество замкнуто.

3. Пусть множество , причём все множества открыты, то есть множества замкнуты. По теореме Де Моргана . Тогда по второй части теоремы множество замкнуто, а это значит, что множество открыто.

4. Пусть множество , причём все множества открыты, то есть множества замкнуты.. По теореме Де Моргана замкнуто, а это значит, что множество открыто.

 

Комментарий. 1. Все пространство Х и Æ являются замкнутыми и открытыми множествами одновременно.

2. Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть открыто. Рассмотрим, например, в пространстве R¹ пересечение множеств . Результат пересечения – одноточечное множество {0} замкнуто, как любое множество, состоящее из конечного числа точек.

3. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может и не быть замкнуто.

Примеры. 1. В пространстве множество обладает следующими свойствами:

замкнутое, не плотное множество;

все точки изолированные, и, следовательно, замкнутые, внутренних точек нет;

точка является точкой прикосновения этого множества;

множество ограничено;

диаметр множества ;

множеством внешних точек, то есть дополнением к множеству А, является множество .

2. Интервал обладает следующими свойствами:

совершенное, всюду плотное открытое множество так как все его точки внутренние;

множество точек прикосновения отрезок ;

изолированных точек нет;

множество ограничено;

диаметр множества .

в любой окрестности точек есть точки, не принадлежащие множеству .

Теорема 3 (О включении). .

Множество состоит из предельных и изолированных точек, причём предельные точки могут и не входить в множество. Но и эти множества не пересекаются.

1. Пусть , то есть в любой её окрестности содержится бесконечное число точек из множества , но , то есть в любой её окрестности содержится бесконечное число точек из множества , но , то есть в этом случае .

2. Пусть . Тогда , то есть и этом случае .

 

Теорема 4 (Об объединении замыканий). .

1. Покажем, что . Очевидно, что , то есть но по теореме 2 объединение конечного числа замкнутых множеств – замкнуто, то есть множество замкнуто, а замыкание замкнутого множества есть замкнутое множество. Стало быть .

3. Покажем, что . Пусть множество и точка , то есть или , или . Если , то . Если , то в любой её окрестности содержится бесконечное число точек из множеств или , то есть бесконечное число точек из множества , стало быть, .

Примеры. 1. Показать, что метрическое пространство сепарабельно, если из любой последовательности его точек можно выделить фундаментальную подпоследовательность. Зафиксируем и возьмём любую точку . Точку выберем так, чтобы . И так далее по правилу . Если этот процесс не закончится, то из получившейся последовательности точек нельзя выделить фундаментальную подпоследовательность, что противоречит условию. Поэтому процесс должен закончиться и после конечного числа шагов мы покроем пространство конечным числом открытых шаров радиуса . Взяв , рассмотрим множество, состоящее из центров соответствующих наров при каждом от 1 до бесконечности. Это и будет счётный скелет.

2. Пусть дискретное метрическое пространство с метрикой Последовательность будет фундаментальной и сходящейся в X, если она стационарна, пространство является полным пространством, так как любая фундаментальная последовательность сходится. Единственным множеством, всюду плотным в , является множество .