Сходимость и полнота в метрических пространствах

Определение 1. Последовательность точек эвклидова пространства сходится по метрике к точке , если числовая последовательность , то есть .

Обозначение используется обычное: . Таким образом, в метрических пространствах полностью используется вся теория числовых последовательностей. Например:

Теорема 1. Последовательность точек метрического пространства может иметь только один предел.

. Пусть последовательность имеет два предела, то есть и . Тогда в неравенстве треугольника для точек и где ,

правая часть стремится к нулю, а левая часть постоянна и отлична от нуля.

Определение 2. Сходимость по норме (метрике) пространства называется равномерной сходимостью.Сходимость по (метрике) норме пространства называется сходимостью в среднем.

Определение 3. Последовательность точек x₁, x₂, x₃,... пространства (Х, r) называется фундаментальной,если для любого числа e>0 найдется такое число n₀, что для всех n, m > n₀ выполняется неравенство r(x_m, x_n)<e.

Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной.

Определение 4. Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность сходится, называется полным.

Комментарий. Все стандартные метрические пространства, кроме , полны, а так как они ещё и нормированы, то все стандартные метрические пространства, кроме , являются банаховыми.

Пример1. Покажем полноту пространства . То, что это метрическое пространство, следует из того, что . Пусть по метрике пространства последовательность , то есть . Но тогда это выполняется и для всех других , то есть равномерно (номер обеспечивает сходимость для всех сразу. Но тогда по теореме Вейерштрасса предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть функция непрерывная, то есть функция непрерывна, то есть и пространство полно.

Теорема 2. Всякое замкнутое подпространство полного метрического пространства является полным пространством.

Пусть последовательность точек фундаментальна в пространстве . Тогда она будет фундаментальной и в пространстве . А поскольку оно полное, то эта последовательность сходится, . Поскольку множество замкнуто, то точка предельная для множества , что и доказывает полноту пространства . .

Комментарий. Тот факт, что в полных пространствах понятия замкнутости и полноты для подпространств совпадают, очень важен в приложениях. Однако, надо следить за полнотой исходного пространства.

Пример 2. Рассмотрим множество . Оно, очевидно, не замкнуто и не полно. Пусть . Это множество не замкнуто, хотя состоит из бесконечного числа замкнутых множеств, так как не любая последовательность из этого множества сходится к пределу, ему принадлежащему. Но оно не полно, так как предел этой последовательности равен нулю, которого нет в множестве .

Пример 3. Покажем неполноту пространства при . Это метрическое пространство, так как , покажем, что . Пусть при каком-то . Тогда в силу непрерывности эта ситуация должна сохраниться и в окрестности точки , то есть . Проверим третью аксиому: .

Проверим полноту. Пусть последовательность , то есть , , где . Выберем тогда . На участке вне функции совпадают и равны единице, то есть и, таким образом, последовательность фундаментальна. Ясно, что её пределом будет функция В самом деле, , то есть последовательность , но функция разрывна, . Это и означает неполноту пространства .

 

 

Комментарий. Можно ли пополнить данное метрическое пространство или, более широко, можно ли пополнить любое метрическое пространство? Принципиальный ответ да. Но для этого иногда нужно идти на коренной пересмотр ситуации. В частности, пространство функций, интегрируемых по Риману, пополнить невозможно, поэтому для того, чтобы сделать пространство полным, надо менять процедуру интегрирования. Позже мы построим интеграл Лебега и убедимся, что пространство функций, интегрируемых по Лебегу и, следовательно, и пространство уже полно.

Примеры. 1. Верно ли, что последовательность , если в и ? В пространстве . В пространстве . Тогда .

2. Верно ли, что последовательность , если в пространстве ?

.

3. Показать полноту дискретного метрического пространства.

В дискретном метрическом пространстве все точки изолированные, поэтому фундаментальной последовательностью может быть только стационарная, которая всегда сходится.

4. Найти предел последовательности в пространстве C [0,2], если он существует.

Необходимым условием сходимости последовательности в пространстве C [ a,b ] является существование предела x_n при каждом фиксированном . Заданная последовательность при заданном t сходится к функции a(t)=t. Данная функция непрерывна.

Проверим, сходится ли последовательность x_n к функции a(t) по норме пространства C [ a,b ], т.е. равномерно. Вычислим . По определению нормы: . Вычислим максимум функции на отрезке [0,2]. Для этого вычислим критические точки. Таким образом, точками, подозрительными на экстремум, являются точки . Поскольку , поэтому остается лишь точка . Вычислим также значение функции на концах отрезка:

. То есть . Это означает, что последовательность в пространстве C [0,2] сходится к функции a(t)=t.

5. Найти предел последовательности в пространстве C [0,1], если он существует.

Последовательность . Вычислим . Так как , то , если . Точкой, подозрительной на экстремум, является и точка . Непосредственной проверкой убеждаемся, что максимум достигается в точке . Поэтому . Значит, последовательность в пространстве C [0,1] не сходится.

6. Сходится ли последовательность в пространстве ?

Необходимым условием сходимости последовательности в пространстве является наличие покоординатного предела. Выпишем несколько членов последовательности: . Ясно, что последовательность покоординатно сходится к точке . Заметим, что , т.к. . Покажем, что последовательность сходится к точке a по норме пространства :

при .

Следовательно, .

7. Сходится ли последовательность в пространстве .

Очевидно, что точка является покоординатным пределом последовательности, но , т.к. ряд, составленный из единиц, не является сходящимся. Следовательно, последовательность не имеет предела.

8. Доказать, что последовательность сходится поточечно к функции для всех , но не сходится в пространстве .

Последовательность при каждом фиксированном стремится к нулю, так как . Вычислим

. Значит, последовательность не сходится в пространстве .

 

9. Показать, что пространство , полное. Пусть фундаментальная последовательность в . Тогда . Отсюда следует покоординатная сходимость и, следовательно, фундаментальность числовых последовательностей . Но пространство действительных чисел полное и последовательности сходятся. Следовательно, сходится и последовательность .

10. Показать полноту пространства .

11. Дана последовательность

.

К какой последовательности она сходится покоординатно? Сходится ли она к тому же пределу в метриках пространств ? Ясно, что покоординатно последовательность сходится к нулю.

Комментарий. Из предыдущего примера не следует, что всегда из покоординатной сходимости следует сходимость по метрике соответствующего пространства.

12. Дана последовательность

. Ясно, что покоординатно последовательность сходится к нулю. Однако в пространстве

13. Множество всех многочленов в пространстве не является замкнутым, так как, например, функцию можно приблизить частичными суммами ряда Тейлора, которые являются алгебраическими многочленами. Следовательно, множество всех многочленов в пространстве не содержит всех предельных точек, и, значит, оно не является замкнутым.

Сравнение метрик (норм)

Определение 1. Метрика (норма) ρ₁ сильнее, чем метрика (норма) ρ₂, если из сходимости последовательности по ρ₁ следует её сходимость по ρ₂, но существует хоть одна последовательность, которая сходится по норме ρ₂, но не сходится по норме ρ₁.

Определение 2. Две метрики (нормы) ρ₁ и ρ₂ эквивалентны, если из сходимости последовательности по ρ₁ следует её сходимость по ρ₂ и наоборот.

Определение 2^*. Две метрики (нормы) ρ₁ и ρ₂ эквивалентны, если существуют или .

Теорема 1. В любых конечномерных пространствах все метрики (нормы) эквивалентны.

Рассмотрим нормированное пространство , , система векторов образует базис в нём, то есть

. Эвклидова норма , а ещё одна норма в этом пространстве. Оценим её. . Обозначив , получим . Покажем, что в свою очередь подчинена . Рассмотрим функцию переменных на сфере . Она непрерывна, так как и стремится к нулю при . Единичная сфера замкнутое ограниченное множество, поэтому на ней, в соответствии с теоремой Вейерштрасса, функция достигает своих точных верхней и нижней граней. То есть на сфере имеем .

Пример. Доказать, что метрика пространства сильнее метрики пространства .

, то есть не слабее . Теперь укажем последовательность , которая сходится по , но не сходится по . Эта последовательность стандартный пробник функционального анализа, . , а , то есть эта последовательность сходится по , но не сходится по .

Комментарий. В линейной алгебре показывалось, что все линейные структуры изоморфны, то есть существует возможность установить биекцию между ними. Эта теорема утверждает большее отображение между метрическими пространствами не только взаимно однозначно, но и взаимно непрерывно, то есть гомеоморфно. В конечномерных пространствах все метрики (нормы)топологически эквивалентныв следующем смысле: для шара радиуса R с центром в точке , построенного на основе одной из норм, можно построить вписанный в него и описанный вокруг него шары, построенные на основе другой нормы (разумеется, другого радиуса). В бесконечномерных пространствах это не так.

 

Пример. Покажем, что чебышевская норма, по крайней мере, не слабее гёльдеровской, а дифференциальная не слабее чебышёвской. , но

.

 

Плотность и сепарабельность

Определение 1. Множество M называется плотным в множестве , если , то есть любой элемент из множества есть предельная точка множества M. (Определение предельной точки и замыкания даны в п.2.3.4.)

Определение 2. Если множество , то есть совпадает со всем носителем метрического пространства , то множество M называется всюду плотным (абсолютно плотным) в множестве .

Комментарий. Абсолютная плотность означает, что любой элемент из множества есть предел последовательности элементов из множества M, то есть в любой, сколь угодно малой окрестности точки найдутся точки из множества M, то есть все точки есть точки прикосновения множества M, то есть замыкание множества M совпадает со всем пространством.

Определение 3. Множество M называется нигде не плотным в множестве , если шар, не содержащий точек из множества M.

Примеры. Множество рациональных чисел всюду плотно на действительной оси.

Множество целых чисел нигде не плотно на действительной оси.

Любое дискретное множество нигде не плотно в пространстве.

Любая изолированная точка есть нигде не плотное множество.

Любое подмножество нигде не плотного множества нигде не плотно.

Объединение конечного числа нигде не плотных множеств нигде не плотно.

Объединение счётного числа нигде не плотных множеств уже не нигде не плотно. Оно может быть даже всюду плотно. Множество рациональных чисел счётное всюду плотное множество на действительной оси, но оно есть объединение счётного числа изолированных точек.

Определение 4. Метрическое пространство сепарабельно, если в нём существует счётное всюду плотное множество счётный скелет.

Комментарий. Сепарабельность означает, что в пространстве существует последовательность , такая, что из неё можно выделить (separate (лат) выделять) подпоследовательность , сходящуюся к , или, что тоже самое, .

Примеры. Эвклидово пространство сепарабельно. Счётный скелет в нём множество точек с рациональными координатами.

Дискретное метрическое пространство, состоящее из счётного числа точек, сепарабельно. По определению,множество называется всюду плотным, если его замыкание совпадает со всем пространством. Здесь счётный скелет совпадает со всем пространством, а других точек нет.

Пространство сепарабельно. Счётный скелет здесь образует множество полиномов с рациональными коэффициентами по теореме Вейерштрасса любую функцию из можно сколь угодно точно представить в виде суммы таких полиномов.

Пространство сепарабельно. Рассмотрим множество всех последовательностей с рациональными членами, у которых только конечное, для каждого своё, число членов не равно нулю, а остальные члены нулевые. Это счётное множество, как объединение счётного числа счётных множеств. Покажем, что множество образует счётный скелет в . Пусть последовательность . Так как , то есть ряд сходится, то . Так как множество рациональных чисел всюду плотно на числовой оси, то. Нормировочный множитель выбран для удобства и в си лу произвольности . Рассмотрим последовательность , члены которой при равны нулю. Тогда расстояние между и , то есть , то есть замыкание совпадает с , то есть множество образует счётный скелет в .

Пространство () не сепарабельно. Пусть . Тогда двоичное представление числа, а множество всех таких чисел имеет мощность континуума. В метрике . Пусть пространство сепарабельно, то есть в нём существует счётное всюду плотное множество счётный скелет. Опишем вокруг каждого элемента из шар . Всего элементов счётное множество, то есть и шаров счётное множество, а множество элементов в пространстве имеет мощность континуума, то есть по крайней мере в одном из шаров должно находиться по крайней мере два элемента из пространства (принцип Вейерштрасса). Пусть центр такого шара. Тогда .

Теорема 1. Во всяком сепарабельном предгильбертовом пространстве существует ортонормированный базис из конечного или счётного числа элементов.

Пусть счётный скелет пространства . Выбросив из него элементы, которые можно представить в виде линейной комбинации оставшихся элементов, получим полную линейно независимую систему функций, ортонормируя которую и получим базис.