Физический и математический маятник

Математический маятник ‑ это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой, невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Математический маятник –это частный случай физического маятника. Хорошее приближение – тяжелый шарик на тонкой нити. Момент инерции математического маятника

(26)

где l ‑ длина маятника. Период колебаний математического маятника задается выражением:

(27)

 

Из сравнения формул (26) и (27) следует, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Таким образом, тангенциальное ускорение a_τ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника. Следовательно,

Физический маятник

Физический маятник ‑ это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку A, не совпадающую с центром масс С тела.

Если маятник отклонен на угол α, то момент возвращающей силы можно записать в виде

(22)

где J ‑ момент инерции маятника, относительно оси, проходящей через точку подвеса A, l ‑ расстояние от точки A до центра масс маятника, возвращающая сила.

Упругие и неупругие столкновения

Процессы столкновения делятся на упругие и неупругие в соответствии с характером изменения внутренней энергии частиц при их взаимодействии. Если внутренняя энергия частиц при этом изменяется, то столкновение называется неупругим, если не изменяется - упругим.

Потенциальная энергия тел, находящихся в поле тяготения.

Потенциальная энергия ‑ механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие осуществляется посредством силовых полей. Если работа по перемещению тела во внешнем поле зависит только от начального и конечного положения тела, но не зависит от траектории, то поле потенциальное, а силы ‑ консервативные. Если работа зависит от траектории движения тела ‑ сила диссипативная. Пример диссипативной силы ‑ сила трения.

Работа консервативных сил при бесконечно малом изменении системы равна изменению потенциальной энергии

В выражении использован знак «-», т.к. работа совершается за счет убыли потенциальной энергии.

 

Уравнения плоской и сферической волн. Волновое уравнение.

Уравнение плоской волны

 

 

Это уравнение показывает, что колебательный процесс в упругой среде является периодическим не только во времени, но и в пространстве при изменении координаты x и фиксированном моменте времени t (рис.)

 

Волновое уравнение

Волновое уравнение

 

,где -оператор Лапласа

 

и

 

Энергия упругой волны. Вектор Умова-Пойтинга.

Энергия упругой волны

 

 

Вектор Умова-Пойтинга

Из формулы видно, что среднее значение потока энергии пропорционально значению площади ΔS. Поэтому вводят плотность среднего значения потока энергии, или коротко, интенсивность I волны, которая численно равна потоку энергии через единичную площадку, т.е.

 

Т.к. скорость есть вектор, то плотность потока энергии следует также рассматривать как вектор, который направлен по скорости распространения волны

- вектор Умова-Пойтинга, т.к. впервые введен профессором Московского университета Умовым (1845 – 1915) и профессором университета Бирмингема Пойтингом (John Henry Poynting 1852-1914).

 

Формула Пуазейля.

Формула Пуазейля используется при определении коэффициента η для вязких сред путем измерения объема V вытекшей жидкости за некоторое время t при заданном перепаде давлений Δ р=р₁ —р₂

 

 

Приборы, служащие для определения вязкости по этому методу, называются вискозиметрами.