Колебание маятника при наличии трения

Поскольку сила трения при малых скоростях пропорциональна скорости, а скорость , то уравнение свободных колебаний маятника с учетом трения имеет вид:

. (2.16)

Преобразуем (2.16) к виду

, (2.17)

где , .

При малых колебаниях уравнение (2.17) превращается в уравнение

. (2.18)

Уравнение (2.18) описывает два вида колебаний: затухающие колебания при и затухание колебаний при . Уравнение (2.18) позволяет найти аналитическое решение:

при

,

где , – амплитуда, – начальная фаза ( и выражаются через начальные значения и );

при

,

и также выражаются через и .

Аналитического решение уравнения (2.17) не известно, поэтому его решают с помощью численных методов, предварительно сведя уравнение (2.17) к следующей системе дифференциальных уравнений

Наличие трения в колебательном движении приводит, в частности, к тому, что в зависимости от соотношения и появляются разные режимы движения: затухающие колебания и затухание без колебаний. Одна из задач исследования – найти на фазовой плоскости линию, разделяющую два режима, в зависимости от начального отклонения маятника [3, 4].

Входные параметры модели: – частота собственных колебаний маятника, – начальное отклонение маятника, – начальная угловая скорость, – коэффициент трения.

Вынужденные колебания

Если на маятник воздействует внешняя сила , то уравнение движение получается из (2.16) добавлением к правой части. Рассмотрим простейший случай – периодическое внешнее воздействие: , где – частота вынужденной силы. В этом случае уравнение движение маятника имеет вид:

, (2.19)

где . При малой амплитуде движения (2.19) примет вид

(2.20)

Движение, описываемое уравнением (2.20), состоит из двух этапов. На первом оно складывается из двух колебательных движений: затухающих собственных колебаний с частотой (при ) и вынужденных колебаний с частотой . На втором этапе, по истечению времени , остаются лишь вынужденные периодические колебания, амплитуда которых зависит от соотношения частот и и резко возрастает при – явление резонанса. Аналитическое решение уравнения (2.20) имеет вид

.

(2.21)

и – произвольные постоянные, находятся из начальных условий.

Исследование переходного процесса установления стационарных вынужденных колебаний, резонанса, биений, (рис. 2.5, 2.6, 2.7) возникающих при и могут как проводится простым табулированием формулы (2.21) так и с помощью численного моделирования уравнения (2.20).

Рис. 2.5. Установление стационарных вынужденных колебаний маятника при наличии трения

Рис. 2.6. Биения в системе с близкими частотами собственных колебаний и с вынуждающей силой

Рис. 2.7. Возрастание амплитуды колебаний при прохождения через резонанс

Для численного решения уравнения (2.19), последнее первоначально сводится к системе уравнений

а затем приближенно решается одним из разностных методов.

Входными параметрами модели являются .

Параметрические колебания

Колебательные движения маятника, когда на него внешние силы непосредственно не действуют, но внутри системы происходят некоторые события, приводящие к зависимости от времени параметров, входящих в уравнение движения называются параметрическими.

Простейшим примером является раскачивание качелей усилиями того человека, который стоит на качелях. Приседая и отталкиваясь можно сильно разогнать качели. Указанные приседания сводятся к периодическому изменению центра тяжести системы, или, что почти равносильно, длины нити подвеса. Поскольку длина нити подвеса определяет частоту колебаний, то математической моделью является уравнение

,

где – заданная функция, определяющая закон изменения частоты. В случае гармонического изменения определяется по формуле

, (2.22)

где – частота изменения величины . Уравнение (2.22) равносильно системе уравнений

Одно из принципиальных явлений, связанное с этими колебаниями – появление так называемого параметрического резонанса при некоторых соотношениях частот и , а именно , , , , и при определенных значениях величины в системе возникают нарастающие колебания. На рис. 2.8 схематически изображена фазовая диаграмма системы в переменных и , на ней заштрихованы зоны параметрического резонанса.

Рис. 2.8. Фазовая диаграмма с зонами параметрического

резонанса

Рассмотренные выше уравнения, особенно линейные, описывают ряд процессов в механике твердых тел, газов, в электродинамике и т.д. Например, уравнение описывает следующие системы: математический маятник; пружинный маятник; «физический» маятник – тело, свободно вращающееся около горизонтальной оси; крутильный маятник наручных часов – симметричное тело, совершающее колебания около вертикальной оси под действием спиральной пружины; ток в колебательном контуре; акустический резонатор Гельмгольца, в котором происходит колебания воздуха в колбе с широким горлышком; колебания магнитной стрелки компаса.

2.6. Моделирование явлений и процессов в приближении сплошной среды. Абстрактное понятие «сплошная среда» широчайшим образом используется в науке. Во многих ситуациях жидкости, газы, твердые тела, плазму можно рассматривать как «сплошные», отвлекаясь от их молекулярного и атомарного устройства. Например, при распространении волн в жидкости или газе реальная дискретность этих сред практически не сказывается на свойствах волн, если длина волны многобольше характерного межмолекулярного расстояния. При изучении процесса распространения тепла или диффузии чаще оперируют такими характеристиками как теплоемкость, теплопроводность, скорость диффузии, которые можно обсуждать и практически использовать в технике без выяснения их микроскопической природы.

В приближении сплошной среды свойства объекта описываются математически с помощью непрерывных функций от координат и времени: . За каждым «свойством» закрепляется такая функция, и их взаимосвязанный вид дает полное описание среды.

Существующие задачи можно разделить на два класса: статические и динамические. В первом случае значения величин, характеризующих сплошную среду, не зависят от времени, и требуется найти их пространственное распределение. Примеры задач: как распределено в пространстве значение электрического поля, созданного неподвижным точечным зарядом? как распределены электрическое поле в конденсаторе? поле постоянного магнита? скорости в стационарно движущемся по трубе потоке жидкости?

Еще сложнее решение динамических задач. Если электрическое поле создается движущимися зарядами, то определить, как оно меняется во времени в каждой точке пространства – очень непростая задача. Не менее трудно определить эволюцию скорости в разных местах в жидкости, если в некотором месте пульсирует давление; изменения значений температуры в разных точках некоторого тела, которое подогревают изнутри или извне от источников тепла, интенсивность которых изменяется со временем.

Если поле создается одним точечным зарядом ,то величина напряженности поля зависит от расстояния от до данной точки пространства: . Поле существует независимо от пробного заряда и может рассматриваться как сплошная среда. Существуют две взаимосвязанные характеристики электрического поля: напряженность и потенциал . Для поля точечного заряда .

Если поле создано не одним, а несколькими зарядами, то напряженность и потенциал в каждой точке можно найти из принципа суперпозиции:

, ,

где и создаются в этой точке -м зарядом.

Зная потенциал в каждой точке поля, т.е. функцию , можно найти напряженность в каждой точке чисто математическим путем на основании того, что проекция вектора напряженности на любое направление есть скорость изменения потенциала в этом направлении:

, , . (2.23)

В реальных конструкциях поле создается достаточно причудливо расположенными в пространстве заряженными телами самых разных форм: пластины, плоские и изогнутые; штыри; правильные и деформированные сфероиды и т.д. Важно иметь наглядную картину поля, изображенного некоторым условным образом. Существуют два классических способа для наглядного изображения поля: поверхностями (или линиями) равного потенциала и силовыми линиями поля.

Для любого электростатического поля множество точек, потенциал в которых одинаков,образует замкнутую поверхность – эквипотенциальную поверхность. Для одного точечного заряда это сфера; в общем случае эта поверхность может быть очень сложной. Линии равного потенциала являются сечениями поверхности равного потенциала той плоскостью, в которой строится изображение.

Силовые линии – линии, касательные к которым в каждой точке задают направление вектора напряженности поля. Силовые линии никогда не пересекаются между собой. Они начинаются на положительных зарядах и либо заканчиваются на отрицательных, либо уходят «на бесконечность». По соглашению число силовых линий, исходящих из точечного заряда, пропорционально величине этого заряда; коэффициент пропорциональности выбирается таким, чтобы изображение было легко читаемым.

Ниже описывается практический метод построения картины поверхностей равного потенциала для системы, состоящей из нескольких точечных зарядов произвольной величины и знака, любым способом расположенных в пространстве.

Введем некоторую систему координат, начало которой удобнее расположить в «пустой» точке, т.e. ни на одном из зарядов. Пусть в этой системе координаты зарядов имеют значения , , где –число зарядов.

Рассмотрим вначале построение линий равного потенциала (изолиний), образованных сечением поверхности равного потенциала некоторой плоскостью; пусть, для определенности, это будет плоскость . Воспользуемся методом сеток.

Выберем по осям , некоторые шаги , и покроем плоскость сеткой, образованной прямыми, параллельными осям и , отстоящими друг от друга на расстояниях и ,соответственно. Точки пересечения этих прямых – узлы сетки. Пронумеруем их так: начало координат , следующий по оси вправо – , влево – ; по оси вверх - , вниз и т.д. Значения потенциала, создаваемого системой зарядов в узле , согласно принципу суперпозиции, имеет вид (здесь и ниже – номер строки, – столбца сетки):

.

Ограничимся прямоугольной областью в плоскости : по оси и по оси .В этой области узлов. Вычислим значения потенциала в каждом из них по указанным формулам. В результате получим матрицу значений потенциала.

Фиксируем некоторое значение потенциала и построим изолинию, соответствующую этому значению. Для этого проходим, к примеру, по -ой горизонтальной линии сетки и ищем среди ее узлов такие соседние, значения потенциала в которых «захватывают» между собой; признаком этого может служить выполнение равенства

.

Если такая пара узлов найдена, то координату точки, в которой , найдем приближенно с помощью линейной интерполяции:

, . (2.24)

Найдя в данной горизонтали все такие точки, переходим к следующей горизонтали, пока не пройдем их все. После этого следует аналогичный поиск нужных точек на вертикальных линиях сетки. Формулы, аналогичные (2.24), имеют вид:

, . (2.25)

После прохождения всех горизонтальных и вертикальных линий сетки находятся все те точки на этих линиях, в которых потенциал равен . Проведя кривую, плавно проходящую через ближайшие точки, получаем искомую изолинию (если значение выбрано разумно и такая линия есть в пределах рассматриваемой области). Затем берем другие значения и повторяем указанную процедуру, получая таким образом семейство изолиний.

Если между двумя ближайшими узлами выполняется записанное выше неравенство – означает ли это, что между ними действительно лежит однаточка, в которой ? Да, если потенциал между этими узлами меняется монотонно. Если же узлы столь редки (т.е. и (или) слишком велики), что потенциал между соседними узлами меняется немонотонно, то числа, полученные по формулам (2.24), (2.25), не имеют практически никакого отношения к реальным точкам, в которых ; это утверждение проиллюстрировано на рис. 2.9, 2.10.

Рис. 2.9. Приближенное нахождение точки, в которой , с помощью линейной интерполяции

Рис. 2.10. Формальное нахождение точки, в которой , с помощью линейной интерполяции

Для получения изолиний следует брать достаточно малые и . Проверка достоверности состоит в том, что строится картина изолиний с некоторыми и (часто берут ),а затем с вдвое меньшими значениями; если картины близки, то построение на этом завершается. Даже если все заряды лежат в одной плоскости, поле существует, конечно, и вне этой плоскости. Один из способов наглядного построения изображения поля – найти изолинии, соответствующие некоторому фиксированному набору значений в нескольких параллельных плоскостях и представить их на общем рисунке, дающем представление о поверхностях равного потенциала. Данный способ реализует представленная ниже программа.

program isoliniya;

uses crt, graph;

const n=100;{ k=5; l=9;} k=7; l=9;

q:array[1..k] of real={(1,-2,2,-3,1)} (1,1,1,1,-1,-1,-1);

x:array[1..k] of real={(0.3,0.2,0.7,0.5,0.5)}(0.2,0.8,0.2,0.8,0.2,0.5,0.8);

y:array[1..k] of real={(0.75,0.5,0.2,0.9,0.5)}(0.2,0.8,0.8,0.2,0.5,0.5,0.5);

p:array[1..l] of

real={(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4)} (-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4);

var

{ x,y,q:array[1..k] of real;} { p:array[1..l] of real; }

fi:array[0..n,0..n] of real;

i,j,m,adapter,regim:integer; a,b,r,pp:real;

begin

clrscr;

{ for i:=1 to k do

begin

write('x[',i,']='); readln(x[i]);

write('y[',i,']='); readln(y[i]);

write('q[',i,']='); readln(q[i]);

end; }

for i:=0 to n do for j:=0 to n do for m:=1 to k do

begin

r:=sqrt(sqr((i/n)-x[m])+sqr((j/n)-y[m]));

if r>=1e-6 then fi[i,j]:=fi[i,j]+(q[m]/r) else

fi[i,j]:=1e+8;

end;

{ for i:=1 to l do

begin write('p[',i,']='); readln(p[i]); end; }

adapter:=detect; initgraph(adapter,regim,'d:\lang\bp\bgi');

for i:=1 to k do

begin

a:=x[i]*getmaxx; b:=(1-y[i])*getmaxy;

circle(round(a),round(b),4);

floodfill(round(a),round(b),getcolor);

end;

for m:=1 to l do

begin

pp:=p[m]; setcolor(m);

for i:=0 to n do for j:=0 to n-1 do

if (fi[i,j]-pp)*(fi[i,j+1]-pp)<0 then

begin

a:=(j+(pp-fi[i,j])/(fi[i,j+1]-fi[i,j]))/n;

circle(round((i/n)*getmaxx),

round((1-a)*getmaxy),1);

end;

for j:=0 to n do for i:=0 to n-1 do

if (fi[i,j]-pp)*(fi[i+1,j]-pp)<0 then

begin

a:=(i+(pp-fi[i,j])/(fi[i+1,j]-fi[i,j]))/n;

circle(round(a*getmaxx),

round((1-(j/n))*getmaxy),1);

end;

end;

repeat until keypressed; readln; closegraph;

end.

Для построения силовых линий поля выберем некоторую точку с координатами (, , ) и найдем в ней напряженность поля

по правилу суперпозиции

, , ,

где .

Проведем в точке (, , ) касательную к , и возьмем вдоль нее небольшой отрезок длины , начинающийся в ; координаты конца отрезка определяются по формулам

, , .

В результате получаем координаты точки лежащей на касательной к силовой линии (вместо точки , лежащей на самой линии). Если мало, то близко к . Далее, отправляясь от , находим по этой же схеме следующую точку вблизи силовой линии и т.д. Ломанная приблизительно передает силовую линию. Построение целесообразно начать вблизи какого-нибудь положительного заряда (если он есть) и закончить тогда, когда силовая линия подойдет вплотную к отрицательному заряду или уйдет «на бесконечность».

Построение картины силовых линий, дающих представление о поле – дело неформальное, требующее понимания физической сущности. Два семейства взаимно перпендикулярных линий – равного потенциала и силовых – дают наглядную и исчерпывающую характеристику силового поля [3].

Учитывая трудности визуализации трехмерных изображений, целесообразно на практике вначале ограничиться рассмотрением ситуаций, когда все заряды лежат в одной плоскости; тогда силовая линия, начинающаяся из любой точки данной плоскости, из этой плоскости не выйдет, и получится легко воспринимаемая картина.

2.7. Моделирование процесса теплопроводности. Если один из концов длинного стержня поместить в костер, то, если стержень сделан не из горючего или легко плавящегося материала, другой конец через некоторое время тоже нагреется; как быстро и насколько – зависит от материала, размеров стержня и других факторов. Процесс теплопроводности – один из процессов тепломассопереноса. Другими процессами такого рода являются – диффузия, процессы гидро- и аэродинамики (процессы движения жидкостей и газов).

Рассмотрим линейный стержень, боковая поверхность которого не проводит тепла (теплоизолирована). Если в начальный момент времени стержень неравномерно нагрет, то в нем будет происходить перераспределение тепла; при отсутствии внутренних источников тепла его температура выровняется. Поскольку стержень линеен и однороден, то распределение температуры в пространстве характеризуется одной координатой . Кроме того, температура () зависит от времени – .

Получим уравнение, описывающее процесс изменения температуры в стержне. Зафиксируем некоторую точку и выделим около нее малый участок стержня длиной . Искомое уравнение есть уравнение теплового баланса: изменение количества тепла в выбранном участке стержня за счет притока и (или) оттока его через сечения приведет к нагреванию или охлаждению этого участка в соответствии с его теплоемкостью.

Рис. 2.11. Участок линейного стержня

Количества тепла, проходящего через поперечное сечение стержня в точке за время , пропорционально площади поперечного сечения , градиенту температуры и промежутку времени : . Пропорциональность градиенту температуры следует из экспериментального факта: поток тепла через некоторый участок стержня длиной тем больше, чем больше разность температур () на его концах и чем меньше расстояние : при .

Вводя коэффициент пропорциональности , называемый коэффициентом теплопроводности, получим

.

Значение определяется материалом стержня и измеряется в .

Количество тепла, проходящего через сечение в точке , определяется формулой:

с условием, что производная берется в точке . Для получения искомого уравнения выразим значение производной в точке через значение в точке .

Ограничиваясь первым порядком приращения , получим

.

На основании последнего соотношения следует, что

.

Если через сечение и за время прошло разное количества тепла, то та его часть, которая пошла на нагревание (или, в зависимости от знака, на охлаждение) этого участка стержня определяется формулой

.

Пусть за то же время температура участка изменилась на . Тогда величина определяется равенством , где – масса, – удельная теплоемкость. Приравнивая два выражения для получим:

.

Представляя массу в виде , поделив обе части уравнения на и перейдя к пределу при , получим

, или , (2.26)

где – коэффициент температуропроводности.

Уравнение (2.26) – основное уравнение теплопроводности для однородного стержня. Уравнение выражает закон сохранения энергии в данный момент времени в данной точке.

Далее приводится вывод уравнения теплопроводности в трехмерном случае. Рассмотрим некоторое тело , ограниченное поверхностью (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Иллюстрация к выводу уравнения теплопроводности в трехмерном случае

Закон сохранения энергии выполняется для любой части тела . По этому закону скорость изменения энергии в теле равна потоку энергии через его границу. Энергия в объеме определяется как , где – объемная плотность энергии. Поток энергии через границу тела равен , – поток энергии. Закон сохранения энергии примет вид

.

Применяя к правой части теорему Остроградского – Гаусса, получаем

.

Поскольку это соотношение должно выполняться для любой части тела , то необходимо и достаточно, чтобы в любой точке и в любой момент времени подынтегральное выражение равнялось нулю. Учитывая, что плотность энергии пропорциональна температуре тела, а поток энергии пропорционален градиенту температуры, получаем уравнение

, (2.27)

где – температура в точке в момент .

Уравнения (2.26), (2.27) описывают процесс изменения температуры тела во времени и пространстве. Для отслеживания данного процесса нужно знать распределение температуры в теле в начальный момент времени:

, (2.28)

где – заданная функция. Кроме того, в местах, где возможен теплообмен с окружающей средой, надо знать условия этого обмена. Для стержня с теплоизолированной боковой поверхностью такими местами являются концы. Если один конец имеет координату , а другой – , то простейший вариант краевых условий – постоянная температура на каждом конце стержня:

, . (2.29)

Дифференциальное уравнение (2.26) при начальном условии (2.28) и краевых условиях (2.29) имеет единственное решение.

Рассмотрим методы численного интегрирования уравнений в частных производных на примере решения уравнения теплопроводности.

Разобьем отрезок решения на равных частей с узлами в точках ,…, ,…, . Искомую функцию будем аппроксимировать ее значениями в узлах сетки.

Аппроксимация первой производной в точке имеет вид

. (2.30)

Для крайних точек такая аппроксимация невозможна, поэтому простейший способ – ограничиться односторонними разностями:

(2.31)

Формулы (2.30) и (2.31) дают простейшие аппроксимации. Используя большое количество узлов, можно получить аппроксимации более высокого порядка, но часто бывает достаточно описанных выше. Аппроксимация вторых производных имеет вид

,

(2.32)

.

В качестве методов численного интегрирования используются те же методы, что и для решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге – Кутта. При интегрировании уравнений по времени двигаются по отдельным слоям, и в каждом слое определяют значение искомой функции на пространственной сетке. Если для интегрирования по времени используется метод Эйлера или другой одношаговый метод, то для работы со следующим временным слоем используются значения искомой функции из предыдущего слоя, для более сложных -из нескольких предыдущих слоев.

Далее индексы, соответствующие временной сетке, пишутся надстрочно (вверху), а пространственной – подстрочно (внизу). Таким образом, для одномерного уравнения запись означает значение функции в -м временном слое и в - м узле пространственной сетки. Для одномерного уравнения теплопроводности (2.26) величина для внутренних узлов пространственной сетки на основе метода Эйлера находится из равенства

, (2.33)

где -шаг по времени, -шаг по координате, , ,

функция предполагается заданной и определяет значение температуры при . Что касается значений и (на концах стержня), то они зависят от типа краевого условия; для случая, когда концы стержня поддерживаютсяпри постоянной температуре

, , где , - заданные числа.

Разностная схема (2.33) устойчива, если выполняется неравенство

.