Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
График гармонического колебанияСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний Колеблющиеся системы Рассмотрим колебания в трех системах: а) колебания заряда в колебательном контуре L,C; б) колебания грузика, прикрепленного к пружине; в) колебание физического маятника - любого тела, совершающего колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести.
Мы получили дифференциальные уравнения, описывающие движения наших систем. В первых двух случаях уравнения одинаковы по форме, в третьем случае второй член уравнения содержит не φ, а Sin φ. Если рассматривать только малые отклонения маятника от положения равновесия, то тогда, при φ << 1, Sin φ ≈ φ и мы имеем: . Введем обозначения:
Дифференциальное уравнение колебательного движения Для всех трех рассмотренных случаев имеем одно и то же дифференциальное уравнение колебательного движения . Решение дифференциального уравнения Решением дифференциального уравнения называется функция, обращающая это уравнение в тождество. Нетрудно проверить прямой подстановкой, что в нашем случае решение имеет вид: , т.е. является гармонической функцией. Значит уравнение , это дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Сложение колебаний Векторная диаграмма Векторная диаграмма - это способ графического задания колебательного движения в виде вектора.
Вдоль горизонтальной оси откладывается колеблющаяся величина ξ (любой физической природы). Вектор , отложенный из точки 0 равен по модулю амплитуде колебания A и направлен под углом α, равным начальной фазе колебания, к оси ξ. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω, равной циклической частоте колебаний, то проекция этого вектора на ось ξ дает значение колеблющейся величины в произвольный момент времени. Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления Пусть складывается два колебания:
По теореме косинусов . Так как , то . Очевидно (см. диаграмму), что начальная фаза результирующего колебания определяется соотношением: .
Сложение колебаний близких частот Пусть складывается два колебания с почти одинаковыми частотами, т.е. , . Из тригонометрии: . Применяя к нашему случаю, получим: График результирующего колебания - график биений, т.е. почти гармонических колебаний частоты ω, амплитуда которых медленно меняется с частотой Δω . Амплитуда из-за наличия знака модуля (амплитуда всегда > 0) частота с которой изменяется амплитуда, равна не Δω /2, а в два раза выше - Δω. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний Пусть маленькое тело колеблется на взаимно-перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости. По какой траектории будет двигаться это тело?
Из первого уравнения: ; . Из второго: . После подстановки: . Избавимся от корня: .
Частные случаи:
Затухающие колебания Рассмотрим колебания, происходящие в двух системах: а) колебания заряда в колебательном контуре L,C, имеющем активное сопротивление R; б) колебание грузика, прикрепленного к пружинке, учтем влияние трения на движение грузика. Колеблющиеся системы
Дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания наших двух систем в этих обозначениях будет иметь один и тот же вид . Решение Каким будет его решение? При (отсутствие сопротивления, трения) оно должно переходить в (см. 14.2). Наличие затухания, потерь энергии, переход ее из электромагнитной или механической в тепловую приведет к уменьшению амплитуды колебаний с течением времени, станет другой, меньшей чем ω0, и частота колебаний. Предположим, что амплитуда убывает по экспоненциальному закону, т.е. A(t) = A0·e-βt (e=2,71828...), тогда решение будем искать в виде: . Проверка Выясним, при каких условиях эта функция будет решением, для этого найдем и подставим в дифференциальное уравнение. Сгруппируем члены с косинусом и синусом, на A0e-βt сократим: . Для тождественного обращения левой части в ноль надо, что бы коэффициент при косинусе обращался в ноль (коэффициент при синусе обратился в ноль, т.к. мы "удачно" выбрали A(t) = A0βt. Из этого требования следует выражение для - ω частоты затухающих колебаний.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-14; просмотров: 189; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.137.162.107 (0.009 с.) |