Скорость движения частиц упругой среды

- это частная производная от смещения по времени, т.е.

,

с такой скоростью частицы среды колеблются около своих положений равновесия.

Продольные и поперечные волны

Обозначим через скорость распространения волны. Если направление смещения (и скорость частицы ) совпадают с направлением скорости волны, то волна называется продольной. Если и взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

Фронт волны

- поверхность, отделяющая часть пространства, охваченную волновым процессом, от той части, где колебания не возникли.

Волновая поверхность

- это геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Плоская и сферическая волны

Плоская волна - волновые поверхности - плоскости. Сферическая волна - волновые поверхности - сферы. В общем случае форма волновых поверхностей может быть любой.

Длина волны

- это расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний.

см. (3.9),

Так как (14.1.1.3) ,

То или .

Уравнение плоской волны.

Пусть в начале координат находится твердая плоскость, которая колеблется по гармоническому закону и вынуждает частицы упругой среды, находящейся рядом с ней, колебаться по этому же закону. Направим ось x перпендикулярно этой плоскости. Тогда вдоль этой оси будет распространяться плоская гармоническая продольная волна. Наша задача – найти - уравнение волны, если задано .

Колебания до волновой поверхности, удаленной от начала координат на расстояние x, дойдут через время , значит уравнение волны

.

Фаза волны

- это аргумент у косинуса в уравнении волны, т.е.

,

Фаза плоской волны зависит от двух переменных - x и t.

Фазовая скорость

- это скорость перемещения в пространстве поверхности, вдоль которой фаза волны (15.2.1) остается постоянной, т.е.

.

Найдем производную от этого выражения по времени:

,

откуда искомая фазовая скорость волны:

.

Уравнение плоской волны,

распространяющейся в направлении, противоположном оси x:

.

Из (15.2.2) для этой волны:

.

Волновое число, симметричная форма уравнения волны

.

Введем

- волновое число.

Тогда

.

При такой записи координата х и время t входят в уравнение волны симметрично.

Связь волнового числа с длиной волны

.

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении. Волновой вектор

,

здесь - волновой вектор,

- скалярное произведение волнового вектора и радиус-вектора.

 

Волновое уравнение

Применяя второй закон Ньютона (4.6) к упругой среде, можно получить дифференциальное уравнение в частных производных, решением которого будет уравнение волны. Логическая схема этого вывода такова:

Вывод закона Гука для бесконечно малого упругого стержня

Выделим элемент упругого стержня, длиной Δx.

Закрепим левую часть этого элемента (второй рисунок), правую сместим на величину Δξ вдоль оси x.

- закон Гука.

Здесь коэффициент k_упр, характеризующий упругость стержня, зависит от материала стержня, его длины и площади сечения.

Нормальное напряжение и относительная деформация

Введем:

- нормальное напряжение,

- относительная деформация.

При Δx → 0

.

Перепишем, выразив F и Δξ через σ и ε:

или

.

 

Модуль Юнга

Величина не зависит от длины и сечения стержня, она определяется только упругими свойствами материала, ее называют модулем Юнга материала:

.

 

Закон Гука

Тогда связь нормального напряжения σ и относительной деформации ε будет иметь вид:

.

Это выражение тоже носит название закона Гука.

 

15.3.2. Вывод волнового уравнения из .

Пусть волна распространяется вдоль упругого стержня. Рассмотрим элемент этого стержня, его длина равна Δx в невозмущенном состоянии. Пусть при распространения волны левая часть этого элемента сместится на величину ξ(x), а правая - на величину ξ(x + Δx), не равную смещению левой части.

.

В нашем примере стержень растянут внешними силами:

Сумма этих сил равна:

.

Домножим и поделим последнее выражение на Δ x. Величина

при Δx → 0 дает вторую производную от "кси" по x, т.е. .

Тогда .

Масса нашего элемента , его ускорение (3.10)

,

тогда преобразуется в

,

или

- волновое уравнение.

Проверим, будет ли его решением.

Откуда

.

Т.к. (15.2.4), то фазовая скорость упругой продольной волны:

,

и волновое уравнение можно записать в виде:

.

Для волны, распространяющейся в произвольном направлении (15.2.5) волновое уравнение имеет вид:

.

Энергия упругой волны

Найдем полную механическую энергию (5.8.2) для выделенного нами элемента упругой среды, в которой распространяются упругая продольная волна:

.

Скорость (3.8.2):

,

тогда

.

Потенциальная энергия упругого деформированного стержня:

.

Полная энергия выделенного элемента объемом SΔx будет равна:

.