Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Частота затухающих колебаний

Поиск

.

 

Период затухающих колебаний

.

 

График затухающих колебаний

 

Переход к апериодическому движению

При увеличении коэффициента затухания β период затухающих колебаний (14.4.9) растет, при β → ω0 период T → ∞. При β > ω0 периодическое решение у дифференциального уравнения затухающих колебаний отсутствует:

 

Логарифмический декремент затухания

,

подставим A(t) = A0-βt.

.

 

Время релаксации

Время релаксации - это время τ, за которое амплитуда уменьшилась в e=2,7... раз, т.е. , тогда .

.

Т.к. - число колебаний за время, то:

.

 

Добротность

.

 

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания - это колебания, происходящие под действием периодического внешнего воздействия.

 

14.5.1. Колеблющиеся системы
В контур включен последовательно источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону . На грузик m действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону .
14.5.2. Законы движения
Закон Ома для неоднородного участка цепи: Второй закон Ньютона:
. .
14.5.3. Применение законов движения
Применим законы движения к изучаемым системам:
Получим дифференциальные уравнения:
, .
Приведем уравнения к каноническому виду - делим на коэффициент при старшей производной и переносим все члены уравнения, содержащие неизвестную функцию, в левую часть:
; .
14.5.4. Введем обозначения

 

Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания

наших двух систем будет иметь один и тот же вид:

.

 

Решение дифференциального уравнения

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний - ξ(t) - состоит из двух слагаемых:

,

здесь ξ1(t) - общее решение однородного уравнения, т.е. уравнения с нулем в правой части (см. 14.4.5.),

ξ2(t) - частное решение неоднородного уравнения, т.е. уравнения с ненулевой правой частью - (14.5.5)

- из (14.4.6),

здесь - - частота затухающих колебаний.

ξ1(t) убывает с течением времени и его роль существенна при переходных процессах. Стационарное, установившееся значение ξ(t) определяется, в основном, слагаемым ξ2(t). Наша задача - найти ξ2(t).

 

Частное решение неоднородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения - ξ2(t). Ищем ξ2(t) в виде гармонической функции изменяющейся с частотой внешнего воздействия ω:

.

Первая и вторая производные от этой функции также будут гармоническими функциями, изменяющиеся с частотой ω. Значит, в уравнении 14.5.3.5, в левой его части, будет сумма трех гармонических функций одинаковой частоты, справа - гармоническая функция той же частоты, т.е. сумма трех колебаний одной частоты равна четвертому колебанию той же частоты. Задачу о сложении колебаний мы решим методом векторных диаграмм (14.3.1.), для этого и , после нахождения этих производных, запишем с помощью функции косинуса:

.

Векторная диаграмма

Изобразим эти колебания с помощью векторов (14.3.1.), амплитуды которых получаются после умножения на , а - ξ на ω20.

.

В отличие от (14.3.2) вправо направим вектор длиной ω20A, изображающий функцию ω20A · Cos(ωt - φ), начальная фаза которой равна "минус фи".

Резонанс

Т.к. ,

то

.

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внешнего воздействия. При определенной частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - ωрез - резонансной. Для определения ωрез исследуем функцию A(ω) на максимум, для этого достаточно найти минимум знаменателя у выражения A(ω). Возьмем от него производную по и приравняем к нулю:

,

откуда:

.

При 2 > ω20 резонанс отсутствует (ωрез - мнимое число).

Амплитуда при резонансе

Амплитуда при резонансе получается при подстановке найденного выражения ωрез в формулу для A(ω).

.

При β << ω0:

.

При ω = 0 отклонение системы от положения равновесия

.

Найдем отношение Aрез / A0 при условии β << ω0:

,

здесь Q - добротность.

Добротность показывает (при β << ω0) во сколько раз амплитуда при резонансе больше смещения при ω = 0.

Резонансные кривые

График зависимости A(ω) при различных β носят название резонансных кривых.

β1 < β2 < β3, 23 > ω20, в этом случае резонанса нет.

 

15.1. Основные определения

Что такое упругая волна?

Упругая волна - это процесс распространения колебаний в упругой среде. Характерное свойство волны - перенос энергии без переноса вещества.

Описание волны

Для описания волны надо ввести функцию, в общем случае - векторную, задающую смещение от положения равновесия каждой частицы упругой среды для любого момента времени. Обозначим эту функцию греческой буквой [кси]. Аргументами ее, в соответствии с вышесказанным, будут три пространственные переменные - x, y, z, задающие положение частицы (или радиус-вектор), и время t, т.е.

.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-14; просмотров: 394; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.142.197.111 (0.008 с.)