Плотность энергии упругой волны

.

Плотность энергии упругой гармонической волны

Среднее по времени значение плотности энергии упругой гармонической волны

, это известно из математики, значит:

.

Поток энергии

Плотность потока энергии

 

Вектор Умова - связь плотности потока энергии с плотностью энергии упругой волны

Интенсивность волны

- это среднее по времени от модуля вектора плотности потока энергии:

.

Для гармонической волны:

.

 

Стоячие волны

При наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой возникает колебательный процесс, называемый стоячей волной. При этом переноса энергии не происходит.

Уравнение стоячей волны

Для волны, бегущей по оси x:

.

Для волны, бегущей против оси x:

, см. (15.2.3), (15.2.4), (15.2.5).

Для простоты мы положили равным нулю значение начальных фаз этих волн. Сумма этих уравнений и дает уравнение стоячей волны:

Амплитуда стоячей волны

- это модуль выражения, стоящего перед множителем Cosωt, т.е.

Узлы и пучности

Поверхность, где амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами стоячей волны. Для узлов:

Следовательно, координаты узлов:

Поверхность, где амплитуда колебаний достигает максимума, называют пучностями стоячей волны.

Для пучностей:

Координаты пучностей:

Колебания струны, закрепленной с двух концов

В силу граничных условий, заданных закреплением концов струны, уравнение стоячей волны при выборе начала координат на одном из концов струны следует записать через функцию Sin kx, т.е.

.

Тогда условие будет выполнено. Для выполнения граничного условия на другом конце струны мы должны потребовать, чтобы

.

Это приводит к квантованию волнового числа, т.е. k может принимать не любые значения, а только дискретные, определяемые равенством:

т.к.

то

Вдоль струны должно укладываться целое число полуволн! Из (15.1.7) и мы получаем спектр (набор) частот, на которых может колебаться закрепленная с двух концов струна:

Частота v₁ называется основным током, v₂ - первым обертоном и т.д.

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Выпишем здесь еще раз систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме вместе с материальными уравнениями (15.3):

Применим систему уравнений Максвелла (13.4) к однородной (ε = const, μ = const), нейтральной (ρ = 0), непроводящей (σ = 0) среде. Уравнения Максвелла примут следующий вид.

Первая пара:

Вторая пара:

Наша задача - получить волновые уравнения для векторов и , решениями которых будут уравнения электромагнитной волны (сравните с 15.3).

Система уравнений Максвелла для плоской электромагнитной волны

Зададим направление оси x перпендикулярно волновым поверхностям. Тогда:

От координат x и z в плоской волне и не зависят. Как известно из математики:

Учитывая, что не зависит от y и z из первого уравнения первой пары:

,

получим три скалярных уравнения:

Второе уравнение первой пары дает:

Аналогично, из второй пары уравнений Максвелла получим:

Поперечность электромагнитных волн

Уравнения (1) и (4), (5) и (8) утверждают, что H_x и E_x не зависят от времени и координаты x, т.е. являются однородными постоянными полями. Таким образом, переменное поле электромагнитной волны не имеет составляющей вдоль оси x, в направлении которой распространяется волна. Это значит, что электромагнитная волна поперечна, т.е. векторы и перпендикулярны направлению ее распространения.

Волновое уравнение

В уравнения (2) и (7) входят E_z и H_y, в уравнения (3) и (6) входят E_y и H_z. Таким образом, если первоначально было создано поле E_y, то оно породит H_z (3), которое создает E_y (6). Аналогично с E_z и H_y.

Для описания электромагнитной волны можно выбрать уравнения (2) и (7), либо уравнения (3) и (6), либо те и другие.

Получим волновое уравнение для уравнений (3) и (6):

После указанных стрелками замен имеем два волновых уравнения:

Фазовая скорость электромагнитной волны

Коэффициент при второй производной по времени, есть величина, обратная квадрату фазовой скорости волны (см. 15.3.2). Для электромагнитной волны фазовая скорость из волновых уравнений 16.1.2:

В вакууме ε = μ = 1 и

.

Тогда:

Полученное значение фазовой скорости электромагнитной волны в вакууме равно скорости света в вакууме - с. С учетом этого: