Абсолютно упругий удар шаров

Рассмотрим абсолютно упругий удар шаров, при котором происходит упругая деформация шаров, не возникает тепла и пластической деформации (рис.8.3). Даны массы шаров и их скорости до удара , . В результате такого взаимодействия вся кинетическая энергия до удара превращается в кинетическую энергию системы (шаров) после удара. В результате после удара шары будут двигаться с некоторыми скоростями u₁ и u₂.

Пусть . Шары взаимодействуют только между собой, т.е. система замкнута, между телами действуют только консервативные силы.

В такой ситуации должны выполняться законы сохранения импульса и механической энергии. Запишем эти законы применительно к данному случаю, причем закон сохранения импульса представим в алгебраической форме:

. (8.46)

Перепишем эти формулы следующим образом:

; (8.47)

. (8.48)

Разделим (8.48) на (8.47) почленно:

. (8.49)

Теперь имеем систему линейных уравнений (8.47) и (8.49). Для нахождения скоростей шаров после взаимодействия , выразим из (8.49) и подставим в (8.47):

, .

Откуда

. (8.50)

В системе уравнений (8.46) ничего не изменится, если заменить индекс 1 на индекс 2, поэтому для получения формулы, выражающей , достаточно в формуле (8.50) заменить индекс 1 на индекс 2:

. (8.51)

В общем случае

; (8.52)

. (8.53)

Знак (+) соответствует случаю, когда первый шар нагоняет второй, а знак (-) - когда шары движутся навстречу друг другу.

Из уравнения (8.53) видно, что:

1) если m₁ = m₂ = m, то u₁ = v₂, а u₂ = v₁, т.е. в этом случае шары обмениваются скоростями;

2) при ударе шара о стенку (m₂>>m₁):

а) u₂ = v₂ - скорость стенки остается неизменной;

б) u₁ = 2v₂ – v₁ - при этом, если стенка неподвижна (v₂ = 0), скорость шара после удара, оставаясь неизменной по величине, изменяет свое направление на противоположное. При v₂ = 0 u₁ возрастает до 2v₂ при движении стенки навстречу шару и убывает до 2v₂, если стенка удаляется от него.

Лекция 9. Основы релятивистской механики.
Релятивистская кинематика

Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Инварианты преобразования. Закон сложения скоростей в классической механике. Представления о свойствах пространства и времени в специальной теории относительности. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца для координат и времени. Следствия из преобразований Лоренца: сокращение движущихся масштабов длин, замедление движущихся часов, закон сложения скоростей.

9.1. Принцип относительности Галилея.
Преобразования Галилея. Инварианты преобразования.
Закон сложения скоростей в классической механике

Теория относительности, физическая теория, рассматривающая пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов. Универсальность пространственно-временных свойств, рассматриваемых теорией относительности, позволяет говорить о них просто как о свойствах пространства-времени.

Наиболее общая теория пространства-времени называется общей теорией относительности (ОТО) или теорией тяготения, так как согласно этой теории свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. В специальной (частной) теории относительности (СТО), основы которой были опубликованы А. Эйнштейном в 1905 г., изучаются свойства пространства-времени, справедливые с той точностью, с какой можно пренебрегать действием тяготения.

Таким образом, логически СТО - частный случай ОТО; исторически построение ОТО А. Эйнштейном было завершено в 1915 году, после чего и появился термин "частная (специальная) теория относительности". Надо отметить, что еще до появления СТО голландский и французский физики Лоренц и Пуанкаре были близки к получению результатов, вытекающих из положений СТО.

А. Эйнштейн представил с единой точки зрения все известные до него эксперименты по определению скорости света и зависимости скорости распространения света от того, движутся или нет источники и приемники света, изложил физическое понимание проблем, с которыми столкнулись электродинамика и оптика.

Рассматривая движение материальных точек (тел) в классической механике, предполагается, что они движутся со скоростями v<<c (v - скорость движущегося объекта; c - скорость распространения света в вакууме).

Говоря о механическом движении, т.е. о перемещении тела в пространстве, всегда имеется в виду его движение относительно других тел (или одних частей тела относительно других его частей). Для математического описания движения тел с этим телом и другими телами жестко связывается система отсчета и часы для определения времени. Положение материальной точки (тела) в выбранной системе отсчета определяется либо с помощью координат (X,У,Z), либо с помощью радиус-вектора r и часов. При движении материальной точки (тела) в инерциальной системе отсчета предполагается: 1) выбранная система отсчета неподвижна или движется равномерно и прямолинейно относительно любой другой инерциальной системы отсчета; 2) условия движения тела в различных системах отсчета одинаковы; 3) основное уравнение динамики F = d p /dt = m a (второй закон Ньютона) справедливо, если наблюдатель неподвижен относительно выбранной системы отсчета. В этом случае: 1) тело, брошенное вдоль вагона, достигает противоположной стенки за одно и то же время, независимо от того движется ли оно по направлению движения поезда или в противоположном направлении, причем это время такое же, как и в покоящемся вагоне; 2) тело, брошенное вертикально вверх в вагоне, движущимся равномерно и прямолинейно (движущейся системе отсчета), вернется в ту же точку вагона, из которой оно было брошено, а не отклонится в сторону, противоположную направлению движения вагона; 3) упругий удар биллиардных шаров в обеих инерциальных системах (покоящейся и движущейся) отсчета заканчивается разлетом на одинаковые углы и с одинаковыми скоростями, если только в двух системах отсчета были одинаковые начальные скорости и направления движения.

Все это показывает, что в классической механике справедлив следующий закон природы: "В двух системах отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, все механические явления протекают одинаково (при одинаковых условиях)".

Это положение, сформулированное еще Галилеем, получило название классического принципа относительности, или принципа относительности Галилея.

Если начальные условия в различных системах отсчета не одинаковы, то величины, характеризующие движение (координаты, скорости, траектория движения), относительны. Например, траектория движения тела, свободно падающего вертикально вниз в неподвижной системе отсчета, представляет собой прямую линию. Однако по отношению к движущейся системе отсчета это же тело движется по параболе.

Наблюдая движение тел внутри инерциальных систем отсчета, нельзя установить, какая из них движется, а какая покоится.

Это позволяет придать принципу относительности Галилея другую (отрицательную) формулировку: "Никакие опыты, проводимые в инерциальных системах отсчета с механическими приборами (представляющими собой совокупность пружин, нитей, блоков, рычагов и т. д.), не позволяют установить, покоится система отсчета или движется равномерно и прямолинейно по отношению к другой инерциальной системе отсчета.

Рис. 9.1

Согласно механическому принципу относительности, во всех инерциальных системах отсчета законы классической механики имеют одинаковую форму.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: систему К, которую будем считать условно неподвижной, и систему К^', движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью v₀ (v₀ = const). Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих систем совпадали. В классической механике предполагается, что время не зависит от относительного движения систем отсчета (рис.9.1).

Положение произвольной точки в этих системах можно определить радиус-векторами r и r ^'; положение начала координат системы К^' в системе К - радиус-вектором r _o. Если направление скорости v ₀ совпадает с направлением r _o, то в произвольный момент времени t, положение выбранной точки в системе К можно определить так:

r = r ^'+ r ₀= r '+ v _ot; t = t^'. (9.1)

В проекциях на оси координат выражение (9.1) будет иметь следующий вид:

x = x^' + v_0xt, у = у^' + v_0уt,

z = z^' + v_0zt, t = t^'. (9.2)

Соотношения (9.2) называют обратными преобразованиями координат Галилея. Для получения прямых преобразований Галилея необходимо поменять знак относительной скорости v₀. В результате получим

x^' = x - v_0xt, у^' = у - v_0уt,

z^' = z - v_0zt, t = t^'. (9.3)

Или в векторной форме

r^' = r -v₀t; t = t^'. (9.4)

Уравнения, обе части которых при переходе от одной системы координат к другой преобразуются одинаково и благодаря этому сохраняют свой вид во всех координатных (инерциальных) системах, называются ковариантными или инвариантными по отношению к рассматриваемому преобразованию координатных систем. Поэтому уравнения, выражающие физические законы в векторной форме, не зависят от выбора осей координат, они инвариантны.

Продифференцировав (9.1) по времени, получим

v = v^' + v₀. (9.5)

Уравнение (9.5) является математической формой записи закона сложения скоростей в классической механике.

Из выражения (9.5)

; a = a ^'. (9.6)

Таким образом, ускорение выбранной точки в инерциальных системах отсчета К и К^', движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, одинаково. Следовательно, если на рассматриваемую точку не действуют внешние силы, то согласно (9.6) система К^' является инерциальной (выбранная точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно).

Умножив (9.6) на массу материальной точки, будем иметь

m a = m a ^', (9.7)

или

m a = F; m a ^' = F ^'. (9.8)

Уравнения (9.8) выражают основной закон классической динамики. Равенство F = F ^' означает, что законы классической динамики инвариантны при переходе от одной инерциальной системы к другой, что в свою очередь подтверждает справедливость принципа относительности Галилея.

В классической механике предполагается, что время во всех инерциальных системах отсчета одно и то же (это можно доказать), а координаты выбранной материальной точки (тела) относительны. Относительные расстояния между двумя точками пространства определяются из геометрических соображений. При этом относительное расстояние между выбранными точками пространства в подвижной системе отсчета определяется соотношением

, (9.9)

а в неподвижной системе отсчета

. (9.10)

Сравнив (9.9) и (9.10), можно сделать вывод, что относительные расстояния в классической механике одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, они абсолютны, т.е. инвариантны.

Таким образом, принцип относительности по своему содержанию глубоко диалектичен. Он утверждает относительность ряда величин и понятий (координаты, скорости, траектории), содержит утверждение об абсолютности (инвариантности) расстояния между телами (точками), промежутков времени между событиями, относительных скоростей тел, ускорений, об инвариантности (абсолютности) законов природы. С этой точки зрения, само название "принцип относительности" не является наиболее удачным, так как оно подчеркивает только одну, причем не самую важную сторону - относительность, и игнорирует другую - абсолютность (инвариантность) законов механики. Следовательно, можно привести математическую формулировку принципа относительности Галилея: уравнения второго закона Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.

Инвариантные величины (расстояния между телами (точками), промежутки времени между событиями, относительные скорости тел, ускорения) называют инвариантами преобразований.

9.2. Постулаты и представления о свойствах пространства
и времени в специальной теории относительности

Из механического принципа относительности Галилея следует, что скорость движения механических объектов (тел, материальных точек) относительна и зависит от того, в какой инерциальной системе отсчета происходит движение. Следовательно, скорость распространения света зависит от того, движется ли приемник или источник света или нет. Максвелл в 1878 г. предложил мысленный эксперимент по определению зависимости скорости распространения света от того, движется ли источник света или покоится.

Представим вагон длиной 2l, движущийся равномерно и прямолинейно со скоростью v. В середине вагона включается лампочка S и световые лучи освещают стенки вагона. С точки зрения наблюдателя, находящегося в вагоне, лучи света достигнут передней и задней его стенки одновременно. С точки зрения наблюдателя, находящегося вне вагона, свет достигнет передней стенки вагона позже, чем задней, так как передняя стенка "убегает" от световых лучей, а задняя "догоняет" их. Это связано с тем, что если скорость света вне вагона "c" то скорость света по отношению передней стенке (c - v), а по отношению к задней стенке - (c + v). Поэтому свет должен прийти к рассматриваемым стенкам вагона в разные моменты времени.

Запаздывание одного луча по сравнению с другим будет составлять

. (9.11)

Учитывая, что v<<c, получим

, (9.12)

откуда

. (9.13)

Таким образом, зная длину вагона, скорость света, измерив, разность времен Dt, можно не только установить факт движения инерциальной системы отсчета, связанной с вагоном по отношению к неподвижной системе отсчета, но и найти скорость этого движения. Эту скорость естественно было бы назвать абсолютной в отличие от множества относительных скоростей по отношению к произвольно движущимся инерциальным (галилеевым) системам отсчета. Непосредственное осуществление такого эксперимента затруднительно из-за ничтожно малой разности времен Dt.

Однако такие малые разности во времени распространения света можно определить с помощью интерференционных приборов. Это связано с тем, что даже малые разности промежутков времени приводят к значительным изменениям оптической разности хода двух световых лучей: c×Dt. Определив разность хода двух лучей, рассчитав разность времен Dt, можно определить скорость v, а следовательно, и обнаружить движение одной инерциальной системы отсчета относительно другой.

Многочисленные опыты (эксперименты), поставленные в разное время Майкельсоном и Морли, Томашеком, убедительно показали, что скорость света не зависит от движения источника света. Таким образом, обнаружить движение инерциальных систем отсчета относительно друг друга оказалось невозможным.

В отличие от всех исследователей А. Эйнштейн усмотрел в отрицательном результате опытов Майкельсона не случайную трудность, которая нуждается в том или ином (столь же случайном) объяснении, а проявление некоторого общего закона природы: "Невозможно обнаружить прямолинейное и равномерное движение инерциальных систем отсчета по отношению к другим (к абсолютному пространству) не только механическими, но и оптическими методами". Обобщая этот результат, он выдвигает гипотезу, которая является расширением принципа относительности Галилея и носит название принципа относительности Эйнштейна (или первого постулата теории относительности): «Никакие физические опыты (механические, оптические, тепловые, электромагнитные и т.д.), производимые внутри инерциальной системы отсчета, не позволяют установить, находится ли она в равномерном абсолютном и прямолинейном движении или нет».

Так же, как и принцип Галилея, принцип относительности Эйнштейна допускает и утвердительную формулировку: «Все физические явления протекают одинаково (при одинаковых условиях) в двух инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно».

В силу этого любая идея создания физического прибора (механического, оптического и т.п.), обнаруживающего абсолютное движение инерциальных систем отсчета, должна быть отвергнута, как и идея создания любого вечного двигателя.

Принцип относительности делает совершенно надуманной и беспредметной гипотезу абсолютного пространства. Если во всех инерциальных системах, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, все физические явления протекают одинаково. Следовательно, любую из них с одинаковым правом можно считать покоящейся абсолютно. Одновременно оказываются несостоятельными понятия абсолютного покоя и абсолютного движения. Всякое движение относительно и имеет смысл говорить лишь о движении одних тел по отношению к другим телам.

Теория относительности, в основе которой лежит только принцип относительности, не может представлять физическую теорию, предсказывающую огромное количество новых фактов и имеющую колоссальное поле деятельности в современной атомной и ядерной физике.

Принцип относительности представляет физическую теорию при дополнении его вторым постулатом (принципом Эйнштейна) - принципом независимости и постоянства скорости света: «Скорость света в вакууме одинакова во всех направлениях и не зависит от движения источника света».

Принцип постоянства и независимости скорости распространения света подтверждается экспериментально (наблюдения за двойными звездами, опыт Томашека).

С точки зрения классической физики, первый и второй постулаты теории относительности противоречат друг другу.

Для устранения противоречия А. Эйнштейн предложил третий постулат - принцип одновременности событий: «События, одновременные в одной системе отсчета, не являются одновременными в другой системе отсчета, то есть одновременность является понятием относительным».

Для доказательства этого постулата воспользуемся двумя инерциальными системами отсчета: неподвижной системой (К) и системой (К^'), которая движется относительно (К) равномерно и прямолинейно с некоторой скоростью. Пусть в начальный момент времени координатные оси систем совпадают. Через некоторый промежуток времени у этих систем отсчета совпадают только, например, оси OX и OX^' (движение системы К^' происходит в направлении оси OX системы К). Если в некоторой точке В, находящейся в подвижной системе, произошла вспышка света, то свет одновременно (по часам подвижной системы) достигнет точек А и С, расположенных на одинаковом расстоянии от В. Эта вспышка света будет замечена в неподвижной системе отсчета (системе К). Так как свет распространяется с одинаковой скоростью во всех направлениях и его скорость не зависит от движения источника, то, с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К, свет достигнет точек А и В не одновременно. Следовательно, события, одновременные в одной системе отсчета, действительно не одновременны в другой.

Из постулатов А. Эйнштейна следует, что в разных системах отсчета время разное. Поэтому допущение классической физики об абсолютном времени оказывается несостоятельным, как и представления об абсолютном пространстве. Из постулатов теории относительности вытекает тот факт, что пространство и время образуют единую пространственно-временную систему отсчета (пространственно-временной континуум). С точки зрения математики, такая система отсчета представляет собой четырехмерную систему координат. Положение материальной точки, тела в ней может быть задано с помощью четырех координат: x, у, z, и t (x, у, z, - пространственные координаты; t - координата времени, которая вычисляется по формуле:

t = i∙c∙t,

где ;

c - скорость распространения света в вакууме;

t - время.

Известно, что расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве определяется соотношением

. (9.14)

В четырехмерном пространстве (в теории относительности) расстояние между двумя точками, которое называют интервалом между двумя событиями, можно определить следующим образом:

(9.15)

Можно показать, что интервал между двумя событиями в пространственно-временной системе отсчета всегда равен нулю (S_1,2=0). Это позволяет утверждать, что интервал между двумя событиями в теории относительности инвариантен по отношению к переходу из одной системы отсчета в другую.

9.3. Преобразования Лоренца для координат и времени

Формулы преобразования координат, при переходе из одной системы отсчета в другую, в теории относительности называют преобразованиями Лоренца.

Для получения преобразований Лоренца выберем две инерциальные системы отсчета К и К^'. Предположим, что система К^' движется равномерно и прямолинейно относительно системы К со скоростью v. В начальный момент времени системы К и К^' совпадали. Для любого другого момента времени расположение координатных осей систем сохраняется. При этом любая точка имеет одни и те же координаты у, z и у^', z^'. Координаты x и t связаны функционально:
x = f(x^', t^'); t = F(x^', t^').

Таким образом, формулы преобразования координат можно записать в виде

x = f(x^', t^'); у = у^'; z = z^'; t = F(x^', t^'). (9.16)

Формулы преобразования координат не должны изменять интервал между двумя событиями в силу его инвариантности, что возможно в том случае, когда выбранные системы отсчета равномерно вращаются относительно начала координат и относительно друг друга. В силу начальных условий положение точки М в каждой из систем отсчета может быт определено координатами М(x,t) и М(x^',τ^') (рис.9.2).

Из рисунка видно, что координата

x = OA = ОВ - АВ = ОВ - МС^'. OB = x^'×cosj;

MC^' = τ^'×sinj (D MC^'B^'); τ = AM = AA^' + A^'M;

AA^' = OC = τ^'×cosφ; A^'M = x^'×sinφ.

Следовательно, формулы преобразования координат принимают вид

x = x^'×cosφ - τ^'×sinφ; у = у^';

z = z^'; τ = τ^'×cosφ + x^'×sinφ. (9.17)

Для точек, совпадающих с началом координат (O; O^'), имеем

x = v×t; τ = ict; x^' = 0; τ^' = ict^'.

Подставляя значения x, τ, x^', τ^' в формулы преобразования, получим

x = - τ^'×sinφ; τ = τ^'×cosφ.

Разделив x на τ, имеем

. (9.18)

Из тригонометрических соображений

; .

Подставляя значения sinφ и cosφ в формулы преобразований с учетом τ=ict, τ^' = ict^', будем иметь

; у = у^'; z = z^'; . (9.19)

Полученные соотношения называют обратными преобразованиями Лоренца.

Прямые преобразования Лоренца:

; у = у^'; z = z^'; . (9.20)

9.4. Следствия из преобразований Лоренца