Сопоставление формул динамики поступательного движения и динамики вращательного движения

№	Поступательное движение	Вращательное движение
	- Пройденный путь	- Угол поворота
	- Линейная скорость	- Угловая скорость
	Линейное ускорение:	e -Угловое ускорение
	- Mасса – мера инертности	- Момент инерции относительно оси
	- Cила	- Момент силы
	Основной закон динамики поступательного движения:	Основной закон динамики вращательного движения: .
	Импульс тела	Момент импульса тела
	Закон сохранения импульса:	Закон сохранения момента импульса:
	Работа силы	Работа момента силы
	Кинетическая энергия	Кинетическая энергия
	Мощность	Мощность

Лекция 4.Физика колебаний. Гармонический
осциллятор. Нормальные моды

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Модель гармонического осциллятора. Примеры гармонических осцилляторов: физический, математический и пружинный маятники. Определение их периодов и частот. Свободные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Характеристики затухающих колебаний: коэффициент затухания, декремент, логарифмический декремент затухания, добротность. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс. Параметрический резонанс.

4.1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение

Воспользовавшись основным уравнением классической динамики (уравнением второго закона Ньютона) можно получить уравнение движения материальной точки (тела), совершающего гармоническое колебание:

F = m a или F = ma, (4.1)

где a = d²x/dt² = - ω₀² x - ускорение материальной точки;

F = å F _i- результирующая сила, под действием которой совершается гармоническое колебание (возвращающая сила);

F _i - i-я сила, действующая на материальную точку.

Тогда

F = - mω₀²x = - kx, (4.2)

где k = mω₀² - коэффициент возвращающей силы, физический смысл которого заключается в том, что он численно равен возвращающей силе, вызывающей единичное смещение.

Из уравнения (4.2) видно, что сила, под действием которой совершается гармоническое колебание, пропорциональна смещению и направлена в сторону противоположную ему. Она называется возвращающей силой. Возвращающая сила стремится вернуть материальную точку в положение равновесия.

Возвращающие силы могут иметь различную природу. Например, они могут возникать за счет деформации. Силы, возникающие за счет упругой деформации, называются упругими. Силы, имеющие иную природу, - квазиупругими (как бы упругими).

Таким образом, уравнение движения материальной точки при гармоническом колебательном движении имеет вид

или . (4.3)

С точки зрения математики уравнение (4.3) - однородное дифференциальное второго порядка, решением которого является выражение вида

x = x₀×sin(ω₀t + φ₀), (4.4)

где x - смещение;

x₀ - амплитуда;

ω₀ - собственная (круговая или циклическая) частота;

φ₀ - начальная фаза.

Решая дифференциальное уравнение гармонического колебательного движения, можно получить значение, например, периода колебаний, собственной частоты.

4.2. Примеры гармонических осцилляторов. Физический, математический и пружинный маятники.
Определение их периодов и частот

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (4.3):

или .

Колебания гармонического осциллятора являются примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

В качестве примеров гармонических осцилляторов рассмотрим гармонические колебания систем, называемых пружинным, физическим и математическим маятниками.

Пружинный маятник

Пружинный маятник - тело массой m, подвешенное на абсолютно упругой пружине, совершающее гармоническое колебание.

Рассмотрим простую колебательную систему: верхний конец пружины зафиксирован, а нижний соединён с некоторым телом, имеющим массу (рис.4.1). При растяжении пружины тело смещается из положения равновесия. Пружина характеризуется коэффициентом жесткости . Мы рассматриваем колебательную систему с сосредоточенными параметрами и , т.е. мы считаем, что масса сосредоточена в присоединённом теле, а упругость (жёсткость) характерна исключительно для пружины. На самом деле такое допущение – очередная абстракция, т.к. любая пружина имеет конечную (не нулевую) массу, а любое физическое тело обладает некоторой упругостью.

Рис.4.1

В действительности мы можем говорить лишь о преимущественном распределении параметров и соответственно в пружине и в присоединённом к ней теле.

Направим вертикально вниз ось , причем начало оси совместим с положением равновесия тела. При смещении тела из положения равновесия на него действует сила упругости . То есть в этом случае колебания возникают под действием сил упругой деформации F (возвращающей, упругой силы), пропорциональной деформацииDl = x.

В данном случае действие силы тяжести не учитывается, т.к. оно приводит лишь к некоторому смещению тела из положения равновесия (точнее, к смещению самого положения равновесия) и никак не влияет на колебательный процесс. Беря проекцию силы упругости на ось , запишем:

или . (4.5)

Разделив на обе части дифференциального уравнения и введя обозначение , перепишем уравнение в следующем виде:

. (4.6)

Решением дифференциального уравнения (4.6) является функция , подстановка которой обращает уравнение в тождество. В данном случае решением является функция

. (4.7)

В чем нетрудно убедиться, осуществив подстановку:

, ;

. (4.8)

Параметр называется собственной частотой свободных незатухающих колебаний. Таким образом, выведенная из равновесия система совершает незатухающие гармонические колебания с вполне определённой для неё частотой .

Решая дифференциальное уравнение, можно получить выражения для собственной частоты и периода колебаний пружинного маятника. Для чего в дифференциальное уравнение (уравнение движения пружинного маятника) необходимо подставить значения x = x₀×sin(ω₀t + φ₀) и d²x/dt² = - ω₀²x. Будем иметь

- mω₀²x + kx = 0; - mω₀² + k = 0, (4.7)

откуда

. (4.9)

Так как T = 2π/ω₀, то для периода колебаний пружинного маятника получим

. (4.10)

Надо отметить, что приведенное справедливо для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Анализируя колебательный процесс, мы приходим к выводу, что признаками колебательной системы являются следующие три:

1) положение равновесия, 2) возвращающая сила, 3) инерция.