Сопоставление формул динамики поступательного движения и динамики вращательного движения 





Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Сопоставление формул динамики поступательного движения и динамики вращательного движения



Поступательное движение Вращательное движение
- Пройденный путь - Угол поворота
- Линейная скорость - Угловая скорость
Линейное ускорение: e -Угловое ускорение
- Mасса – мера инертности - Момент инерции относительно оси
- Cила - Момент силы
Основной закон динамики поступательного движения: Основной закон динамики вращательного движения: .
Импульс тела Момент импульса тела
Закон сохранения импульса: Закон сохранения момента импульса:
Работа силы Работа момента силы
Кинетическая энергия Кинетическая энергия
Мощность Мощность

Лекция 4.Физика колебаний. Гармонический
осциллятор. Нормальные моды

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Модель гармонического осциллятора. Примеры гармонических осцилляторов: физический, математический и пружинный маятники. Определение их периодов и частот. Свободные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Характеристики затухающих колебаний: коэффициент затухания, декремент, логарифмический декремент затухания, добротность. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс. Параметрический резонанс.


4.1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение

Воспользовавшись основным уравнением классической динамики (уравнением второго закона Ньютона) можно получить уравнение движения материальной точки (тела), совершающего гармоническое колебание:

F= ma или F = ma, (4.1)

где a = d2x/dt2 = - ω02 x - ускорение материальной точки;

F = åFi- результирующая сила, под действием которой совершается гармоническое колебание (возвращающая сила);

Fi - i-я сила, действующая на материальную точку.

Тогда

F = - mω02x = - kx, (4.2)

где k = mω02 - коэффициент возвращающей силы, физический смысл которого заключается в том, что он численно равен возвращающей силе, вызывающей единичное смещение.

Из уравнения (4.2) видно, что сила, под действием которой совершается гармоническое колебание, пропорциональна смещению и направлена в сторону противоположную ему. Она называется возвращающей силой. Возвращающая сила стремится вернуть материальную точку в положение равновесия.

Возвращающие силы могут иметь различную природу. Например, они могут возникать за счет деформации. Силы, возникающие за счет упругой деформации, называются упругими. Силы, имеющие иную природу, - квазиупругими (как бы упругими).

Таким образом, уравнение движения материальной точки при гармоническом колебательном движении имеет вид

или . (4.3)

С точки зрения математики уравнение (4.3) - однородное дифференциальное второго порядка, решением которого является выражение вида

x = x0×sin(ω0t + φ0), (4.4)

где x - смещение;

x0 - амплитуда;

ω0 - собственная (круговая или циклическая) частота;

φ0 - начальная фаза.

Решая дифференциальное уравнение гармонического колебательного движения, можно получить значение, например, периода колебаний, собственной частоты.


4.2. Примеры гармонических осцилляторов. Физический, математический и пружинный маятники.
Определение их периодов и частот

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (4.3):

или .

Колебания гармонического осциллятора являются примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

В качестве примеров гармонических осцилляторов рассмотрим гармонические колебания систем, называемых пружинным, физическим и математическим маятниками.

Пружинный маятник

Пружинный маятник - тело массой m, подвешенное на абсолютно упругой пружине, совершающее гармоническое колебание.

Рассмотрим простую колебательную систему: верхний конец пружины зафиксирован, а нижний соединён с некоторым телом, имеющим массу (рис.4.1). При растяжении пружины тело смещается из положения равновесия. Пружина характеризуется коэффициентом жесткости . Мы рассматриваем колебательную систему с сосредоточенными параметрами и , т.е. мы считаем, что масса сосредоточена в присоединённом теле, а упругость (жёсткость) характерна исключительно для пружины. На самом деле такое допущение – очередная абстракция, т.к. любая пружина имеет конечную (не нулевую) массу, а любое физическое тело обладает некоторой упругостью.

Рис.4.1

В действительности мы можем говорить лишь о преимущественном распределении параметров и соответственно в пружине и в присоединённом к ней теле.

Направим вертикально вниз ось , причем начало оси совместим с положением равновесия тела. При смещении тела из положения равновесия на него действует сила упругости . То есть в этом случае колебания возникают под действием сил упругой деформацииF(возвращающей, упругой силы), пропорциональной деформацииDl = x.

В данном случае действие силы тяжести не учитывается, т.к. оно приводит лишь к некоторому смещению тела из положения равновесия (точнее, к смещению самого положения равновесия) и никак не влияет на колебательный процесс. Беря проекцию силы упругости на ось , запишем:

или . (4.5)

Разделив на обе части дифференциального уравнения и введя обозначение , перепишем уравнение в следующем виде:

. (4.6)

Решением дифференциального уравнения (4.6) является функция , подстановка которой обращает уравнение в тождество. В данном случае решением является функция

. (4.7)

В чем нетрудно убедиться, осуществив подстановку:

, ;

. (4.8)

Параметр называется собственной частотой свободных незатухающих колебаний. Таким образом, выведенная из равновесия система совершает незатухающие гармонические колебания с вполне определённой для неё частотой .

Решая дифференциальное уравнение, можно получить выражения для собственной частоты и периода колебаний пружинного маятника. Для чего в дифференциальное уравнение (уравнение движения пружинного маятника) необходимо подставить значения x = x0×sin(ω0t + φ0) и d2x/dt2 = - ω02x. Будем иметь

- mω02x + kx = 0; - mω02 + k = 0, (4.7)

откуда

. (4.9)

Так как T = 2π/ω0, то для периода колебаний пружинного маятника получим

. (4.10)

Надо отметить, что приведенное справедливо для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Анализируя колебательный процесс, мы приходим к выводу, что признаками колебательной системы являются следующие три:

1) положение равновесия, 2) возвращающая сила, 3) инерция.





Последнее изменение этой страницы: 2016-09-13; просмотров: 659; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.161.98.96 (0.039 с.)