Динамика четырехмерного пространства-времени

Первый закон специальной теории относительности утверждает существование в природе систем отсчета сколь угодно близких инерциальным системам отсчета. При этом полагается, что не только механические, но и всякие другие явления выглядят в таких системах наиболее просто и описываются простыми уравнениями. Такими системами отсчета являются те, в которых свободное тело не имеет по отношению к ним ускорения.

Второй закон Ньютона в специальной теории относительности формулируется так же, как и в классической механике, с помощью понятия импульса тела. При этом импульс тела представляется в четырехмерном пространстве-времени.

Импульсом в четырехмерном пространстве-времени называют величину

p = m₀× v, (10.41)

где m₀ - масса тела в той системе отсчета, по отношению к которой тело покоится (масса покоя);

v - скорость тела.

Запишем это равенство в проекциях на соответствующие оси координат четырехмерной системы отсчета:

; ;

; . (10.42)

Так как , - масса движущейся материальной точки, то величины (10.42) проекций обычного импульса материальной точки в той системе отсчета, по отношению к которой ее скорость равна v

; ;

; . (10.43)

Первые три выражения в (10.43) - проекции обычного импульса на оси x, у и z в четырехмерной системе отсчета пространство-время.

Уравнение движения материальной точки в четырехмерной системе отсчета пространство-время должно быть ковариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, т.е. и справа, и слева должны быть векторы в четырехмерной системе отсчета пространство-время. Кроме того, слева должна стоять быстрота (скорость) изменения импульса, а справа сила. Так как изменение импульса за малое время dτ в рассматриваемой системе отсчета вектор d p = p - p ₀, а время dτ для всех систем отсчета одно и то же, то d p /dτ - вектор, равный силе в четырехмерной системе отсчета пространство-время.

Таким образом, уравнение движения материальной точки в четырехмерной системе отсчета пространство-время будет иметь вид

. (10.44)

Заменив в (10.44) dτ на , получим

. (10.45)

Распишем уравнение (10.45) в проекциях на соответствующие оси координат четырехмерной системы отсчета пространство-время с учетом того, что p₁ = p_x, p₂ = p_у, p₃ =p_z, p₄ = imc:

; ;

; . (10.46)

В первых трех уравнениях формул 10.46 слева стоят производные от проекций импульса по обычному времени, т.е. по часам той системы, в которой скорость тела (материальной точки) равна v. Справа проекция обычной трехмерной силы:

; ;

. (10.47)

Таким образом, проекции силы в четырехмерной системе отсчета отличаются от проекций силы в трехмерной системе координат множителем , а первые три проекции релятивистского уравнения движения – это закон изменения трехмерного импульса, т.е. второй закон Ньютона, записанный в проекциях на оси x, у и z с учетом .

Для выяснения смысла четвертой проекции (10.46) определим скалярное произведение v на F:

(10.48)

или через проекции:

v₁×F₁ + v₂×F₂ + v₃×F₃ + v₄×F₄ = 0. (10.49)

Отсюда

. (10.50)

Подставляя в правую часть равенства (10.50) вместо проекций векторов в четырехмерной системе отсчета пространство-время их выражения через проекции трехмерных векторов, получим

. (10.51)

Подставляя полученное выражение для F₄ в четвертую проекцию релятивистского уравнения движения (10.46), получим

. (10.52)

Умножая (10.52) на ic, будем иметь

. (10.53)

Но , следовательно:

. (10.54)

Так как mc² = E, то уравнение (10.54) можно записать в виде соотношения

. (10.55)

Соотношение (10.55) выражает закон изменения энергии материальной точки в специальной теории относительности.

Таким образом, релятивистские уравнение движения или - это закон изменения импульса и энергии, а сам релятивистский импульс - вектор энергии-импульса, так как первые его проекции образуют обычный трехмерный импульс, а четвертая проекция отличается от энергии материальной точки (тела) множителем i/c. Действительно,

. (10.56)

Связь между трехмерным импульсом и энергией можно установить, если возвести в квадрат выражение

,

которое после соответствующих преобразований будет иметь вид

. (10.57)

Так как mv = p, то

. (10.58)

Умножая (10.58) на с² и учитывая, что mc² = E, получаем

, (10.59)

вместо имевшегося в классической механике выражения

. (10.60)

Уравнение (10.59) было получено ранее, но из других соображений.

Можно показать, что из (10.59) при v²<<c² вытекает (10.60). Надо отметить, что при v²<<c² из формул релятивистской механики можно получить соответствующие формулы классической механики.

Следует отметить, что работу dA = dE совершает результирующая сила f, а это означает, что величина

(10.61)

- это энергия, обусловленная движением тела, т.е. аналог кинетической энергии в классической механике.

Частицу, не находящуюся в силовых полях (гравитационном, электрическом), называют свободной, а потому энергию E = mc² часто называют энергией свободной частицы.

10.3. Столкновения релятивистских частиц. Законы сохранения энергии и импульса

В специальной теории относительности оказывается справедливым и третий закон Ньютона:

F _μ,n = - F _n,μ, (10.62)

где F _μ,n и F _n,μ силы взаимодействия материальных точек в четырехмерной системе пространство-время, которые естественно отличаются (четвертой проекцией) от сил взаимодействия в трехмерном пространстве (в классической механике).

Для системы материальных точек можно установить закон сохранения импульса в теории относительности (закон изменения релятивистского импульса).

Имеем ,

где p - релятивистский импульс;

F -внешняя четырехмерная сила, действующая на систему.

В случае замкнутой системы из N материальных точек, в отсутствие внешних воздействий, имеем

d p = 0 или p = p ₀, (10.63)

то есть

p = const, (10.64)

где p и p ₀ - импульсы после и до взаимодействия.

Таким образом, в замкнутой системе материальных точек в отсутствии внешних воздействий релятивистский импульс сохраняется.

Для компактной записи векторов в четырехмерной системе отсчета можно ввести орт l нормальный к обычным ортам i, j, k. Тогда любой вектор (например, B) в четырехмерной системе отсчета запишется в виде

B = B₁ i + B₂ j + B₃ k +B₄ l,

или

B = b + B₄ l,

где b - трехмерная часть вектора B четырехмерной системы отсчета,а B₄× l - его мнимая часть.

С учетом сказанного векторы S, v, p запишутся в виде

(10.65)

(10.66)

(10.67)

В уравнениях (10.65) – (10.67) S, v, p - векторы четырехмерной системы отсчета пространство-время, а r, v ^', p ^' - их трехмерные составляющие.

С учетом изложенного равенства (10.63, 10.64) можно записать так:

, (10.68)

. (10.69)

В формулах (10.68, 10.69) указано разное число частиц, так как при взаимодействии (ударе) могут образоваться новые частицы.

Учитывая правила сравнения комплексных чисел, равенство (10.68) можно переписать в виде двух равенств

, (10.70)

. (10.71)

С учетом постоянства скорости света и l (10.71) запишется как

. (10.72)

Равенство (10.70) отображает закон сохранения релятивистского импульса, а (10.72) - закон сохранения релятивистской массы (а значит, и энергии).

Отметим, что формулы (10.62) – (10.72), строго говоря, справедливы лишь при взаимодействии материальных точек в одной и той же точке пространства. Если же материальные точки в пространстве-времени разделены, то (10.62) и становятся неверными.

Уравнение движения в компактной форме в теории относительности можно записать так:

, или .

С учетом того, что

и

получим

, (10.73)

. (10.74)

Равенство (10.73) - трехмерная часть закона движения в четырехмерной системе отсчета пространство-время или закон изменения трехмерной части импульса. Равенство (10.74) в проекции на орт l приводит, очевидно, к

,

что является законом изменения кинетической энергии.

То, что равенство (10.62) описывает взаимодействие, происходящее в одной и той же точке пространства-времени (т.е. мгновенный удар при непосредственном контакте обеих материальных точек), следует из самого равенства (10.62). Именно, представляя силу F в виде двух слагаемых, получим

. (10.75)

Но тогда (10.62) распадается на два равенства:

(10.76)

и

. (10.77)

Эти два равенства не противоречат друг другу лишь при v _m = v _n, а это означает, что обе взаимодействующие материальные точки движутся совместно, т.е. их взаимодействие происходит в точке.

10.4. Значение теории относительности

Специальная теория относительности, сменившая теорию, созданную Галилеем, Ньютоном и другими учеными имеет большое значение. Она:

1. Вывела физику из безвыходного положения с эфиром, нековариантностью уравнений по отношению к преобразованиям координат, связанных с переходом от одной системы к другой.

2. Установила границы применимости законов классической механики - они верны при движениях со скоростями, много меньшими скорости распространения света в вакууме.

3. Позволила глубже понять электромагнитные явления, в частности показала относительность понятий E и B.

4. Заставила пересмотреть представления о пространстве и времени. Оказалось, что понятия "размер", "форма" тела, "раньше", "позже" - относительные понятия. Метрические соотношения и промежутки времени в пространстве - относительны. Однако расстояния DS в четырехмерной системе отсчета пространство-время выражаются через приращения координат Dx₁, Dx₂, Dx₃ и Dx₄ так же, как и в трехмерной системе отсчета. То же самое можно сказать и про углы, линии, поверхности. Все геометрические соотношения, вся метрика в теории относительности такая же, как и в геометрии Эвклида на плоскости (только на таком плоском многообразии всего два измерения, два взаимно перпендикулярных направления, а в "мире" Минковского - четыре). В трехмерном пространстве свободное тело движется по прямой линии. Мировая линия такого тела в четырехмерной системе отсчета пространство-время - тоже прямая линия. Однако переход от четырехмерного многообразия Минковского (x₁, x₂, x₃, x₄) к реальному многообразию (x, у, z, t) приводит к тому, что квадрат пространственно-временного расстояния (квадрат интервала между двумя событиями) - не сумма квадратов приращений координат, а сумма-разность:

DS² = Dx² + Dy² Dz² - c²Dt².

Из-за наличия знака "минус" в этой "теореме Пифагора" имеются существенные отличия геометрии теории относительности от геометрии классической физики. Поэтому геометрию теории относительности называют псевдоевклидовой (похожей на евклидову).

5. Установила совершенно неожиданные, с точки зрения классических представлений, связи между массой и энергией, массой покоя, энергией и импульсом.

Нет ни одного факта или явления, противоречащего теории относительности.

Подтверждениями этой теории являются:

1. Формула E = mc², данная этой теорией, позволила использовать внутриядерную энергию.

2. Современные ускорители заряженных частиц строятся с учетом того, что для ускоряемых частиц , если не учесть этой зависимости при проектировании и постройке ускорителя, то он просто не будет работать.

3. Некоторые элементарные частицы, например m-мезоны, по отношению к нашей системе отсчета (Земли) живут дольше, чем по "своим часам". Собственное время жизни m-мезонов порядка 10^-8 с. Они проходят путь (через толщу атмосферы) порядка 10⁵ м. Так как они не могут двигаться со скоростью, большей скорости распространения света в вакууме, то для прохождения такого расстояния им необходимо время Dt~0,3×10^-2 с, что явно больше времени их жизни. Правда, живя по "своим часам" Dt^'»10^-8 с, они проходят путь не 10⁵ м, а меньший, так как проходимое ими расстояние для них "сжимается". Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, и в системе отсчета, связанной с мезоном, такие события, как вход мезона в атмосферу, достижение им поверхности Земли, оцениваются различными значениями Dt и Dt^', Dr и Dr^', как это следует из специальной теории относительности.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Основной

1. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1989. Т. 1, 2, 3.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1995. 472 с.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука, 1980. Т.1 - 6.

 

Дополнительный

1. Физика: Сборник контрольных заданий по механике для студентов инженерно-технических специальностей /Курск. гос. техн. ун-т. П.А. Красных, В.М. Пауков, В.М. Полунин, Г.Т. Сычёв; Под ред. В.М. Полунина. Курск, 1997. 93 с.

2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. 208 с.

3. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. М.: Наука, 1977. 452 с.

 

 

Полунин Вячеслав Михайлович

Сычев Геннадий Тимофеевич

 

 

ФИЗИКА

Физические основы механики

 

Конспект лекций

 

 

Редактор О.А. Петрова

Компьютерная верстка и макет А.А.Гончарова

 

 

Позиция плана № 35.2002

 

 

ИД № 06430 от 10.12.01

Подписано в печать. Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.

Усл. печ. л..Уч.-изд. л.. Тираж 250 экз. Заказ.

Курский государственный технический книверситет

Издательско–полиграфический центр Курского государственного технического университета: 305040, Курск, ул. 50 лет Октября,94