Кинематика четырехмерного пространства-времени

Из постулатов теории относительности вытекает тот факт, что пространство и время образуют единую пространственно-временную четырехмерную систему отсчета (пространственно-временной континуум). Положение материальной точки, тела в ней может быть задано с помощью четырех координат: x, у, z, и t (x, у, z, - пространственные координаты; t - координата времени, равная t = ict, где , c - скорость распространения света в вакууме, t - время). При этом x = x₁, у = x₂, z = x₃, и t = ict = x₄. По Минковскому, это четырехмерное пространство - "мир", в котором каждое мгновенное событие характеризуется точкой - мировой точкой с указанными координатами. События, происходящие с материальной точкой, отобразится в этом мире некоторой линией - мировой линией данной материальной точки (точнее, некоторой трубкой из-за протяженности тела).

В этом четырехмерном пространстве можно ввести четырехмерный радиус-вектор S = S (x₁, x₂, x₃, x₄). Смысл этого вектора состоит в том, что его три проекции на оси x₁, x₂ и x₃ представляют собой обычные координаты материальной точки x, у и z в момент времени , т.е. в момент времени, которым является четвертая проекция вектора S, деленная на ic.

Если материальная точка за время Dt переместится на D r (на Dx, Dу, Dz), то в четырехмерном пространстве это отобразится четырехмерным перемещением D S,первые три проекции которого Dx, Dу, Dz (отображают перемещение материальной точки в обычном пространстве), а четвертая проекция, деленная на ic, будет равна Dt.

Таким образом, введение четырехмерного пространства, четырехмерного радиус-вектора S и четырехмерного перемещения D S позволяет описывать протекание процессов в пространственно-временной системе отсчета.

Известно, что расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве определяется следующим соотношением:

. (10.31)

В четырехмерном пространстве (в теории относительности) расстояние между двумя точками (событиями), которое называют пространственно-временным интервалом между двумя событиями, можно определить так:

. 0.32)

Можно показать, что интервал между двумя событиями в пространственно-временной системе отсчета в случае распространения света равен нулю (DS = 0). Это позволяет утверждать, что интервал между двумя событиями в теории относительности инвариантен по отношению к переходу из одной системы отсчета в другую. При этом

DS = DS^', (DS)² = (DS^')², (10.33)

где DS и DS^' - пространственно-временной интервал между двумя событиями в системах К и К^' (система К^' движется относительно системы К).

Надо отметить, что DS = DS^', а не D S = D S ^', так как направления D S в разных системах отсчета различны, что и приводит к тому, что Dx_i и Dx_i^' не равны.

Дифференцируя пространственно-временной интервал по так называемому собственному времени движущегося тела t, в пространственно-временной системе координат можно ввести понятие скорости v и ускорения a.

Интервал собственного времени di вводится следующим образом. Пусть некоторое тело в системе К имеет скорость v (обычная трехмерная скорость по отношению к системе К). За время dt по часам системы К это тело, двигаясь, переместится на d r (обычное трехмерное перемещение). Тогда пространственно-временной интервал будет иметь вид

. (10.34)

Производя преобразования и учитывая, что , получим

,

откуда

. (10.35)

Так как в левой части равенства (10.35) стоят величины, не зависящие от выбора системы отсчета, то и правая часть равенства не зависит от выбора системы отсчета, т.е. является инвариантом перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Эта величина имеет размерность времени и называется интервалом собственного времени движущегося тела, т.е. является промежутком времени dt, который отметят часы, находящиеся на теле, в то время как часы системы К, по отношению к которой тело движется со скоростью v, отметят время dt.

Таким образом,

. (10.36)

Скорость в четырехмерной системе отсчета

. (10.37)

Чтобы уяснить смысл этой скорости запишем ее проекции:

, ,

, . (10.37)

Из (10.37) видно, что первые три проекции в меньше проекций v_x, v_у и v_z скорости v. Четвертая проекция - мнимая величина, не имеющая физического смысла.

Так как dS и dt для данного процесса не зависит от выбора системы отсчета, то и модуль скорости в четырехмерной системе отсчета не зависит от выбора системы отсчета, хотя модуль соответствующей ей скорости в трехмерной системе отсчета имеет разную величину в разных системах отсчета. Кроме того, величина скорости в четырехмерной системе одна и та же для всех тел и равна ic. Действительно, , а так как , то v = ic.

Ускорение в четырехмерной системе отсчета определяется формулой

. (10.38)

Так как скорость v для всех тел постоянна, то v может меняться только по направлению, что означает в рассматриваемой четырехмерной системе отсчета a ^ v или a×v = 0, или в проекциях на оси a₁×v₁ + a₂×v₂ + a₃×v₃ + a₄×v₄ = 0.

Очевидно, что по известному а (t) можно найти v (t) и S (t):

, (10.39)

. (10.40)

Следовательно, основные понятия и определения кинематики четырехмерного пространства-времени аналогичны основным понятиям и определениям кинематики классической механики.

Отличие кинематики специальной теории относительности от кинематики материальной точки в классической механике заключается в следующем:

1. Специальная теория относительности имеет дело с векторами, описывающими поведение материальной точки в четырехмерном пространстве-времени. Классическая же кинематика имеет дело с векторами, описывающими поведение материальной точки в трехмерном пространстве.

2. То, что DS = DS^', данное равенство вытекает из постулатов Эйнштейна. Для того чтобы v = v^', необходимо их определить как отношение dS и dS^' к такому времени dt, для которого имело бы место dt = dt^', иначе при равных числителях и неравных знаменателях дроби dS/dτ и dS^'/dτ^' не были бы равны. Для этого и вводится в рассмотрение собственное время τ.

По аналогичной причине и ускорение определяется как производная от скорости по собственному времени частицы τ.

3. Модули классических векторов r, v и dr имеютразличные значения в различных системах отсчета. Модули же векторов в четырехмерном пространстве-времени S,D S, v и другие для одной и той же мировой точки одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Иными словами, переход от системы К к системе К^' сопровождается поворотом векторов S,D S, v, а и т.д., описывающих поведение мировой точки, на некоторые мнимые углы.