Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс

 

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w.

Чтобы определить резонансную частоту - час­тоту, при которой амплитуда А смещения достигает максимума, - нуж­но найти максимум функции или, что то же самое, минимум подкорен­ного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по w и приравняв к нулю, получим условие, определяющее :

.

Это равенство выполняется при , у которого только
лишь положительное значение имеет физический смысл. Следователь­но, резонансная частота

. (5.44)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при
приближении частоты вынуждающей силы к частоте называ­ется резонансом. При << значение практичес­ки совпадает с собственной частотой w₀ колебательной системы.

Подставляя (5.44) в формулу (5.42), получим

. (5.45)

На рис. 36 приведена зависимость ампли­туды колебаний от частоты при различ­ных δ.

Из (5.44) и (5.45) вытекает что, чем меньше δ, тем выше и правее ле­жит максимум данной кривой. Если w®0, то все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению так называемому статическому отклонению.

Рис. 36

В случае механических колебаний . Если w®¥, то все кри­вые асимптотически стремятся к нулю. Приведенные на рис. 36 кри­вые называются резонансными кривыми.

Из формулы (5.46) вытекает, что при малом затухании << резонансная амплитуда смещения

, (5.46)

где Q - добротность колебательной системы (5.35), - статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характе­ризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше .

Зависимость от w при разных коэффициентах d графически представлена на рис.37, из которого сле­дует, что при изменении w изменяется и сдвиг фаз j.

Из формулы вытекает, что при w=0 j=0, а при w=w0 независимо от значения коэффициента затухания , т.е. вынуждающая сила опережает вынуждающие по фазе колебания на .

При дальнейшем увеличении w сдвиг фаз возрастает и при >>w₀ , т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внеш­ней силы. Семейство кривых, изображенных на рис. 37, называется фазовыми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы их собственная частота колебаний не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае воз­никнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колеба­ний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.

 

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ

 

Давление в жидкости и газе

 

Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результате соударения стремятся разле­теться во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем.

Как и газ, жидкость принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жид­кость обладает практически неизменным объемом.

Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде механических явлений их поведение определяется одинаковыми пара­метрами и идентичными уравнениями. Поэтому гидроаэромеханика - раздел механики, изучающий равновесие и движение жид­костей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми ими твердыми телами, - использует единый подход к изучению жидкостей и газов.

В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматри-ваются как сплошные, непрерывно распределенные в за­нятой ими части пространства. Плотность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимае­мой жидкости - жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то части жидкости, находящиеся по разные стороны от нее, будут дейст­вовать на каждый ее элемент DS с силами DF, которые, независимо от того как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и на­правлены перпендикулярно площадке DS, т.к. наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение.

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действу­ющей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением р жидкости:

.

Единица давления – паскаль (Па): 1 Па равен давлению, со­здаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1м² (1 Па=1 Н/м²).

Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется зако­ну Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости оди­наково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью.

Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоящейся несжимаемой жидкости. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равнове­сия. Поэтому свободная поверхность покоящейся жидкости всегда го­ризонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности rвес Р=rgSh, а давле­ние на нижнее основание , т.е. давление изменяется линейно с высотой. Давление называется гидро­статичес-ким давлением.

Сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа): , где r - плотность жид-кости, V - объем погруженного в жидкость тела.

 

Уравнение неразрывности

 

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости – потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые про­водят так, что касательные к ним совпадают по направлению с векто­ром скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 38). Линии тока проводят так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Та­ким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т.е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно "про­явить", например, подмешав в нее какое-либо заметные взвешенные частицы.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий то­ка, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S₁ и S₂, перпендикулярные направлению скорости (рис. 39).

За время Dt через сечение S проходит объем жидкости S t; следовательно, за 1 с через S₁ пройдет объем жидкости S₁ , где - скорость течения жидкости в месте сечения S. Через сечение S₂ за 1 с пройдет объем жидкости S₂ , где - скорость течения жид­кости в месте сечения S₂. Здесь предполагается, что скорость жид­кости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема, то через сече­ние S₁пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S₂) т.е.

. (6.1)

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина посто­янная для данной трубки тока. Соотношение (6.1) называется урав­нением неразрывности для несжимаемой жидкости.