Ускорение и его составляющие

 

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изме­няется скорость с течением времени. Физической величиной, характе­ризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение. Рассмотрим плоское движение, т.е. такое, при котором все траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор задает скорость точки А в момент времени t. За время Δt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от как по модулю, так и направлению и равную . Перенесем вектор в точку А и найдем Δ (рис.4).

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+Δt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Δ к интервалу времени Δt:

Мгновенным ускорением (ускорением) мате­риальной точки в момент времени t будет предел среднего ускоре­ния:

Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор Δ на две составляющие. Для этого из точки А (рис.4) по направлению скорости отложим вектор , по модулю равный 1. Очевидно, что вектор , равный , определяет изме­нение скорости по модулю за время Δt: .

Вторая же составляющая вектора - характеризует изменение скорости за время Δt по направлению.

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости и опре­деляет тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точ­ка В достаточно близка к точке А, поэтому DS можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающегося от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD сле­дует , но т.к. АВ = Δt,

то В пределе при t®0 получим .

Поскольку , угол EAD стремится к нулю, а т. к. треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между и Δ стремится к прямому. Следовательно, при t®0 векторы и Δ оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Δ , перпендикулярный к вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная

,

на­зывается нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории, к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полно е ускорение тела есть геометри­-

­ ческая сумма тангенциальной и нормальной со ставляющих (рис.5):

.

Тангенциальная состав­ляющая ускорения ха­рактеризует быстроту изменения скорости по модулю (на­правлена по касательной к траекто­рии), а нормальная составляющая ускорения - быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ус­корения движение можно классифицировать следующим образом:

= 0, а_n =0 - прямолинейное равномерное движение;

=a=const, a_n =0 - прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения Если начальный момент времени t =0, а начальная скорость ₁ = _о, то, обозначив t₂ = t и ₂ = , получим , откуда = ₀ + at.

Проинтегрировав формулу ds = dt в пределах от нуля до произвольного момента времени t, получим длину пути, пройденного тонкой, в случае равнопеременного движения:

= f(t), а_n = 0 - прямолинейное движение с переменным ускоре­нием;

= 0, а_n = const. При =0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы следует, что ра­диус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

- равномерное криволинейное движение;

- криволинейное равнопеременное движение;

- криволинейное движение с переменным ускоре­нием.