И поступательного движения твердого тела

Первый закон Ньютона. Масса. Сила

 

Динамика является основным разделом механики, в ее основе ле­жат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Нью­тона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов всего человеческого опы­та.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не за­ставит ее изменить это состояние.

Стремление сохранять состояние покоя или равномерного прямо­линейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению, к которым он выполня­ется, называются инерциальными системами от­счета. Инерциальной системой отсчета является такая система, ко­торая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно от­носительно какой-то другой инерциальной системы. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат на­ходится в центре Солнца, а оси проведены в направлении определен­ных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при реше­нии многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной. Из опыта известно, что при одинаковых воз­действиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего дви­жения, т.е., иными словами, приобретают различные ускорения. Уско­рение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств са­мого тела (от его массы). Масса тела - физическая величина, явля­ющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные и гравитационные свойства.

В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10^-12 их значения).

Чтобы описать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньюто­на, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют ско­рость движения, т.е. приобретают ускорения, либо деформируются, т.е. изменяют свою форму и размеры. В каждый момент времени сила харак­теризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила - это векторная величина, являюща­яся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате, которого тело приобретает ускорение или из­меняет свою форму и размеры.

 

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движе­ние материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо про­порционально равнодействующей приложенных сил:

a~F (m=const). (2.1)

 

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорение оказывается различным, а именно:

a~ (F=const). (2.2)

Используя выражения (2.1) и (2.2) и учитывая, что сила и ускорение -величины векторные, можем записать

(2.3)

Соотношение (2.3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорцио­нально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и об­ратно пропорционально массе материальной точки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности k = 1. Тогда

или

. (2.4)

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической ме­ханике есть величина постоянная, в выражении (2.4) ее можно ввести под знак производной:

. (2.5)

Векторная величина

, (2.6)
численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Подставляя (2.6) в (2.5), получим

. (2.7)

Это выражение – более общая формулировка второ­го закона Ньютона: скорость изменения импульса материаль­ной точки равна действующей на нее силе. Выражение (2.7) называется уравнением движения материальной точки.

Единица силы в СИ – ньютон (Н): 1 Н - сила, которая массе в 1кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы:

1 Н = .

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных систе­мах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Дей­ствительно, в случае равенства нулю равнодействующей сил (при от­сутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (2.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматрива­ется как самостоятельный закон (а не как следствие второго закона), т. к. именно он утверждает существование инерциальных систем от­счета, в которых только и выполняется уравнение (2.7).

В механике большое значение имеет принцип независи­мости действия сил: если на материальную точку дейст­вует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает ма­териальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач.

Например, на рис.10 действующая сила разложена на два компонента: тангенциальную силу (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения и , а также =Rw, можно записать:

Если на материальную точку действу­ет одновременно несколько сил, то, со­гласно принципу независимости дейст­вия сил, под F во втором законе Нью­тона понимают результирующую силу.

 

 

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) опреде­ляется третьим законом Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

(2.8)

где - сила, действующая на первую материальную точку со сторо­ны второй; - сила, действующая на вторую материальную точку со
стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам
(телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

При использовании законов динамики иногда допускают следую­щую ошибку: т. к. действующая сила всегда вызывает равную по мо­дулю и противоположную по направлению силу противодействия, то, следовательно, их равнодействующая должна быть равна нулю и тела вообще не могут приобрести ускорения. Однако надо помнить, что во втором законе Ньютона речь идет об ускорении, приобретаемом телом под действием приложенных к нему сил. Равенство нулю ускорения означает равенство нулю равнодействующей сил, приложенных к одно­му и тому же телу. Третий же закон Ньютона говорит о равенстве сил, приложенных к различным телам. На каждое из двух взаимодейству­ющих тел действует только одна сила, которая и сообщает данному те­лу ускорение.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динами­ки отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек.

Это следует из того, что для системы материальных точек взаимо­действие сводится к силам парного взаимодействия между материаль­ными точками.

 

Силы трения

Обсуждая до сих пор силы, мы не интересовались их происхожде­нием. Однако в механике мы будем рассматривать различные силы: трения, упругости, тяготения.

Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонталь­ной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет свое движение и в конце концов останавливается. Это можно объяснить существованием силы трения, которая препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга. Силы трения зависят от относительных скоростей тел. Силы трения могут быть разной природы, но в результате их действия механическая энергия всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении.

Обсудим некоторые закономерности внешнего трения. Это трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей; в случае же очень гладких поверхностей трение обусловлено силами межмолекулярного притяжения.

Рассмотрим лежащее на поверхности тело (рис. 11), к которому приложена горизонтальная сила F.

Рис. 11

Тело придет в движение лишь тогда, когда приложенная сила F будет больше силы трения Fтр. Опытным пу­тем установлен следующий закон:

сила трения скольжения F пропор­циональна силе N нормального дав­ления, с которой одно тело действует на другое:

,

где f - коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств со­прикасающихся поверхностей.

 

Закон сохранения импульса.

Центр масс

 

Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической сис­темы называются внутренними. Силы, с которыми на мате­риальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой или изолированн­ой. Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие меж­ду этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. гео­метрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны и , ,…, . Пусть - равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, а - равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

…………………..

Складывая почленно эти уравнения, получим

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

или

(2.9)

где - импульс системы.

Таким образом, производная по времени от импульса механичес­кой системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

т.е.

Это выражение и является законом сохранения им­пульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменя­ется с течением времени.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона.

Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкну­тых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механи­ки). Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства - его однородности. Однород­ность пространства заключается в том, что при параллель­ном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее фи­зические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной сис­темы отсчета.

Отметим, что, согласно (2.9), импульс сохраняется и для незам­кнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

В механике Галилея - Ньютона из-за независимости массы от ско­рости импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.

Центром масс или центром инерции системы мате­риальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус - вектор равен

где m_i и - соответственно масса и радиус-вектор i -и материальной точки; n - число материальных точек в системе; - масса системы.

Скорость центра масс

Учитывая, что , a есть импульс системы, можно
написать

(2.10)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (2.10) в уравнение (2.9), получим

(2.11)

т.е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, рав­ная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (2.11) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (2.10) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

Энергия, работа, мощность

Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаи­модействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнит­ную, ядерную и др.

В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других - переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отдан­ная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, дей­ствующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно ха­рактеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила , которая составляет некоторый угол a с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы на направление перемещения умноженной на перемещение точки приложения силы:

. (3.1)

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (3.1) пользоваться нельзя. Если, одна­ко, рассмотреть элементарное перемещение , то силу можно счи­тать постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным. Элементарной работой силы на перемещение назы­вается скалярная величина

где a - угол между векторами и ; - элементарный путь; F_s - проекция вектора на вектор (рис.12).

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

(3.2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F от пути s вдоль траектории 1-2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис.13), тогда искомая работа А определяется на графике площадью закрашенной фигуры. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F=const, a=const, то получим

где s - пройденный телом путь (см. также формулу (3.1)).

Из формулы (3.1) следует, что при < работа силы положи­тельна, в этом случае составляющая F_s совпадает по направлению с вектором скорости движения v (рис.12).

Если > , то работа силы отрицательна. При = (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы - джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж = 1 Н-м).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят по­нятие мощности:

(3.3)

За время dt сила совершает работу , и мощность, развиваемая
этой силой, в данный момент времени

,

т.е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N - величина ска­лярная.

Единица мощности – ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).