Подставляя (7.10) в (7.9), получим

или . (7.11)

Из соотношения (7.10) вытекает, что t<t', т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инер­циальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна.

Этот результат может быть еще истолкован следующим образом: интервал времени t', отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала t, от­считанного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относи­тельно инерциальной системы отсчета идут медленнее покоящихся ча­сов. На основании относительности понятий "неподвижная" и "движу­щаяся" системы соотношения для t и t' обратимы. Из (7.11) следует, что замедление хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости света в вакууме.

Релятивистский эффект замедления хода часов является совер­шенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах с p-мезонами. Среднее время жизни покоящихся p-ме­зонов (по часам, движущимся вместе с ними) t»2,2×10^-8 с. Следовательно, p-мезоны, образующиеся в верхних слояхатмосферы(на высоте » 30 км) и движущиеся со скоростью, близкой кскорости света, должны были бы проходить расстояние ст=6,6 м, т.е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности.

 

3. Длина тел в разных системах отсчета.

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся от­носительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет =x₂'-x₁', где x₁' и x₂' - не изменяющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стер­жень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относи­тельно которой он движется со скоростью . Для этого необходимо из­мерить координаты его концов х₁ и х₂ в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность =х₂-х₁ и даст длину стержня в системе К.

Используя преобразования Лоренца (7.8), получим

,

т.е. . (7.12)

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в сис­теме, относительно которой стержень покоится. Если стержень поко­ится в системе К, то, определяя ее длину в системе К, опять-таки придем к выражению (7.12).

Из выражения (7.12) следует, что линейный размер тела, дви­жущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в раз, т.е. так называемое лоренцово сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразования Лоренца (7.8) следует, что y'₂-y’₁=y₂-y₁ и z¢₂ -z¢₁=z₂-z₁, т.е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

 

4. Релятивистский закон сложения скоростей.

Рассмотрим движе­ние материальной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью . Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатамих, у, z, а в системе К' в момент времени t - координатами х', у', z', то

и .

представляет собой соответственно проекции на оси х, у, zи х', у', z' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К'.

Согласно преобразованиям Лоренца (7.8), произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:

(7.13)

Если материальная точка движется параллельно относительно осих, то скорость и относительно системы К совпадает с u_x, а скорость u' от­носительно К'- сu'_x . Тогда закон сложения скоростей примет вид

(7.14)

Легко убедиться в том, что, если скорости , u' и u малы по сравнению со скоростью света с, то формулы (7.13) и (7.14) переходят в закон сло­жения скоростей в классической механике (7.4). Таким образом, законы релятивистской механики в предельном случае для малых скоростей (по сравнению со скоростью света) переходят в законы классической физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму по­стулату Эйнштейна. Действительно, если u'=с, то формула (7.14) при­мет вид =с (аналогично можно показать, что при u=с скорость u' также равна с). Этот результат свидетельствует в том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в согласии с постулатами Эйнштейна.

Докажем также, что если складываемые скорости сколь угодно бли­зки к скорости света с, тоих результирующая скорость будет всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предельный случай u'= =c. После подстановки в формулу (7.14) получим u=с. Таким обра­зом, при сложении любых скоростей результат не может превысить ско­рости света в вакууме. Скорость света в вакууме есть предельная ско­рость, которую невозможно превысить.

 

Интервал между событиями

Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводуоботносительности длин и промежутков времени, значение которых враз­личных системах отсчета разное.

В то же время относительный характер длин и промежутков времени в теории Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы от­счета, т.е. являющейся инвариантной по отношению к преобразовани­ям координат. В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами (х,у, z , t), такой физической величиной является интервал между двумя событиями:

, (7.15)

где, - расстояние между точками обычного трехмерного пространства, в которомэти события произошли. Введя обозначение t₁₂ =t₂ –t₁ , получим

.

Покажем, что интервал между двумя событиями одинаков вовсех инерциальных системах отсчета. Обозначив

Dt=t₂ –t₁, , , ,

выражение (7.15) можно записать в виде

.

Интервал между теми же событиями в системе К' равен

. (7.16)

Согласно преобразованиям Лоренца (7.8),

Подставив эти значения в (7.16), после элементарных преобразований получим, что , т.е. (S'₁₂)=S₁₂

Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, определяя пространственно-временные соотношения между событи­ями, является инвариантом при переходе от одной инерциальной сис­темы отсчета к другой. Инвариантность интервала означает, что, несмот­ря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Теория относительности, таким образом, сформулировала новое представление о пространстве и времени, обобщенное далее в диалекти­ческом материализме. Пространственно-временные отношения являются не абсолютными величинами, как утверждала механика Галилея-Ньютона, а относительными. Следовательно, представления об абсолютном пространстве и времени являются несостоятельными. Кроме того, инва­риантность интервала между двумя событиями свидетельствует о том, что пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи – пространство – время.

Пространство и время не существуют вне материи и независимо от нее. Дальнейшее развитие относительности (общая теория относительности) показало, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения.