![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры,
Лабораторная работа №1 Тема. Решение уравнений. Задание 1. Отделить корни графически и уточнить любой корень с точностью до 0,001 методом деления пополам. № 1. № 3. № 5. № 7. № 9. № 11. № 13. № 15. № 17. № 19. Образец выполнения задания. Найти один корень Перепишем уравнение в виде Рис. 1 Уточним корень на отрезке [1;2]. Для этого составим таблицу:
Таблица1 Длина последнего отрезка меньше 0,001, поэтому корень приближенно равен его середине, то есть
Задание 2. Отделить корни графически и уточнить с точностью до 0,001 больший корень обоих уравнений методами хорд и Ньютона. № 1. 1) № 2. 1) № 3. 1) № 4. 1) № 5. 1) № 6. 1) № 7. 1) № 8. 1) № 9. 1) № 10. 1) № 11. 1) № 12. 1) № 13. 1) № 14. 1) № 15. 1) № 16. 1) № 17. 1) № 18. 1) № 19. 1) № 20. 1) Образец выполнения задания. Найти один корень Перепишем уравнение в виде Рис. 2 Уточним корень на отрезке [0;1]. Определим начальную точку Метод хорд. В этом случае Таблица2 Так как | x 5 – x 4| = 0,0001 <0,001, то можно принять Метод касательных. Для этого метода справедливо Таблица 3 Так как | x 3 – x 2| = 0,0004 <0,001, то можно принять
Лабораторная работа №2 Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры, Метод Гаусса 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
2. Сделать выводы о корректности задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).
Теоретические сведения 1.Система линейных алгебраических уравнений в общем случае имеет вид:
В некоторых случаях эту систему удобнее записывать в матричной форме:
где А - матрица системы,
2. Система (1.1-1.2) имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной (detA¹0). 3. Матрицы А и В являются исходными данными и во многих случаях задаются приближенно. Встает вопрос, как погрешности исходных данных влияют на точность решения. Говорят, задача плохо обусловлена, если она чувствительна к малым изменениям входящих в нее исходных данных. В противном случае – хорошо обусловлена.
Обусловленность является качественной характеристикой, хотя мы будем стараться оценить ее и количественно, используя величину меры обусловленности
4. Величина
6.Система (1.1-1.2) является хорошо обусловленной, а ее решение – устойчивым, если мера обусловленности 7. Задача решения СЛАУ является корректной, если решение существует и единственно (detA¹0) и устойчиво относительно исходных данных (А и В), т.е. малым изменениям исходных данных соответствуют малые изменения решения задачи. 8. Метод Гаусса (метод последовательного исключения). Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных изсистемы уравнений. Процесс состоит из двух этапов: прямого и обратного ходов. В результате прямого хода система приводится к треугольному виду, а при выполнении обратного хода вычисляются все неизвестные. Образец выполнения задания. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений используя алгоритм метода Гаусса. Введем расширенную матрицу системы, как показано на рис.3 в ячейки А3:D5. Первый этап, приведение матрицы системы к треугольной. 1. Поделим элементы первой строки на а11 .Для этого в ячейку А7 введем формулу А7=А3/A$3$ и скопируем ее вправо до конца строки. 2. Умножим элементы первой строки на (-а21) и прибавим ко 2-ой строке. Для этого введем формулу А8=А7(-А$4$)+А4 и скопируем ее вправо до конца строки. 3. Умножим элементы первой строки на (- а31 ) и прибавим к 3-ей строке. Для этого введем формулу А9=А7(-А$5$)+А5 и скопируем ее вправо до конца строки. Таким образом исключили неизвестное х1 из 2-го и 3-го уравнений системы (смотри 1-й шаг рис.3). 4. Осталось исключить неизвестное х2 из 3-го уравнения системы. Для этого реализуем описанный выше алгоритм для 2-ой и3-ей строк (смотри 2-й шаг рис.3).
![]()
На этом первый этап метода Гаусса, закончен, матрица системы приведена к треугольной. Второй этап. Здесь последовательно найдем неизвестные, начиная с последней строки. Для этого в ячейки G2:G4 запишем формулы: G4=D13/C13 (для вычисления x 3); G3=D12-C12∙G4 (для вычисления x2); G2=D11-C11∙G4-B11∙G3 (для вычисления x1). Найдем решение исходной системы, используя надстройку Поиск решения. Заготовим таблицу, как показано на рис.4.
Заготовим ячейки А7:С7, где будет сформировано решение системы (х1, х2, х3). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, 1. Введем коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5. 2. В столбец D введем выражения для вычисления левых частей исходной системы. Для этого в ячейке D 3 введем и скопируем вниз до конца таблицы формулу: D3=СУММПРОИЗВ (A3:C3;$A$7:$C$7). 3. В столбец Е запишем значения правых частей системы. 4. Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая 5. Зададим команду Данные\Поиск решения. В окне Параметры поиска решения (рис.5) в поле Изменяя ячейки переменных укажем блок $А$7:$С$7, а в поле Ограничения – $D$3:$D$5 = $E$3:$E$5. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения.
Рис. 5 6. Щелкнем на кнопке Найти решение. Полученное решение системы х1 =1; х2 =–1 х3 =2 записано в ячейках А7:С7, рис.4.
Для нахождения обратной матрицы, слева к исходной записываем единичную и аналогичными преобразованиями приводим левую часть к единичной матрице. Для проверки используем функцию МОБР, для вывода всей обратной матрицы выделяем матрицу нужной размерности и нажимаем F 2, Ctrl+Shift+Enter. Находим нормы прямой и обратной матрицы, а также число обусловленности. Для проверки устойчивости придаем правым частям небольшие возмущения и находим решение системы при помощи надстройки Поиск решения.
Лабораторная работа №3 Метод Гаусса-Зейделя Метод Гаусса-Зейделя представляет собой модификацию метода Якоби. Основная идеяметода заключается в том, что при вычислении (k +1)-ой итерации неизвестное
Проиллюстрируем метод для n=3. Пусть система линейных алгебраических уравнений уже приведена к нормальному виду: Выбираем произвольное начальное приближение Полученное первое приближение Используя Этим заканчивается построение первой итерации Используя значения первого приближения Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения
Метод Гаусса-Зейделя. 1. Заготовим таблицу на новом листе Excel как показано на рис.2.4. 2.
В качестве нулевого приближения выберем нулевой вектор ![]() Рис.8 3. В ячейках В12:D12 запишем формулы для вычисления первого приближения, используя (2.9). Эти формулы имеют вид: B12=$E$6 + B11*$B$6 + C11*$C$6 + D11*$D$6, C12==$E$7 + B12*$B$7 + C11*$C$7 + D11*$D$7, D12==$E$8 + B12*$B$8 + C12*$C$8 + D11*$D$8. 4. В столбце Н сформируем вычисление M(k) , используя выражение, так, как это проделали в предыдущем примере Анализируя результаты, принимаем
Лабораторная работа №4 Численное интегрирование. Задание 1. Вычислить определенный интеграл по формуле средних прямоугольников, используя двойной просчет
Образец выполнения задания.
Вычислить определенный интеграл При Таблица 4 Значение интеграла определяем по формуле средних прямоугольников
тогда Аналогично находим значение интеграла при Таблица 5 Значение Задание 2. Вычислить определенный интеграл по формулам трапеций и Симпсона с шагом
Образец выполнения задания. Вычислить интеграл Таблица 6 Тогда по формуле трапеций приближенной значение интеграла Так как вторая формула более точная, то будем считать Лабораторная работа №7 Транспортная задача На 3-х цементных заводах производится цемент одной и той же марки в количествах соответственно 30, 40, 53 тонн. Цемент следует доставить на четыре завода ЖБК, потребляющих его соответственно в количествах 22, 35, 25, 41 тонн. Стоимости (у.е.) перевозок одной тонны продукта с i -го (i =1,2,3) завода на j -й (j =1,2,3,4) ЖБК приведены в таблице 2. Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной. Таблица 2
Задача о назначениях Имеются три бригады А1, А2, А3, каждая из которых может быть использована на каждом из трех видов работ с производительностью (в условных единицах), заданной в виде табл.5. Таблица 5
Требуется так распределить бригады по одной на каждую из работ, чтобы суммарная производительность всех бригад была максимальной. Распределительная задача Имеется три типа землеройных механизмов: экскаваторы, скреперы, бульдозеры, используемые на двух строительных объектах. Объем землеройных работ на первом строительном объекте равен 12 тыс.м3, на 2-м - 5 тыс.м3. Стоимость машино-смены работы 1-го механизма дана с учетом единовременных затрат на подготовительные работы (доставка, погрузка-разгрузка механизмов, прокладка дорог и проездов и пр.). Производительность i-го механизма на j-ом объекте указана в табл.12. Таблица12
Требуется так распределить механизмы по объектам, чтобы выполнить заданный объем работ с минимальными затратами. Исходные данные для решения задачи приведены в табл.12.
14. Задача оптимального планирования выпуска продукции Завод деревянных конструкций выпускает два основных типа конструкций: А - арки, В - балки (стоимостью 240 и 208 руб./м3 соответственно). Технологический процесс изготовления конструкций состоит из трех основных операций: подготовка пиломатериалов, запрессовка и распрессовка, окончательная обработка. Если рабочее время за год принять за 100%, то затраты времени на каждую операцию можно представить в виде табл.13.
Таблица 13
Следует учесть, что 2-я операция производится на разных прессах разными цехами. Определить оптимальный план выпуска конструкций за год по критерию максимальной прибыли, при условии, что конструкций типа В будет выпущено не более 60%. Лабораторная работа №1 Тема. Решение уравнений. Задание 1. Отделить корни графически и уточнить любой корень с точностью до 0,001 методом деления пополам. № 1. № 3. № 5. № 7. № 9. № 11. № 13. № 15. № 17. № 19. Образец выполнения задания. Найти один корень Перепишем уравнение в виде Рис. 1 Уточним корень на отрезке [1;2]. Для этого составим таблицу:
Таблица1 Длина последнего отрезка меньше 0,001, поэтому корень приближенно равен его середине, то есть
Задание 2. Отделить корни графически и уточнить с точностью до 0,001 больший корень обоих уравнений методами хорд и Ньютона. № 1. 1) № 2. 1) № 3. 1) № 4. 1) № 5. 1) № 6. 1) № 7. 1) № 8. 1) № 9. 1) № 10. 1) № 11. 1) № 12. 1) № 13. 1) № 14. 1) № 15. 1) № 16. 1) № 17. 1) № 18. 1) № 19. 1) № 20. 1) Образец выполнения задания. Найти один корень Перепишем уравнение в виде Рис. 2 Уточним корень на отрезке [0;1]. Определим начальную точку Метод хорд. В этом случае Таблица2 Так как | x 5 – x 4| = 0,0001 <0,001, то можно принять Метод касательных. Для этого метода справедливо Таблица 3 Так как | x 3 – x 2| = 0,0004 <0,001, то можно принять
Лабораторная работа №2 Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры, Метод Гаусса 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 2. Сделать выводы о корректности задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).
|