Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры,

Лабораторная работа №1

Тема. Решение уравнений.

Задание 1. Отделить корни графически и уточнить любой корень с точностью до 0,001 методом деления пополам.

№ 1. ; (кроме х =0) № 2. ;

№ 3. ; № 4. ;

№ 5. ; № 6. ;

№ 7. № 8.

№ 9. (кроме х =0) № 10.

№ 11. № 12.

№ 13. № 14.

№ 15. № 16. (кроме х =0)

№ 17. № 18.

№ 19. № 20.

Образец выполнения задания. Найти один корень .

Перепишем уравнение в виде и построим графики левой и правой частей в Excel, изменяя х от 0,5 до 3 с шагом 0,5. В первой строке вводим значения переменной, во второй и третьей – вычисляем значения функций. Используем инструмент «вставка – точечная» для построения графиков.

Рис. 1

Уточним корень на отрезке [1;2]. Для этого составим таблицу:

Таблица1

Длина последнего отрезка меньше 0,001, поэтому корень приближенно равен его середине, то есть

Задание 2. Отделить корни графически и уточнить с точностью до 0,001 больший корень обоих уравнений методами хорд и Ньютона.

№ 1. 1) 2)

№ 2. 1) 2)

№ 3. 1) 2)

№ 4. 1) 2)

№ 5. 1) 2)

№ 6. 1) 2)

№ 7. 1) 2)

№ 8. 1) 2)

№ 9. 1) 2)

№ 10. 1) 2)

№ 11. 1) 2)

№ 12. 1) 2)

№ 13. 1) 2)

№ 14. 1) 2)

№ 15. 1) 2)

№ 16. 1) 2)

№ 17. 1) 2)

№ 18. 1) 2)

№ 19. 1) 2)

№ 20. 1) 2)

Образец выполнения задания. Найти один корень .

Перепишем уравнение в виде и построим графики левой и правой частей в Excel, изменяя х от -2 до 2 с шагом 0,5. В первой строке вводим значения переменной, во второй и третьей – вычисляем значения функций. Используем инструмент «вставка – точечная» для построения графиков.

Рис. 2

Уточним корень на отрезке [0;1]. Определим начальную точку . В нашем случае , тогда , на исследуемом отрезке. Так как , , то , в ней совпадают знаки функции и второй производной.

Метод хорд. В этом случае , составим вспомогательную таблицу

Таблица2

Так как | x ₅ – x ₄| = 0,0001 <0,001, то можно принять с точностью .

Метод касательных. Для этого метода справедливо , начальная точка выбирается аналогично методу хорд, поэтому удобно воспользоваться следующей таблицей.

Таблица 3

Так как | x ₃ – x ₂| = 0,0004 <0,001, то можно принять с точностью .

Лабораторная работа №2

Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры,

Метод Гаусса

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) , вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы А методом исключения Гаусса. Проверить полученное решение СЛАУ, используя надстройку Excel поиск решения применительно к исходной системе , и найти обратную матрицу при помощи функции МОБР.

2. Сделать выводы о корректности задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).

Теоретические сведения

1.Система линейных алгебраических уравнений в общем случае имеет вид:

,

В некоторых случаях эту систему удобнее записывать в матричной форме:

,

где А - матрица системы, - вектор решения, - вектор свободных членов.

2. Система (1.1-1.2) имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной (detA¹0).

3. Матрицы А и В являются исходными данными и во многих случаях задаются приближенно. Встает вопрос, как погрешности исходных данных влияют на точность решения.

Говорят, задача плохо обусловлена, если она чувствительна к малым изменениям входящих в нее исходных данных. В противном случае – хорошо обусловлена.

Обусловленность является качественной характеристикой, хотя мы будем стараться оценить ее и количественно, используя величину меры обусловленности

.

4. Величина называется нормой матрицы и определяется по одной из 3-х формул:

;

;

.

6.Система (1.1-1.2) является хорошо обусловленной, а ее решение – устойчивым, если мера обусловленности близка единице.

7. Задача решения СЛАУ является корректной, если решение существует и единственно (detA¹0) и устойчиво относительно исходных данных (А и В), т.е. малым изменениям исходных данных соответствуют малые изменения решения задачи.

8. Метод Гаусса (метод последовательного исключения). Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных изсистемы уравнений. Процесс состоит из двух этапов: прямого и обратного ходов. В результате прямого хода система приводится к треугольному виду, а при выполнении обратного хода вычисляются все неизвестные.

Образец выполнения задания. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений

используя алгоритм метода Гаусса.

Введем расширенную матрицу системы, как показано на рис.3 в ячейки А3:D5.

Первый этап, приведение матрицы системы к треугольной.

1. Поделим элементы первой строки на а_{11 .}Для этого в ячейку А7 введем формулу А7=А3/A$3$ и скопируем ее вправо до конца строки.

2. Умножим элементы первой строки на (-а₂₁) и прибавим ко 2-ой строке. Для этого введем формулу А8=А7(-А$4$)+А4 и скопируем ее вправо до конца строки.

3. Умножим элементы первой строки на (- а₃₁ ) и прибавим к 3-ей строке. Для этого введем формулу А9=А7(-А$5$)+А5 и скопируем ее вправо до конца строки. Таким образом исключили неизвестное х₁ из 2-го и 3-го уравнений системы (смотри 1-й шаг рис.3).

4. Осталось исключить неизвестное х₂ из 3-го уравнения системы. Для этого реализуем описанный выше алгоритм для 2-ой и3-ей строк (смотри 2-й шаг рис.3).

На этом первый этап метода Гаусса, закончен, матрица системы приведена к треугольной.

Второй этап. Здесь последовательно найдем неизвестные, начиная с последней строки. Для этого в ячейки G2:G4 запишем формулы:

G4=D13/C13 (для вычисления x ₃);

G3=D12-C12∙G4 (для вычисления x₂);

G2=D11-C11∙G4-B11∙G3 (для вычисления x₁).

Найдем решение исходной системы, используя надстройку Поиск решения. Заготовим таблицу, как показано на рис.4.

Заготовим ячейки А7:С7, где будет сформировано решение системы (х₁, х₂, х₃). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, .

1. Введем коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5.

2. В столбец D введем выражения для вычисления левых частей исходной системы. Для этого в ячейке D 3 введем и скопируем вниз до конца таблицы формулу: D3=СУММПРОИЗВ (A3:C3;$A$7:$C$7).

3. В столбец Е запишем значения правых частей системы.

4. Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .

5. Зададим команду Данные\Поиск решения. В окне Параметры поиска решения (рис.5) в поле Изменяя ячейки переменных укажем блок $А$7:$С$7, а в поле Ограничения – $D$3:$D$5 = $E$3:$E$5. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения.

Рис. 5

6. Щелкнем на кнопке Найти решение.

Полученное решение системы х₁ =1; х₂ =–1 х₃ =2 записано в ячейках А7:С7, рис.4.

Для нахождения обратной матрицы, слева к исходной записываем единичную и аналогичными преобразованиями приводим левую часть к единичной матрице.

Для проверки используем функцию МОБР, для вывода всей обратной матрицы выделяем матрицу нужной размерности и нажимаем F 2, Ctrl+Shift+Enter.

Находим нормы прямой и обратной матрицы, а также число обусловленности.

Для проверки устойчивости придаем правым частям небольшие возмущения и находим решение системы при помощи надстройки Поиск решения.

Лабораторная работа №3

Метод Гаусса-Зейделя

Метод Гаусса-Зейделя представляет собой модификацию метода Якоби. Основная идеяметода заключается в том, что при вычислении (k +1)-ой итерации неизвестное вычисляется с учетом уже найденных значений

.

Проиллюстрируем метод для n=3. Пусть система линейных алгебраических уравнений уже приведена к нормальному виду:

Выбираем произвольное начальное приближение и подставляем в первое уравнение системы

Полученное первое приближение подставляем во второе уравнение системы (2.8)

Используя , находим из третьего уравнения

Этим заканчивается построение первой итерации

Используя значения первого приближения можно таким же способом построить следующие итерации. Итерацию с номером (k +1) можно представить следующим образом

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими. Критерий близости может быть задан так же, как и в методе Якоби.

Метод Гаусса-Зейделя.

1. Заготовим таблицу на новом листе Excel как показано на рис.2.4.

2.

Рис.8

3. В ячейках В12:D12 запишем формулы для вычисления первого приближения, используя (2.9). Эти формулы имеют вид:

B12=$E$6 + B11*$B$6 + C11*$C$6 + D11*$D$6,

C12==$E$7 + B12*$B$7 + C11*$C$7 + D11*$D$7,

D12==$E$8 + B12*$B$8 + C12*$C$8 + D11*$D$8.

4. В столбце Н сформируем вычисление M^(k) , используя выражение, так, как это проделали в предыдущем примере

Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с заданной точностью.

Лабораторная работа №4

Численное интегрирование.

Задание 1. Вычислить определенный интеграл по формуле средних прямоугольников, используя двойной просчет , .

№1. ,	№ 11. ,
№2. ,	№ 12. ,
№3. ,	№ 13. ,
№4. ,	№ 14. ,
№5. ,	№ 15. ,
№6. ,	№ 16. ,
№7. ,	№ 17. ,
№8. ,	№ 18. ,
№9. ,	№ 19. ,
№ 10. ,	№ 20. .

Образец выполнения задания.

Вычислить определенный интеграл .

При определим шаг и составим таблицу значений функции в серединах отрезков, оставляя 4 цифры после запятой; находим сумму значений функции.

Таблица 4

Значение интеграла определяем по формуле средних прямоугольников

,

тогда .

Аналогично находим значение интеграла при ,шаг .

Таблица 5

Значение . Так как второе значение более точное, то будем считать .

Задание 2. Вычислить определенный интеграл по формулам трапеций и Симпсона с шагом .

№1. ,	№ 11. ,
№2. ,	№ 12. ,
№3. ,	№ 13. ,
№4. ,	№ 14. ,
№5. ,	№ 15. ,
№6. ,	№ 16. ,
№7. ,	№ 17. ,
№8. ,	№ 18. ,
№9. ,	№ 19. ,
№ 10. ,	№ 20. .

Образец выполнения задания. Вычислить интеграл с шагом . Составим таблицы значений функции в точках деления и в серединах отрезков.

Таблица 6

Тогда по формуле трапеций приближенной значение интеграла По формуле Симпсона

Так как вторая формула более точная, то будем считать .

Лабораторная работа №7

Транспортная задача

На 3-х цементных заводах производится цемент одной и той же марки в количествах соответственно 30, 40, 53 тонн. Цемент следует доставить на четыре завода ЖБК, потребляющих его соответственно в количествах 22, 35, 25, 41 тонн. Стоимости (у.е.) перевозок одной тонны продукта с i -го (i =1,2,3) завода на j -й (j =1,2,3,4) ЖБК приведены в таблице 2.

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Таблица 2

Задача о назначениях

Имеются три бригады А1, А2, А3, каждая из которых может быть использована на каждом из трех видов работ с производительностью (в условных единицах), заданной в виде табл.5.

Таблица 5

Требуется так распределить бригады по одной на каждую из работ, чтобы суммарная производительность всех бригад была максимальной.

Распределительная задача

Имеется три типа землеройных механизмов: экскаваторы, скреперы, бульдозеры, используемые на двух строительных объектах.

Объем землеройных работ на первом строительном объекте равен 12 тыс.м3, на 2-м - 5 тыс.м3.

Стоимость машино-смены работы 1-го механизма дана с учетом единовременных затрат на подготовительные работы (доставка, погрузка-разгрузка механизмов, прокладка дорог и проездов и пр.). Производительность i-го механизма на j-ом объекте указана в табл.12.

Таблица12

Требуется так распределить механизмы по объектам, чтобы выполнить заданный объем работ с минимальными затратами. Исходные данные для решения задачи приведены в табл.12.

14. Задача оптимального планирования выпуска продукции

Завод деревянных конструкций выпускает два основных типа конструкций: А - арки, В - балки (стоимостью 240 и 208 руб./м³ соответственно). Технологический процесс изготовления конструкций состоит из трех основных операций: подготовка пиломатериалов, запрессовка и распрессовка, окончательная обработка. Если рабочее время за год принять за 100%, то затраты времени на каждую операцию можно представить в виде табл.13.

Таблица 13

Следует учесть, что 2-я операция производится на разных прессах разными цехами.

Определить оптимальный план выпуска конструкций за год по критерию максимальной прибыли, при условии, что конструкций типа В будет выпущено не более 60%.

Лабораторная работа №1

Тема. Решение уравнений.

Задание 1. Отделить корни графически и уточнить любой корень с точностью до 0,001 методом деления пополам.

№ 1. ; (кроме х =0) № 2. ;

№ 3. ; № 4. ;

№ 5. ; № 6. ;

№ 7. № 8.

№ 9. (кроме х =0) № 10.

№ 11. № 12.

№ 13. № 14.

№ 15. № 16. (кроме х =0)

№ 17. № 18.

№ 19. № 20.

Образец выполнения задания. Найти один корень .

Перепишем уравнение в виде и построим графики левой и правой частей в Excel, изменяя х от 0,5 до 3 с шагом 0,5. В первой строке вводим значения переменной, во второй и третьей – вычисляем значения функций. Используем инструмент «вставка – точечная» для построения графиков.

Рис. 1

Уточним корень на отрезке [1;2]. Для этого составим таблицу:

Таблица1

Длина последнего отрезка меньше 0,001, поэтому корень приближенно равен его середине, то есть

Задание 2. Отделить корни графически и уточнить с точностью до 0,001 больший корень обоих уравнений методами хорд и Ньютона.

№ 1. 1) 2)

№ 2. 1) 2)

№ 3. 1) 2)

№ 4. 1) 2)

№ 5. 1) 2)

№ 6. 1) 2)

№ 7. 1) 2)

№ 8. 1) 2)

№ 9. 1) 2)

№ 10. 1) 2)

№ 11. 1) 2)

№ 12. 1) 2)

№ 13. 1) 2)

№ 14. 1) 2)

№ 15. 1) 2)

№ 16. 1) 2)

№ 17. 1) 2)

№ 18. 1) 2)

№ 19. 1) 2)

№ 20. 1) 2)

Образец выполнения задания. Найти один корень .

Перепишем уравнение в виде и построим графики левой и правой частей в Excel, изменяя х от -2 до 2 с шагом 0,5. В первой строке вводим значения переменной, во второй и третьей – вычисляем значения функций. Используем инструмент «вставка – точечная» для построения графиков.

Рис. 2

Уточним корень на отрезке [0;1]. Определим начальную точку . В нашем случае , тогда , на исследуемом отрезке. Так как , , то , в ней совпадают знаки функции и второй производной.

Метод хорд. В этом случае , составим вспомогательную таблицу

Таблица2

Так как | x ₅ – x ₄| = 0,0001 <0,001, то можно принять с точностью .

Метод касательных. Для этого метода справедливо , начальная точка выбирается аналогично методу хорд, поэтому удобно воспользоваться следующей таблицей.

Таблица 3

Так как | x ₃ – x ₂| = 0,0004 <0,001, то можно принять с точностью .

Лабораторная работа №2

Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры,

Метод Гаусса

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) , вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы А методом исключения Гаусса. Проверить полученное решение СЛАУ, используя надстройку Excel поиск решения применительно к исходной системе , и найти обратную матрицу при помощи функции МОБР.

2. Сделать выводы о корректности задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).

1). 3,5 x 1 - 1,7 x 2 + 2,8 x 3 = 1,7, 5,7 x 1 + 3,3 x 2 + 1,3 x 3 = 2,1, 2,1 x 1 + 5,8 x 2 + 2,8 x 3 = 0,8.	2). 2,1 x 1 + 4,4 x 2 + 1,8 x 3 = 1,1, 0,7 x 1 - 2,8 x 2 + 3,9 x 3 = 0,7, 4,2 x 1 - 1,7 x 2 + 1,3 x 3 = 2,8.
3). 3,1 x 1 + 2,8 x 2 + 1,9 x 3 = 0, 1,9 x 1 + 3,1 x 2 + 2,1 x 3 = 2,1, 7,5 x 1 + 3,8 x 2 + 4,8 x 3 = 5,6.	4). 4,1 x 1 + 5,7 x 2 + 1,2 x 3 = 5,8, 0,8 x 1 + 1,1 x 2 - 2,8 x 3 = 6,7, 9,1 x 1 - 3,6 x 2 + 2,8 x 3 = 9,8.
5). 2,7 x 1 - 0,8 x 2 + 4,1 x 3 = 3,2, 1,1 x 1 + 3,7 x 2 + 1,8 x 3 = 5,7, 3,3 x 1 + 2,1 x 2 - 2,8 x 3 = 0,8.	6). 1,9 x 1 + 1,1 x 2 + 3,8 x 3 = 7,8, 7,6 x 1 + 5,8 x 2 - 4,7 x 3 = 10,1, 1,8 x 1 - 4,1 x 2 + 2,1 x 3 = 9,7.
7). 3,2 x 1 - 8,5 x 2 + 3,7 x 3 = 6,5, 0,5 x 1 + 0,34 x 2 +3,7 x Поделиться: Познавательные статьи:  Организация работы процедурного кабинета Статус республик в составе РФ Понятие финансов, их функции и особенности Сущность демографической политии 
	Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 398; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.49.19 (0.009 с.)