События. Классификация событий. Классическое определение вероятности

Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием.

Например:

Опыт	Событие
Подбрасывание монеты, монета падает	Герб на верхней стороне, цифра на верхней стороне
Стрельба по мишени	Попадание в определенную зону мишени, попадание в мишень, промах
Извлечение шара из ящика	Появление шара определенного цвета

 

События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, …

Очевидно, что разные события имеют разную степень возможности в тех опытах, в которых могут появиться.

По мере возможности события подразделяют на три типа: случайные, достоверные, невозможные.

 

Событие, достоверное в данном опыте	Событие, невозможное в данном опыте	Событие, случайное в данном опыте
обязательно происходит в этом опыте	не может произойти в этом опыте	может произойти, а может не произойти в этом опыте
В ящике находятся только голубые шары, событие «из ящика извлечен голубой шар» - достоверное	В ящике находятся только красные шары, событие «из ящика извлечен голубой шар» - невозможное	1. В ящике находятся голубые и красные шары, событие «из ящика извлечен голубой шар» - случайное; 2. Появление герба или цифры на верхней стороне монеты - случайное.

Замечание. Приведенные примеры свидетельствуют о том, что одно и то же событие в некотором опыте может быть достоверным, в другом – невозможным, в третьем – случайным. Говоря о достоверности, невозможности, случайности события, имеют в виду его достоверность, невозможность, случайность по отношению к данному опыту, т.е. к наличию определенного комплекса условий или действий.

По возможности совместного появления в одном и том же опыте события подразделяют на два типа: совместные и несовместные.

 

Несовместные события	Совместные события
Два события, которые не могут произойти при одном и том же испытании	Появление одного из событий не исключает появление другого
Опыт – выстрел по мишени; события «попадание» и «промах» несовместны	Опыт – подбрасывание двух монет, события «герб на верхней стороне первой монеты» и «герб на верхней стороне второй монеты» совместны

 

Несколько событий называют несовместными, если они попарно несовместны.

Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Другими словами, появление одного из них означает непоявление другого.

Если одно из противоположных событий обозначено А, то другое - .

Примеры противоположных событий:

 

Опыт	А
Подбрасывание монет	появление герба	появление цифры
Выстрел по мишени	Промах	Попадание в мишень
Подбрасывание игральной кости (кубика, на гранях которого записаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6)	Выпало 2 очка	Не выпало 2 очка, т.е. выпало 1 или 3, или 4, или 5, или 6 очков

 

Множество событий А₁, А₂, …, А_n называют полной группой событий, если

1) они попарно-несовместны;

2) появление одного и только одного события является достоверным событием.

Примеры полных групп событий

Опыт	Полная группа событий
Подбрасывание игральной кости	А1, А2, А3, А4, А5, А6 – полная группа (Аk – выпало k очков)
Подбрасывание монеты	Выпадение герба и выпадение цифры

 

События называются равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

Например, при подбрасывании монеты событие А (появление цифры) и событие В (появление герба) равновозможны, так как предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты (герб или цифра) окажется верхней. Аналогично, события А ₁, А ₂, А ₃, А ₄, А ₅, А ₆ равновозможны, так как куб имеет правильную форму, изготовлен из однородного материала, считается, что наличие цифр на гранях не влияет на то, какая из шести граней окажется верхней.

Каждое элементарное событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (элементарным событием, или шансом). Например, А ₁, А ₂, А ₃, А ₄, А ₅, А ₆ – элементарные исходы при подбрасывании кубика.

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами. Например, при подбрасывании игрального кубика элементарные исходы А ₂, А ₄, А ₆ являются благоприятствующими появлению события «выпало четное число очков».

Если опыт сводится к схеме случаев, то под вероятностью события А понимается отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев, другими словами относительная доля благоприятных случаев:

,

где Р(А) – вероятность события А; n – общее число случаев; m – число случаев, благоприятствующих событию А.

Так как число благоприятных случаев заключено между 0 и n (0 – для невозможного, а n для достоверного события), то вероятность события, вычисленная по формуле всегда есть правильная рациональная дробь, т.е. .

Замечание «Классическая формула» долгое время в литературе фигурировала как определение вероятности. В настоящее время при пояснении понятия вероятности обычно исходят из других принципов, непосредственно связывая понятие вероятности с эмпирическим понятием частоты; «классическая формула» сохраняется лишь как формула для непосредственного подсчета вероятностей, пригодная лишь тогда и только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев, т.е. обладает симметрией возможных исходов.

Задачи.

1. В урне находится два белых и три черных шара. Из урны наугад вынимают один шар. Требуется найти вероятность того, что этот шар будет белым.

2. Из урны наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары будут черными.

Решение.

1. Рассмотрим случайное событие А – «из урны вынут белый шар». Опыт, связанный с извлечением одного шара имеет 5 элементарных исходов, поскольку может быть извлечен любой из 5 имеющихся шаров. Следовательно, n = 5. Из указанных 5 исходов только два благоприятствуют появлению события А, т.е. m = 2. Используя «классическое» определение вероятности, получаем, что .

2. Рассмотрим случайное событие В – «из урны вынуто два черных шара». Опыт, связанный с извлечением двух шаров имеет n = исходов. Благоприятствуют появлению события А число исходов, равное m = = 3. Имеем: .