Понятие опыта и события. Понятие вероятности события.

Вопрос

Понятие опыта и события. Понятие вероятности события.

Наблюдаемые нами события можно разделить на 3 вида: достоверные события, невозможные и случайные.

Достоверное событие -событие, которое обязательно произойдет при выполнении определенной совокупности условий.

Невозможное событие -событие, которое заведомо не произойдет при выполнении определенной совокупности условий.

Случайное событие - всякий факт, который может произойти или не произойти при выполнении определенной совокупности условий.(А, В, С,D-обозначение событий)

 

Совокупность условийэто и есть испытание опыта /эксперимента

Изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий – это и есть предмет изучения теории вероятности.

 

Вероятность события А - называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

Р(А)=m/n, где m-число случаев, благоприятных событию А

n-общее число случаев

Отсюда можно вывести 3 следствия:

1) Вероятность достоверного события =1

Р(А)=m/n=n/n=1

2) Вероятность невозможного события =0

Р(А)=m/n=0/n=0

3) Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное от 0 до 1

0<m<n

0<m/n<1

0<P(A)<1

Вопрос

Виды событий (несовместные, равновозможные, единственно возможные, полная группа, противоположные)

Классификация событий:

- несовместные - событие, при наступлении одного из них исключает появление другого события в одном и том же испытании(бросание монеты, появление «орла» исключает появление «решки»)

- равновозможные - если в результате испытания, по условию симметричности ни одно из этих событий не является более возможным

-единственно возможные – если в результате испытания обязательно произойдет хотя бы одно из них

- полная группа – несколько событий образуют полную группу, если они несовместны и единственно возможные, т.е в результате испытания может произойти одно и только одно из этих событий (стрелок произвел выстрел по мишени: попал или промахнулся)

- противоположные - два события, из которых одно обязательно произойдет

Вопрос

Классическая вероятность и формула ее определения, условия ее применения

Вероятность события А - называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

Случай называется благоприятным событию А, если появление этого случая влечет за собой событие А; тогда вероятность события А -

Р(А)=m/n, где m-число случаев, благоприятных событию А

n-общее число случаев

Используется, когда необходимо определить количественное или числовое значение степени возможности появления того или иного события.

Отсюда можно вывести 3 следствия:

4) Вероятность достоверного события =1

Р(А)=m/n=n/n=1

5) Вероятность невозможного события =0

Р(А)=m/n=0/n=0

6) Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное от 0 до 1

0<m<n

0<m/n<1

0<P(A)<1

Вопрос

Что такое статистическая вероятность события? Ее св-ва и отличия от классической вероятности

Статистическая вероятность(или относительная частота) – отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу испытаний

w(A)=m/n n- общее число испытаний

m- число появлений события А в этих n испытаниях

 

Сопоставляя определения классической вероятности и относительной частоты:

- определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности

-определение относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически

-другими словами: вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта

 

Классическая вероятность предполагает схему случаев(конечное число событий). Не все задачи сводятся к схеме случаев. Для преодоления этих недостатков существует относительная частота

 

Длительность наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости

. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало(тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянно число есть вероятность появления события

Lim (nà∞) P {/w(A)-P(A)/≥£}à0

£-cколь угодно малое положительно число

Тогда говорят, что w(A) по вероятности стремится к Р(А)

Пример:

Число бросаний монеты n	Число появлений герба m	Относительная частота w(A)
		0,5069
12 000		0,5016
24 000		0,5005

Вопрос

Вопрос

Определение суммы и произведения событий

Сумма нескольких событий – событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. D = A + B + …

Произведение нескольких событий – событие, состоящее в наступлении всех этих событий. F = C · D · …

 

Вопрос

Вопрос

Что такое условная вероятность события? Как она вычисляется?

Условная вероятность событий – вероятность наступления событии А, вычисленную в предположении, что произошло событие В. Обозначается Р(A/B) P_B(A)

P(A/B)=P(AB)/P(B)

Для независимых событий(изменение события А не влияет на событие В)

1) P(A/B)=Р(А)

2) P(B/A)=P(B)

 

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Понятие независимых повторных испытаний. Формула Бернулли и ее доказательство

Пусть проводятся независимые испытания (такие, при которых вероятность появления события в каждом испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний). Далее, вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании постоянна и равна p(так считается при повторных испытаниях).Тогда вероятность того, что рассматриваемое событие появится ровно m раз при n испытаниях (безразлично, в каком порядке), равна

P_m,n=C_n^mP^mq^n-m

 

Для реализации схемы Бернулли необходимы два условия:
1) независимость проводимых испытаний;
2) p = const (постоянное значение вероятности появления события)

Вывод формулы Бернулли. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А наступит m раз и не наступит n-m раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна P^mq^n-m. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по m элементов, т. е. С_n^m. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления m раз события А в n испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

 

P_m,n=C_n^mP^mq^n-m

 

Вопрос

Как вычислить при независимых повторных испытаниях вероятность появления события менее К раз, более К раз, не менее К раз, не более К раз?

 

P_n(m<k)=P_n(0)+P_n(1)­­+…P_n(k-1)

P_n(m>k)=P_n(k+1)+P_n(k+2)­­+…P_n(n)

P_n(m≤k)=P_n(0)+P_n(1)­­+…P_n(k)

P_n(m≥k)=P_n(k)+P_n(k+1)­­+…P_n(n)

Вопрос

Что такое наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях. Как оно вычисляется?

Наивероятнейшее число успехов Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно.

 

Число m0 называют наивероятнейшим числом, если вероятность того, что событие наступило в этих испытаниях m₀ раз, превышает или по крайней мере не меньше вероятности остальных возможных исходов.

P_n(m₀)≥P_n(m) то m₀- наивероятнейшее число появления события А

 

Наивероятнейшее число m₀ появления события при n независимых испытаниях:

np-q≤m₀≤np+p, р - вероятность появления события при одном испытании.

Вопрос

В каких случаях при повторных независимых испытаниях используется формула Пуассона? Приведите расчетную формулу и условия ее применения

Если вероятность Р наступления события А в каждом испытании à0 (Pà0) при неограниченном увеличении n (nà∞), причем nPàλ, λ=сonst, то вероятность Р_m,_n того, что А произойдет m раз в n независимых испытаниях

Р_m,_n=λ^me^-λ/m! при условии что nP=λ≤10

Если при наличии схемы Бернулли число испытаний n велико, а вероятность наступления события p мала, то вместо формулы Бернулли используют формулу Пуассона

 

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Понятие опыта и события. Понятие вероятности события.

Наблюдаемые нами события можно разделить на 3 вида: достоверные события, невозможные и случайные.

Достоверное событие -событие, которое обязательно произойдет при выполнении определенной совокупности условий.

Невозможное событие -событие, которое заведомо не произойдет при выполнении определенной совокупности условий.

Случайное событие - всякий факт, который может произойти или не произойти при выполнении определенной совокупности условий.(А, В, С,D-обозначение событий)

 

Совокупность условийэто и есть испытание опыта /эксперимента

Изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий – это и есть предмет изучения теории вероятности.

 

Вероятность события А - называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

Р(А)=m/n, где m-число случаев, благоприятных событию А

n-общее число случаев

Отсюда можно вывести 3 следствия:

1) Вероятность достоверного события =1

Р(А)=m/n=n/n=1

2) Вероятность невозможного события =0

Р(А)=m/n=0/n=0

3) Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное от 0 до 1

0<m<n

0<m/n<1

0<P(A)<1

Вопрос