Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь
FAQ
Написать работу

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу

Предмет теории вероятностей.

↑

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Предмет теории вероятностей.

Используется 2 основных типа моделей:

1) Детерминированная: При повторении заданного опыта в неизменных условиях, событие А происходит всякий раз.

П1. Опыт: К проводнику сопротивлением R приложено напряжение U. А={течет ток I=U/R}.

2) Вероятностная: При повторении опыта в неизменных условиях событие А может произойти или нет. Такие события и опыт называют случайными.

П2. Подбрасывают монету. A={Выпадет «герб»}.

ТВ изучает случайные события и их числовые характеристики.

Статистическая вероятность.

Еще в древности заметили статистическую устойчивость случайных явлений: если случайный опыт повторяется многократно, то отношение числа m_n(A) появлений события А к числу n опытов приближается к некоторому числу P*(A). m_n(A)/n= P*(A), n – велико.

P*(A) – статистическая вероятность. Используется при составлении частотных словарей, разработке клавиатуры и т.д.

№2 Случайные события и связанные с ними понятия. Алгебраические операции над событиями.

Случайные события.

Случайный опыт – это создание заданного комплекса условий и наблюдение результата. Результат интерпретируется как случайное событие(исход).

Пространство элементарных исходов – мн-во простейших(неразложимых в рамках данного опыта на более простые) взаимоисключающих исходов так, что опыт всегда заканчивается появлением одного и только одного элементарного исхода .

Случайное событие – любое подмн-во пр-ва элем. исходов заданного случайного опыта. Если результат опыта , то событие А произошло.

Основные понятия связанные со случайными событиями:

1) Всё пр-во элементарных исходов в называется достоверным событием. Очевидно достоверное событие происходит в любом опыте.

2) Пустое множество Ǿ называется невозможным событием. Очевидно невозможное событие не происходит в опыте.

3) Суммой событий А и В называется событие А+В состоящее из элем исходов входящих в мн-во . Т.о. событие А+В состоит в том что произошло хотябы одно из событий А и В.

4) Произведение А и В это событие сост. из элементарных исходов входящих в мн-во . Т.о. произведение А и В состоит в том что А и В произошли одновременно.

5) Разность событий А и В – событие состоящее из элементарных исходов, входящих в мн-во А\В. Т.о. событие А произошло, а В нет.

6) Событие А влечет за собой В, если А – подмножество В(). Т.о. всякий раз, когда происходит А, происходит и В.

7) Событие состоит из , не входящих в А, называется противоположным А

8) События А и В называются несовместными если нет входяих в А и в В одновременно.

Св-ва:

1)Коммутативность:

А+В=В+А; АВ=ВА.

2)Ассоциативность:

(А+В)+С=А+(В+С); (АВ)С=А(ВС).

3)Дистрибутивность:

(А+В)С=АС+ВС; А+ВС=(А+В)(А+С).

№3 Классическое определение вероятности.

События равновероятные, если нет объективных оснований для того, чтобы, одно из них было более или менее вероятным чем другое.

Случайный опыт удовлетворяющий условиям:

а) конечно.

б) все элем. исходы равновозможны

называется классической схемой.

Пусть классическая схема, -число элементарных исходов, - число исходов благоприятствующих событию А. Тогда вероятность события А:

Р(А)= / - формула классической вероятности.

Св-ва:

1)Р(А)>0

3)Если А и В несовместны, (АВ= Ǿ), то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

№4 Геометрические вероятности

Пусть случайный опыт состоит в случайном выборе точки на прямой R¹или плоскости R²или n мерного пространства Rⁿ.

На прямой рассмотрим только мн-ва имеющие длину, на плоскости площадь, в R³-объем, в Rⁿ- обобщенный объем.

Длина, площадь, объем – мера множества .

Пусть случайная точка пропорциональна мере А (mes A) и не зависит от других обстоятельств. Такой случайный опыт называется геометрической схемой.

Пусть геометрическая схема, событие -измеримое мн-во. Тогда вероятностью события А называется число P(A)=mes(A)/mes()

П1. 2 судна должны подойти к причалу для разгрузки в течении суток. Одновременная разгрузка невозможна. Разгрузка любого из них длится 8 часов. С какиой вероятностью одно будет ожидать разгрузки другого?

х- время прихода однеого

у – время прихода другого

(х,у) в R²

={(х,у) | }

A = {(х,у) | |x-y| 1/3}

mes()=1, mes(A)=5/9;

P(A)=5/9

Cв-ва:

1)Р(А)

3)А и В несовместимы.

№5 Понятие об аксиоматической вероятности

Пусть событию А, связанному со случайным опытом сопоставлена P(A). Это означает, что на мн-ве всех событий F определена числовая функция P(A), .

Чтобы вместе с вероятностью событий А и можно было найти А+В, АВ, А-В, , , , Ǿ, нужно чтобы эти события входили в F, т.е. чтобы F было алгеброй событий.

Если конечное или счетное мн-во, то алгеброй событий F будет мн-во всех подмн-в в .

П1. А={ из 4х карточек 1,2,3 и 4 случайно выбирают одну}

Найдем F:

Пусть - множество элем. исходов, F – алгебра событий. Числова функция Р(А), определенная на F, называется вероятностью, если она подчиняется аксиомам:

1) Р(А) , (аксиома неотрицательности)

2) (аксиома нормировки)

3) Для и В , таких что АВ= Ǿ. Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (аксиома сложения)

2) - вероятность элементарного исхода

В П1 Р

№6 Св-ва вероятности

Из основных св-в вероятности:

1) Р(А)

3)АВ= Ǿ => Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Вытекают другие св-ва:

5) Р(Ǿ)=0

8)Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

№7 Условная вероятность и ее свойства. Теорема умножения.

Пусть в случайном опыте Т могут появиться события А и В. Если известно что В произошло то говорят об условной вероятности события А при условии В Р(А/В).

В произошло => реализуется один из N(B) элементарных исходов . Из N(AB) исходов благоприятствуют A

Опр. Пусть (,F,P) – вер. пространства, А, и , тогда усл.вероятностью А наз-тся число:

Замеч. 1)Аналогично, если :

2) Теорема умножения Вер-ть произведения событий равна вер-ти одного из них и умноженной на усл.вер-ть другой.

4)Усл вер-ть обладает всеми св-ми дрю вер-тей.

5) Усл. Вер-ть P(A/B) можно рассм.,как обычную вероятность, определенную на новом про-ве Эл. Исходов

6) Для n событий формула: обобщаеться

№8 Независимые события, их свойства. Независимость в совокупности.

Опр. А независимое событие от В, если P(A/B)=P(A)

Свойства:

1) Свойство независимости взаимно, т.е. P(B/A)=P(B)

Т.е. А и В взаимно независимы.

2) Если А и В независимы, то P(AB)=P(A)*P(B) верно и обратное:

Опр. События А1,A2,A3,…,An независимы в совокупности, если любое из них не зависит от каждого из остальных n от всех возможных произведений этих остальных.

Опр. События A1,A2,…,An независимы в совокупности если: P(A1,A2,…,An)=P(A1)*P(A2)…P(An)

Замечание Для независимости в совокупности недостаточно попарной независимости.

№9 Формула полной вероятности.

Пусть события H1,…,Hn могут произойти в случайном опыте Т. Эти события образуют полную группу событий, если H1+H2+…+Hn=

Если к тому же события {Hz} попарно несовместимы (Hi,Hj 0, i j), то они образуют полную группу несовместимых событий, т.е. в каждом опыте происходит одно и только одно из этих событий.

Теорема.

Пусть в случ опыте могут произойти события А,H1,..,Hn, причем {Hi} образуют полную группу несовместимых событий, то

A=A* =A(H1+…+Hn)=AH1+…+AHn

P(A)=P(AH1)+P(AH2)+…+P(AHn)=> теоре. Умножения

P(A)=P(H1)P(A/H1)+…+P(Hn)P(A/Hn)

№10 Формула Байеса

Теорема В условиях предыдущей теоремы

P(Hk/A)=(P(Hk)P(A/Hk))/P(A)

По теореме умножения P(A)*P(Hk/A)=P(A*Hk)=P(Hk)P(A/Hk) /: P(A)

P(Hk/A)=(P(Hk)P(A/Hk)/P(A))

№11 Схема Бернулли

Повторные испытания – это проведение n раз одного и тогоже случ опыта или проведение одновременное n одинаковых опытов.

Схема Бернулли – это случ опыт состоящий в n повторных испытаниях, причем

1) z исхода (А-успех, (не)А – неудача)

2) испытания независимы, т.е. P(A) не зависит от исходов в др. испытыниях

3) p и q=1-p не изм от пыта к опыту

Найдем вер-ть pn,m появления ровно m раз успеха в серии из т испытаний.

В силу независимости испытаний вер-ть каждого такого исхода равно Число таких элементарных исходов Потому:

Случайные велечины

Случайная величина = это числовая переменная, принимающая свои значения в зависимости от исхода некоторого случайного опыта

Опр. Пусть (,F,P) – вер. Пространство, соответствующее случ опыту Т. Числовая функция X=X(w), определенная на наз-тся случ величиной для числа x вещественного () мн-во x = { } принадлежит алгебре событий F.Полную инф-ю о случ величине ч содержит ее закон расп-я, позволяющий найти Верн-ть для события, связанного с x

Опр. Функцией распределения (Вер-тей) случ величины x наз функция: Fx(x)=P{X<x}

Св - ва Fx(x)

1 P{a<=x<b}=Fx(b)-Fx(a)

Пусть есть события {x<b},{x<a},{a<=x<=b}

{x<b}={x<a}+{a<=x<=b}

2 P{a<=x<=b}=Fx(b+0)-Fx(a)

3 P{a<x<b}= Fx(b)-Fx(a+0)

4 P{a<x<=b}=Fx(b+0)-Fx(a)

5 P{x=a} = Fx(a+0)-Fx(a)

Другие свойства

1 Fx(x) не убыв функция

2 0<=Fx(x)<=1

3 Fx(- )=0, Fx(+ )=1

4 Fx(x) в t точках a ГR непр слева

№13 Дискретная случайная величина

Опр Случайная величина X, мн-во значений которой конечно или счетно называеться случайной величиной дискретного типа (СВДТ)

Закон распределения СВДТ описываеться с помощью Fx, но удобнее представлять в виде ряда распределений

Fx(x)=P{X<x}=

Очевидно что сумма =1

Св-ва Fx(x) СВДТ:

а) кусочно постоянная

б) Fx(x)=0 при x<x1

в) в точка xi терпит разрыв 1-го рода

№14 Биноминальное распределение

Дискретная X имеет бин распределение с параметрами n, p(X~B(n,p)), если X принимает 0,1,…,n с Вер-мя p(n,k)= P{X=k}=

Очевидно B(n,p) описывает случ число успехов в серии n испытаний по схеме Бернулли с вер-тью успеха p.

Опр. Пусть X-CВДТ с рядом расп-й причем числовой ряд сх-ся, тогда m=M[x]= наз-ся математическим ожиданием (m-ср.знач.X)

Для бин распр-я:

X= , где Xk 0 1

P q p

M[x]=

Дисперсия B(n,p):

D[X]=

№15 Распределение Пуассона

Теорема Пуассона

Пусть n->бесконечность и p->0 так что np= =const, тогда

Случайная величина X со знач 0,1,2,…,k и вер-ми pk=p{X=k}= , >0 имеем распр-е Пуассона с пар (X~Pn())

З-и Pn() описывает явления с большим числом испытаний и малой вер-тью успеха (з-н редких явлений)

Мат ожидание:

Дисперсия: Dx=

Непр. Случайная. Величина.

Опр. X наз-ся непр, если неотриц функция Fx(x)(функция плотности расп-я), так что:

Fx(x)=P{X<x}=

Св-ва fx(x):

1 P{a<=X<b}=

2 для любого a принадлежащего ГR P{X=a}=0

3 fx(x)>=0

4 (условие нормировки

5 В точках непр-ти: fx(x)=F’x(x)

№17 Нормальный закон распределения

Непр случайная величина X распределена по нормальному з-ну распр-я с параметрами m,t(X~N(m,t)) если ее функция плотности имеет вид

Распределение N(0,1) называеться стандартизированным нормальным:

Ф(x)= -функция Лапласа

Благодаря св-ву Ф(-x)=(-Ф(x)), x>=0 в таблицу можно приводить значения Ф(x) только для x>=0

Математическое ожидание

M[x]= -> M[x]=m

Дисперсия

D[x]=

Найдем для x~N(m, ) P{a<x<b}

P{a<x<b}=

В частном случае P{/X-m/<l}=2Ф(l/ )-1

Метод моментов.

Пусть з-н распределения интервальной совокупности Х известен с точностью до параметров . Выберем m каких-либо начальных и центральных моментов , найдем теоретически их зависимость от

и приравняем эти зависимости к соответствующим выборочным моментам

Получим систему m уравнений, для нахождения оценок:

Пример. Пусть (равномерное распределение)

Найти ММ оценки параметров а и b:

Находим:

Общее: и для 47 и 48:

Пусть неизвестная функция генеральной совокупности зависит от некоторого параметра . Нужно по наблюдениям оценить параметр. Для построения оценок используются статистики – функции от выборочных значений.

Примеры статистик. .

Эта оценка .

Будет рассматриваться, как приближенное значение параметра . Замечание. Как правило, для оценки параметра можно использовать несколько статистик, получая при этом различные значения параметра . Как измерить «близость» оценки к истинному значению ? Как определить качество оценки? Комментарий: Качество оценки определяется не по одной конкретной выборке, а по всему мыслимому набору конкретных выборок, т.е. по случайному выборочному вектору , поэтому для установления качества полученных оценок моментов , следует во всех этих формулах заменить конкретные выборочные значения на СВ X_i.

; ; .

Качество оценки устанавливают, проверяя, выполняются ли следующие три свойства (требования).Требования, предъявляемые к точечным оценкам:

1. Несмещенность, т.е. .

Это свойство желательно, но не обязательно. Часто полученная оценка бывает существенной, но ее можно поправить так, что она станет несмещенной.

Иногда оценка бывает смещенной, но асимптотически несмещенной, т.е. .

2. Состоятельность, т.е. .

Это свойство является обязательным. Несостоятельные оценки не используются.

3. Эффективность.

а) Если оценки и – несмещенные, то и .

Если , то оценка более эффективна, чем .

б) Если оценки и – смещенные, тогда и .

Если , то оценка более эффективная, чем .

Где – средний квадрат отклонения оценки.

Рассмотрим использование этих свойств на примерах выбора оценок МО и дисперсии:

48. Выборочная дисперсия Докажем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой для дисперсии генеральной совокупности.

Выполним следующие преобразования

; .

Найдем МО для дисперсии:

МО не совпадает с s ², а отличается на –s²/n – смещение. Таким образом эта оценка занимает в среднем истинное значение дисперсии на величину s²/n, правда это смещение сходит на нет при n ® ¥.

Чтобы устранить это смещение надо «исправить» дисперсию.

;

Можно доказать, что статистика S² является и состоятельной оценкой для дисперсии генеральной совокупности. Замечание. К сожалению, на практике при оценке параметров не всегда оказывается возможным одновременное выполнение требований: несмещенности, эффективности и состоятельности.

49. Выборочное среднее: является несмещенной и состоятельной оценкой МО генеральной совокупности (X₁,…, X_n), причем каждое X_i совпадает с m и s ².

а) Несмещенность. По определению выборочного вектора

, причем X_i – независимые в совокупности СВ, тогда вычислим

M[X^сред]=M[(1/n)åX_i]=(1/n)M[åX_i]=

(1/n)åM[X_i]=(1/n)nm g.

D[X^сред]=D[(1/n)åX_i]=(1/n²)D[åX_i]=

(1/n²)åD[X_i]=(1/n)ns²=s²/n

б) Состоятельность Воспользуемся неравенством Чебышева:

Применим это неравенство к

При n ®¥ ,что и доказывает состоятельность .

Ошибки 1 и 2 рода

Статистическое решение может быть ошибочным. При этом различают ошибки I-го и II-го родов. Опр. Ошибкой первого рода называется ошибка, состоящая в том, что гипотеза Н₀ отклоняется, когда Н₀ – верна. Вероятность P{ZÎV_kïH₀}=a.. Опр Ошибкой второго рода называется ошибка, состоящая в том, что принимается гипотеза Н₀, но в действительности верна альтернативная гипотеза Н₁. Вероятность ошибки второго рода при условии, что гипотеза Н₁ – простая, P{ZÎV\V_kïH₁}=b. Проверка статистических гипотез и доверительных интервалов.Проверка гипотез с использованием критерия значимости может быть проведена на основе доверительных интервалов. При этом одностороннему критерию значимости будет соответствовать односторонний доверительный интервал, а двустороннему критерию значимости будет соответствовать, двусторонний доверительный интервал. Гипотеза Н₀ – принимается, если значение q₀ накрывается доверительным интервалом, иначе отклоняется.

57. Критерий и его применение.

Критерий применяется в частности для проверки гипотез о виде распределения генеральной совокупности.

Процедура применения критерия для проверки гипотезы H₀, утверждающей, что СВ Х имеет закон распределения состоит из следующих этапов.

Этапы:

1. По выборке найти оценки неизвестных параметров предполагаемого закона .

2. Если Х–СВДТ – определить частоты , i = 1, 2, …, r, с которым каждое значение встречается в выборке.

Если Х–СВНТ – разбить множество значений на r – непересекающихся интервалов и попавших в каждый из этих интервалов .

3. Х–СВДТ вычислить .

Х–СВНТ вычислить .

4. .

5. Принять статистическое решение.

– гипотеза Н₀ – принимается.

– гипотеза Н₀ – отклоняется.

e – количество оцениваемых параметров.

Малочисленные частоты надо будет объединять.

Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.

n = 200

А;

№	(x_i _-1, x_i)	n_i
	2 – 4		a =0,05
	4 – 6
	6 – 8
	8 – 10
	10 – 12
	12 – 14
	14 – 16
	16 – 18
	18 – 20
	20 – 22


	17,3	0,79
		0,8

k = 10 – 2 – 1 = 7

– нет основания отвергать гипотезу о том, что выборка взята из генеральной совокупности и имеет равномерное распределение.