Характеристическая функция случайной величины, её свойства.

 

27. Характеристические функции биноминального, пуассоновского и нормального распределений вероятности.

Биномиальное распределение в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.

 

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Распределение Пуассона играет ключевую роль в Теории массового обслуживания.

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний

 

№28 Композиционая устойчивость

Опр.: Пусть X1 и Х2 распределены по одному и тому же закону (возможно с разными параметрами) и независимы. Если при этом Х1+Х2 распределена по тому же закону, то говорят, что данный закон композиционно устойчив.

П1: , и Х1,Х2 независимы

• , . Т.к. Х1 и Х2 независимы: => •

Т.е. при фиксированном значении p з-н B(n,p) композиционно устойчив.

П2: ,

• , . Т.к. Х1 и Х2 независимы: => •

П3: , и Х1,Х2 независимы

• , => •

 

№31 Ковариация двух случайных величин:

Опр: Ковариацией Х и Y называется число (если ):

сov[X,Y] = M[(X-M[X])(Y-M[Y])]= M[Ẋ,Ẏ].

Св-ва:

1) сov[X,Y] = сov[Y,X]

2) сov[X,X] = D[X]

3) сov[X,Y1+Y2] = сov[X,Y1] + сov[X,Y2]

4) сov[C*X,Y]= C* сov[X,Y]

5) D[X+Y]=D[X] + D[Y] + 2 сov[X,Y]

6) |сov[X,Y]| ≤

• 0≤ D[tX+Y] = t^2*D[X] + D[Y] + 2t*cov[X,Y]

= 4 (сov[X,Y])^2 – 4* D[X]*D[Y] => |сov[X,Y]| ≤ •

 

№32 Коэффициент корреляциии.

Опр: Коэффициентом корреляции называется число:

Св-ва:

1)

2) Если X и Y независимы => (обратное неверно)

•cov[X,Y]=M[XY] – M[X]M[Y] = |тк Х и Y независимы|= M[X]M[Y] – M[X]M[Y] =0 => •

3) Если Y=aX+b, то

• Пусть M[X] = m, D[X]= тогда M[Y] = am+b, D[Y]=

cov[X,Y] = M[(X-m)(ax+b – (am+b))] = a* M[(X-m)^2] =

•

Замеч: Если X и Y независимы, то . Если Х и Y лин. зависимы . Поэтому используется в качестве меры линейной зависимости Х и Y. Если – зависимость слабая. Если - зависимость сильная. Если - то при росте одной случайной величины, другая в среднем растет.

№33 Распределения

Опр: Пусть Xi – независимые случайные величины, . Тогда случайная величина имеет распределение («хи-квадрат») с n степенями свободы -

Св-ва:

1) M[Y]=n; D[Y]=2n

2) Рисуем графики (оси: f (x) и ось «х»)...n2>n1 хотя n2 более пологий и лежит ниже n1

 

Опр: Пусть случ. величины и независимы. Тогда случ. величина Y распределена по закону Стьюдента: с n степенями свободы. .

1) Рисуем графики (оси: St (x) и ось «х»)...n1>n2 - n2 более пологий и лежит ниже n1

2) При St(0,1) приближается к N(0,1)

 

Опр: Пусть и - независимые случайные величины. Тогда распределена по закону Фишера со степенями свободы n1 и n2

Св-во: Пусть Fn1,n2,p – квантиль распределения F(n1,n2) порядка p, тогда Fn1,n2,(1-p) = 1/ Fn1,n2,p

 

№34 Неравенства Чебышева

Теорема 1 (1ое неравенство Чебышева):

Пусть Х – случайная величина, . Тогда

• Рассмотрим случайную величину

Очевидно, или ;

•

Теорема 2 (2ое неравенство Чебышева):

Пусть Х-случайная величина, , . Тогда

• Рассмотрим непр. Х:

•

 

№35 Закон больших чисел(теорема Маркова):
Опр: Говорят, что последовательность случ. величин сходится по вероятности к числу a (), если (или )

Теорема Маркова:

Пусть последовательность случ величин удовлетворяет условиям: и . Тогда , т.е. .

•Обозначим , , . Применяем второе неравенство Чебышева:

•

 

№36 Следствия из закона больших чисел

1) Теорема Чебышева

Пусть – последовательность независимых или попарно некоррелированных случ. величин(*).: и . Тогда Тогда

2) Пусть - последовательность одинаково распр. случ. величин, удовл. условию (*).

, . Тогда или

3) Пусть , т.е - число успехов в серии n испытаний в схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Тогда , т.е

•

Xk
p	q	p

по следствию (2)•

 

№37 Центральная предельная теорема

Опр: Пусть - последовательность случайных величин. Говорят, что случайная величина имеет асимптотическое нормальное распределение с параметрами при , если для . - функция Лапласа. Обозн: .

Теорема:

Пусть последовательность удовлетворяет условиям:

1) - независимы.

2) - одинаково распределены

3) ,

Тогда для справедливо .

Замечания:

1)При достаточно больших n - , т.е. сумма большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному.

2) Условие (2) не является принципиальным. Если , , то при некоторых требованиях вместо условия (3) при больших n имеем:

, т.е. и в этом случае сумма достаточно большого числа случайных величин распределена приблизительно нормально.