Свойства статистических оценок

Для оценки одного и того же параметра можно построить, исходя из выборки различные оценки. Например, чтобы оценить математическое ожидание , можно рассматривать либо среднее арифметическое из выборочных данных, либо полусумму наибольшего и наименьшего наблюдений, либо какую-нибудь другую функцию от выборки. В связи с этим возникает вопрос о требованиях, которые следует предъявлять к оценкам параметров распределения, чтобы они были в каком-то определенном смысле наилучшими. Эти требования выражаются следующими свойствами оценок: несмещенностью, состоятельностью и эффективностью.

Всякая оценка неизвестного параметра по выборке является функцией от выборочных данных . Величины можно рассматривать как случайные величины. Поэтому и оценка является случайной величиной. В этой связи, можно говорить о распределении и числовых характеристиках как выборочных данных, так и оценок.

Поскольку наблюдения над случайным признаком Х предполагаются независимыми, то их результаты , рассматриваемые как случайные величины, будут независимыми и одинаково распределенными со случайной величиной Х. Все числовые характеристики случайных величин и Х совпадают. В частности,

,

.

Оценка параметра называется несмещенной, если математическое ожидание оценки совпадает с оцениваемым параметром :

.

В противном случае оценка называется смещенной. Условие несмещенности также называют условием отсутствия систематических ошибок, и его смысл состоит в том, что при многократном использовании вместо параметра его оценки среднее значение приближения равно нулю.

Если оценка является смещенной, то, вычислив ее математическое ожидание и введя поправочный коэффициент, можно получить несмещенную оценку.

Докажем, что несмещенной оценкой генеральной (теоретической) средней является выборочная средняя .

В самом деле, в силу свойств математического ожидания

.

Теперь рассмотрим выборочную дисперсию

Таким образом, где .

Так как (i = 1, 2, …, k) и , то по свойствам математического ожидания и дисперсии получаем

.

В силу независимости и равенства имеем

.

Подставляя выражение для в выражение для , получаем

.

Таким образом, выборочная дисперсия является смещенной оценкой для теоретической (генеральной) дисперсии .

Несмещенной оценкой теоретической дисперсии является величина

,

называемая исправленной выборочной дисперсией.

Докажем, что если известна генеральная средняя а, то несмещенной оценкой теоретической дисперсии является величина

.

В самом деле, используя свойства математического ожидания, определение дисперсии, равенства и , получим

.

 

Оценка параметра называется состоятельной, если с ростом объема выборки n она сходится по вероятности к оцениваемому параметру :

при любом сколь угодно малом .

 

Имеют место следующие факты:

1. Выборочная средняя является состоятельной оценкой теоретической средней , поскольку согласно закону больших чисел среднее арифметическое n независимых одинаково распределенных случайных величин сходится по вероятности при к их общему математическому ожиданию :

;

1. При известной теоретической средней выборочная дисперсия является состоятельной оценкой теоретической дисперсии . Действительно, согласно закону больших чисел, среднее арифметическое n независимых одинаково распределенных случайных величин сходится по вероятности при к их общему математическому ожиданию :

;

Требование состоятельности оценки является по существу минимальным требованием, которое обычно предъявляется к оценкам. Условие состоятельности представляется необходимым для того, чтобы оценка имела практический смысл, так как в противном случае увеличение объема исходной информации не будет приближать нас к оцениваемой величине.

Представим себе, что мы имеем две несмещенные и состоятельные оценки и неизвестного параметра . Разумеется, мы хотели бы выбрать ту из них, которая ближе к параметру . Поскольку величины и случайные, то не приходится говорить об обычной мере «близости» и к : случайные величины и характеризуются множеством возможных значений. Для того, чтобы оценка была возможна ближе к параметру , необходимо, чтобы разброс значений величины около был возможно меньшим. Наиболее удобной и распространенной мерой разброса служит математическое ожидание , совпадающая для несмещенных оценок (для которых ) с дисперсией .

Оценка параметра называется более эффективной, чем , если . Для несмещенных оценок и последнее неравенство перепишется в виде . В силу сказанного выше наилучшей оценкой параметра среди всех несмещенных оценок является та из них, которая обладает минимальной дисперсией. Такая оценка называется эффективной.

 

Контрольные вопросы

 

1. В чем состоит разница в понятиях: выборочная характеристика и теоретическая характеристика?

2. Что такое точечная оценка параметра распределения?

3. Как определяется выборочная средняя?

4. Что характеризует выборочная средняя?

5. Как определяется выборочная дисперсия?

6. Что характеризует выборочная дисперсия?

7. Какие требования предъявляются к оценкам параметров?

8. Как определяется несмещенная статистическая оценка?

9. Что является несмещенной оценкой для: а) теоретической (генеральной) средней; б) теоретической (генеральной) дисперсии?

10. Как определяется состоятельная статистическая оценка?

11. Как определяется эффективная статистическая оценка?

 

Контрольные задания

 

1. В результате 10 измерений длины стержня одним прибором получены следующие результаты (в мм): 100, 95, 103, 94, 102, 98, 95, 105, 106, 96. Найти оценки: а) длины стрежня; б) дисперсии и среднего квадратического отклонения ошибок прибора. Предполагается, что среднее значение результатов измерений примерно совпадает с истинной длиной стрежня.

2. Даны результаты 10 независимых исследований одной и той же величины прибором, не имеющим систематических ошибок (в мм): 369, 378, 420, 385, 401, 372, 383, 405, 370, 415. Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, если истинная длина измеряемой величины: а) известна и равна 375 мм; б) неизвестна.