Дискретная случайная величина

Закон распределения дискретной случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины – это таблица, состоящая из двух строк. Первая указывает возможные значения случайной величины, а вторая – их вероятности.

 

. (2.1)

 

Поскольку в каждом испытании случайная величина принимает ровно одно из возможных значений, то события , ,…, образуют полную группу, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

 

 

Если множество возможных значений дискретной случайной величины Х бесконечно, то ряд сходится и его сумма равна единице:

 

Пример 1. В денежной лотерее разыгрываются 100 билетов. Один выигрыш – в 200 руб., два выигрыша – в 100 руб. и 10 выигрышей – по 10 руб. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет по цене 5 руб.

Решение. Пусть случайная величинаХ – чистый выигрышучастника лотереи. Возможные значения , , , . Соответствующие им вероятности равны:

 

; ; ;

.

 

Таким образом, искомый закон распределения имеет вид

 

.

Пример 2. Пакет из 8 документов содержит 5 правильно оформленных документов. Наугад отбирают 3 документа. Составить закон распределения случайной величины Х – числа правильно оформленных документовсреди трех отобранных.

Решение. Случайная величина Х может принимать четыре возможных значения: 0, 1, 2, 3. Вероятность того, что правильно оформлены m документов среди трех отобранных, определяется формулой

 

, где .

 

Варьируя значения от 0 до 3, получаем искомое распределение:

 

.

 

Пример 3. Вероятностный прогноз для величины Х – процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течение шести месяцев, имеет закон распределения

 

.

 

Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 36% годовых.

Решение. Прирост на банковском депозите при условии 3% в месяц (т. к. годовой – 36%) составит через шесть месяцев

 

.

 

Вероятность того, что покупка акций выгоднее банковского депозита, определяется суммой вероятностей, соответствующих более высокому росту курса акций:

 

,

 

т. е. в 60% случаев покупка акций более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит.

Числовые характеристики дискретной случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, в ряде случаев при решении практических задач достаточно знать числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и др.), которые дают некоторое приближенное описание случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

 

Пусть с испытанием связана дискретная случайная величина Х с законом распределения

 

.

 

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма всех произведений её возможных значений на их вероятности:

 

(2.2)

 

Отсюда следует, что математическое ожидание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина, которая характеризует среднее значение случайной величины с учетом не только её возможных значений, но и их вероятностей.

Например, в примере 1 п. 2.2.1

 

 

,

 

т. е. среднеожидаемый чистый выигрыш участника лотереи равен 0.

 

Пример. Мишень разбита на восемь секторов и установлена так, что может вращаться вокруг своей оси. При достаточно большой скорости вращения стрелок не может различать цифры и стреляет наугад. При попадании в сектор с номером 1 стрелок выигрывает один рубль, в сектор с номером 2 – 2 руб. и т. д. Стоит ли участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 5 руб.?

Решение. Поскольку мишень вращается, то способности стрелка не имеют никакого значения, т. е. попадание в любой сектор равновозможное. Возможный выигрыш – случайная величина, обозначим её Х. Составим закон распределения этой величины:

 

.

 

Вычислим среднеожидаемый выигрыш:

 

.

Так как среднеожидаемый выигрыш в 4,5 руб. меньше платы за выстрел 5 руб., то стрелять много раз явно невыгодно. На основании подобных расчетов организуются различные азартные игры, приводящие игроков к разорению.