Формула Бернулли и Пуассона.

Формула Бернулли и Пуассона.

Рассмотрим событие А, кот. может наступить с вероят-тью р в каждом из n испытаний. При чем вероят-ть наступления события А не зависит от его наступления в предыдущих испытаниях. Такие испытания принято называть независимыми.

Теорема Бернулли. Если вероят-ть наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероят-ть того, что событие А наступит m раз в серии из n независимых испытаний равна:

, (1-p) = q;

Док-во: n=3 m=2 В -в 3-ех независ. испытаниях событие А наступило 2 раза. А₁ -событие А наст. в 1-ом испытании; А₂ -во 2-ом испытании; А₃ -в 3-ем испытании.

По условию

Теорема Пуассона. Если вероят-ть p наступления события А в каждом испытании постоянна и стремится к 0 при неограниченном увеличении числа испытаний . При чем , то вероят-ть того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях равна: ;

Док-во: Пусть даны вер-ть наступления события А в одном испытании р и число независ. испытаний n. Обозначим . Откуда . Подставим в формулу Бернулли:

При достаточно большом n и сравнительно небольшом m, все скобки, за искл. предпослед, можно принять равным единице, т.е.

Учитывая то, что n достаточно велико, правую часть можно рассмотреть при , т.е. найти предел.

.Получим

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема. Если вероят-ть р наступления события А вкаждом испытании постоянна и отлично от 0 и 1, то вероят-ть того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе испытаний

, где

;

Интегральная теорема. Если вероят-ть р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероят-ть того, что число m наступления события A заключено в пределах [a;b] при достаточно большом числе независимых испытаний

,

где ;

; ;

Теорема Муавра-Лапласа применима для случая, когда

 

11. Способы задания закона распред-ния дискретных СВ. Их св-ва.

Случайной наз. величина, кот. в рез-те испытания принимает то или иное значение, заранее неизвестно какое именно.

Различают дискретные и непрерывные СВ.

СВ наз. дискретной, еслиона принимает изолированные друг от друга возможные значения, число кот. может быть как конечным, так и бесконечным.

Ряд распред-ния дискретной СВ – это табл., состоящая из 2-ух строк, в одной из кот. указаны возможные значенияуказанной величины, во 2-ой – соответствующие им вероятности.

События образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей будет равна 1.

Ф-ия распределения СВ обозначается F(x). Наз. вероят-ть того, чтоСВ Х принимает значение находящееся левее х.

Св-ва: 1) F(x) – неубывающая ф-ия, т.е. х₂ > x₁ F(x₂) > F(x₁);

2) F(- )=0; 3) F()=1;

 

12. Способы задания закона распред-ния непрерывных СВ. Св-ва.

Случайной наз. величина, кот. в рез-те испытания принимает то или иное значение, заранее неизвестно какое именно.

СВ наз. непрерывной, если её закон распределения можно представить в виде непрерывной ф-ии.

Закон распред-ния непрерыв. СВ дается в виде ф-ии распред-ния F(x) и плотности распред-ния f(x). F(x) непрерыв. СВ обладает св-вом непрерывности. f(x) – это производная от ф-ии рапред-ния F(x).

Св-ва: 1) , x R (для любых х принадлежащих R); 2) f(- ) = f()=0; 3)

Ф-ию распред-ния непрерыв. СВ можно опред-ть по формуле:

 

Закон больших чисел. Неравенство Маркова.

В узком смысле закон больших чисел – это ряд теорем, в каждой из кот. устанавливается при тех или иных условиях факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некот. пост. величинам.

В широком смысле – это некот. общие принципы, согласно кот. совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к рез-ту почти независящему от случая, т.е. при большом числе СВ их средний рез-т перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Неравенство Маркова: Если СВ Х принимает только неотриц. значения и имеет мат. ожидание М_х, то для любого числа А > 0 выполняется неравенство:

;

Док-во: Х=(x₁,x₂…x_n) P(X=x _i)=p _i; i= . A>0

Выберем, что i=

Заменив возможное значение х_k+1, x_k+2…x_n на А>0 в послед. неравенстве, то получаем более строгое неравенство, т.е.

Важнейшей задачей выборочного метода явл. оценка параметров (характер-ик) генеральной совокуп-ти по данным выборки.

 

Точечная оценка параметров распред-ия. Требования к ф-иям выборки.

Точечной оценкой (тэта)– параметр распред-ия наз. всякую ф-ию рез-тов наблюдений над признаком х, с помощью кот. судят о значении параметра .

Т.к. элементы выборки носят случайный характер, следовательно и оценка параметра явл. С.В. Для оценки одного и того же параметра распред-ия можно придумать несколько ф-ий выборки . Кач-во используемой ф-ии выборки можно оценить не по отдельным её значениям, а лишь по распред-ию её значений в большой серии испытаний, т.е. по выборочному распред-ию оценки параметра распред-ия.

К наиболее осн. св-вам оценок параметров распред-ия отн-ся: св-ванесмещенности; состоятельности и эффективности.

Оценка наз. несмещенной если её мат. ожидание равно оцениваемому параметру.

Оценка наз. эффективной, если она обладает мин. дисперсией среди всех возм. несмещенных точек.

Оценка наз. состоятельной, если она сходится по вер-ти к значению параметра , т.е. выполняется условие для любого . Выполнение этого условия означает, что с увелич. Объема выборки возрастает наша уверенность в малом по абсолют. величине отклонении оценки от истинного значения параметра .

Основные понятия математической статистики.

Опр. Мн-во всех допустимых значений признака Х, обеспечивающие возмож-ть получения его закона распред-ия и всех числ. характер-к с исчерпывающей точностью наз. генеральной совокуп-тью.

Опр. Ограниченный объем данных ген. совокуп-ти наз. выборкой

Опр. Рез-ты рассчетов, полученные по огранич. Объему исходных данных содержит элемент неопред-ти, при этом появл. Различ. Предложения отн-но их истинных значений. Такие предложения наз. стат. гипотизами.

Виды выборки: 1)Повторная – каждый отобранный объект перед выбором след. возвращается в ген. совок-ть; 2) Бесповторная – отобранный объект в ген. совок-ть не возвращается.

Замечание. Для того, чтобы по исследованию выборки можно было сделать выводы о поведении интересующего нас признака ген. совокуп-ти, нужно, чтобы выборка правильно представляла пропорции ген. совок-ти, т.е. была репрезентативной (представительной). Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем для любого объекта вер-ть попасть в выборку одинакова.

 

 

Гистограмма распред-ия.

Гистрограмма распред-ия – это ступенчатая фигура состоящая из прямоугольников, ширина кот. равна шагу гистограммы распред-ия, а высота числу элементов или доли элементов выборки, оказавшихся в соответств. интервале гистограммы.

Шаг распростр. гистограммы: ,

где – макс. элемент выборки; – мин. эл. выборки;

 

Формула Бернулли и Пуассона.

Рассмотрим событие А, кот. может наступить с вероят-тью р в каждом из n испытаний. При чем вероят-ть наступления события А не зависит от его наступления в предыдущих испытаниях. Такие испытания принято называть независимыми.

Теорема Бернулли. Если вероят-ть наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероят-ть того, что событие А наступит m раз в серии из n независимых испытаний равна:

, (1-p) = q;

Док-во: n=3 m=2 В -в 3-ех независ. испытаниях событие А наступило 2 раза. А₁ -событие А наст. в 1-ом испытании; А₂ -во 2-ом испытании; А₃ -в 3-ем испытании.

По условию

Теорема Пуассона. Если вероят-ть p наступления события А в каждом испытании постоянна и стремится к 0 при неограниченном увеличении числа испытаний . При чем , то вероят-ть того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях равна: ;

Док-во: Пусть даны вер-ть наступления события А в одном испытании р и число независ. испытаний n. Обозначим . Откуда . Подставим в формулу Бернулли:

При достаточно большом n и сравнительно небольшом m, все скобки, за искл. предпослед, можно принять равным единице, т.е.

Учитывая то, что n достаточно велико, правую часть можно рассмотреть при , т.е. найти предел.

.Получим